Числа, действия с числами Помощь в написании работ

Умножение натуральных чисел столбиком, примеры, решения.


Умножение натуральных чисел удобно проводить особым способом, который получил название «умножение столбиком» или «умножение в столбик». Вся прелесть этого способа заключается в том, что умножение многозначных натуральных чисел сводится к последовательному умножению двух однозначных чисел.

В этой статье мы самым подробным образом разберем алгоритм умножения столбиком двух натуральных чисел. Последовательность действий будем описывать пошагово, одновременно показывая решения примеров.


Что необходимо знать для умножения натуральных чисел столбиком?

Промежуточные вычисления при умножении столбиком проводятся с использованием таблицы умножения, поэтому ее желательно знать наизусть, чтобы не тратить время на поиск нужного результата.

Рано или поздно при умножении столбиком мы столкнемся с умножением однозначного натурального числа на нуль. В этом случае мы будем пользоваться свойством умножения натурального числа на нуль: a·0=0, где a – произвольное натуральное число..

Рекомендуем разобраться с материалом статьи сложение столбиком. Это связано с тем, что на одном из этапов умножения в столбик приходится складывать промежуточные результаты (которые называют неполными произведениями), используя принцип сложения столбиком.

Также нам пригодятся навыки сравнения натуральных чисел.

Наконец, желательно вспомнить понятие разряда натурального числа.

Запись множителей при умножении в столбик.


Начнем с правил записи множителей при умножении столбиком.

Второй множитель записывается под первым множителем так, что первые справа цифры, отличные от цифры 0, располагаются друг под другом. Снизу под записанными множителями проводится горизонтальная линия, а слева ставится знак умножения вида «×». Приведем примеры правильной записи множителей при умножении столбиком. Ниже показаны записи в столбик произведений чисел 352 и 71, 550 и 45 002, а также 534 000 и 4 300.

С записью разобрались.

Теперь можно переходить непосредственно к процессу умножения двух натуральных чисел столбиком. Сначала рассмотрим умножение многозначного числа на однозначное число. После этого разберем умножение столбиком двух многозначных натуральных чисел.

Умножение столбиком многозначного натурального числа на однозначное число.

Сейчас мы приведем алгоритм умножения столбиком многозначного натурального числа на однозначное натуральное число. Будем это делать, одновременно описывая решение примера.

Сначала будем считать, что в записи многозначного числа справа находится цифра, отличная от 0.

Пусть нам требуется умножить данное многозначное натуральное число 45 027 на данное однозначное число 3.

Записываем множители так, как это предполагает умножение столбиком (при этом однозначное число оказывается под крайним справа знаком многозначного числа).

Для нашего примера запись будет иметь следующий вид:

Теперь выполняем умножение значение разряда единиц данного многозначного числа на данное однозначное число. Если при этом получаем число меньшее 10, то записываем его под горизонтальной чертой в том же столбце, в котором находится данное умножаемое однозначное число. Если же получаем число 10 или число большее, чем 10, то под горизонтальной чертой записываем значение разряда единиц полученного числа, а значение разряда десятков запоминаем (запомненное число прибавим к результату умножения на следующем шаге, после чего запомненное число удалим из памяти).

То есть, умножаем 7 (это значение разряда единиц первого множителя 45 027) на 3. Получаем 21. Так как 21 больше 10, то под чертой записываем число 1 (это значение разряда единиц полученного числа 21) и запоминаем число 2 (это значение разряда десятков числа 21). На этом шаге запись примет следующий вид:

Переходим к следующему этапу алгоритма умножения столбиком. Выполняем умножение значения разряда десятков данного многозначного числа на данное однозначное число и к произведению еще прибавляем число, запомненное на предыдущем этапе (если мы его запоминали). Если в результате получаем число меньшее десяти, то записываем его под горизонтальной чертой слева от уже записанного там числа. Если же в результате получаем число десять или число большее десяти, то под горизонтальной чертой записываем значение разряда единиц полученного числа, а значение разряда десятков запоминаем (его так же используем на следующем шаге).

Итак, умножаем 2 (это значение разряда десятков первого множителя 45 027) на 3, имеем 6. К этому числу прибавляем запомненное на предыдущем шаге число 2, получаем 6+2=8. Так как 8 меньше, чем 10, то под горизонтальной чертой записываем число 8 на нужную позицию (при этом нам не нужно запоминать никакое число, то есть, теперь в памяти у нас чисел нет). Имеем:

На следующем шаге действуем аналогично, но уже выполняем умножение значения разряда сотен данного многозначного числа на данное однозначное натуральное число. Прибавляем к этому произведению запомненное число (если его запоминали); сравниваем результат с числом 10; если нужно, запоминаем новое число, и записываем нужное число под горизонтальной чертой слева от уже находящихся там чисел.

Умножаем 0 на 3, получаем 0. Так как в памяти у нас нет никакого числа, то к полученному числу 0 не нужно ничего прибавлять. Число 0 меньше 10, поэтому записываем 0 под горизонтальной линией на нужной позиции:

После этого переходим к умножению значения следующего разряда данного многозначного натурального числа и данного однозначного натурального числа. Аналогичным образом действуем до того момента, пока не умножим значения всех разрядов данного многозначного числа на данное однозначное натуральное число.

Итак, умножаем 5 на 3, получаем 15. Так как 15>10, то пишем под чертой 5 и запоминаем число 1:

Наконец, умножаем 4 на 3, получаем 12. К 12 прибавляем запомненное на предыдущем этапе число 1, имеем 12+1=13. Так как 13 больше, чем 10, то записываем число 3 на нужное место и запоминаем число 1:

Отметим что, если на последнем этапе нам пришлось запомнить число, то его нужно записать под горизонтальной чертой слева от уже находящихся там чисел.

У нас в памяти находится число 1, поэтому его нужно написать на нужное место под чертой:

На этом процесс умножения столбиком многозначного натурального числа на однозначное натуральное число заканчивается, а результатом умножения является число, записанное под горизонтальной линией.

Таким образом, умножение столбиком натуральных чисел 45 027 и 3 привело нас к результату 135 081.

Для наглядности схематично изобразим алгоритм умножения столбиком многозначного натурального числа на однозначное натуральное число (этот рисунок отражает лишь общую картину, но не показывает всех нюансов).

Осталось разобраться с умножением столбиком многозначного натурального числа, в записи которого справа находится цифра 0 или несколько цифр 0 подряд, на однозначное число. Также рассмотрим все шаги умножения столбиком в таких случаях на примере. Причем возьмем числа из предыдущего примера, но в записи многозначного числа допишем несколько цифр 0 справа.

Итак, умножим натуральные числа 4 502 700 (мы дописали две цифры 0) на число 3.

В этом случае сначала записываем умножаемые числа так, как это предполагает умножение столбиком:

После этого проводим умножение столбиком так, как будто цифр 0 справа нет.

Воспользуемся результатом из уже решенного выше примера:

На заключительном этапе умножения столбиком под горизонтальной чертой, справа от уже имеющихся там цифр, записываем столько цифр 0, сколько их находится справа в исходном умножаемом числе.

В нашем примере нужно дописать две цифры 0. Запись примет вид:

На этом умножение столбиком завершено.

Результатом умножения многозначного натурального числа 4 502 700, запись которого оканчивается нулями, на однозначное натуральное число 3 является 13 508 100.

Умножение в столбик двух многозначных натуральных чисел.

Опишем все этапы алгоритма умножения двух многозначных натуральных чисел столбиком.

Описание будем проводить вместе с решением примера. Сейчас будем считать, что в записях умножаемых натуральных чисел справа не находятся цифры 0. Умножение многозначных натуральных чисел, записи которых оканчиваются нулями, рассмотрим в конце этого пункта.

Умножим столбиком числа 207 на 8 063.

Начинаем с записи множителей друг под другом. Заметим, что удобнее сверху располагать множитель, запись которого состоит из большего количества знаков (в нашем примере сверху запишем число 8 603, так как в его записи 4 знака, а число 207 трехзначное). Если же записи множителей содержат одинаковое количество знаков, то не имеет значения, какой из множителей записывать сверху. Итак, располагаем множители друг под другом, чтобы цифры первого множителя были под цифрами второго множителя справа налево:

Теперь на каждом следующем шаге будем получать так называемые неполные произведения.

Первый этап алгоритма заключается в умножении столбиком первого множителя (в нашем примере это число 8 063) на значение разряда единиц второго множителя (в нашем примере значением разряда единиц числа 207 является число 7). Все действия аналогичны умножению столбиком многозначного числа на однозначное число (при необходимости вернитесь к предыдущему пункту этой статьи), в результате под горизонтальной линией имеем первое неполное произведение. На этом этапе запись примет следующий вид:

Переходим ко второму этапу. На этом этапе умножаем столбиком первый множитель (в нашем примере это число 8 063) на значение разряда десятков второго множителя, если оно не равно нулю. Если значение разряда десятков второго множителя равно нулю, то переходим к следующему этапу (в нашем примере значением разряда десятков числа 207 равно нулю, поэтому, мы перейдем к третьему этапу). Результаты записываем под чертой ниже уже записанного там числа, начиная с позиции, которая соответствует разряду десятков.

На третьем, четвертом и так далее этапах действуем аналогично, умножая столбиком первый множитель (число 8 063) на значение разряда сотен второго множителя (если оно не равно нулю), далее на значение разряда тысяч (если оно не равно нулю) и так далее. Результаты записываем под чертой ниже уже записанных там чисел, начиная с позиции, отвечающей разряду однозначного числа, на которое проводится умножение на данном этапе.

Итак, умножаем число 8 063 на значение разряда сотен числа 207, то есть на число 2. Получаем второе неполное произведение, а решение примера примет следующий вид:

Итак, все неполные произведения вычислены. Остается последний этап алгоритма, на котором складываются все неполные произведения, причем делается это так же, как при сложении в столбик. Сложение производится с использованием уже имеющейся записи (неполные произведения остаются на тех местах, где они и записаны, то есть, они никуда не сдвигаются), снизу проводится еще одна горизонтальная линия, слева ставится знак «+», а результаты сложения записываются под нижней линией. Если в столбце находится только одно число, и при этом в памяти нет запомненного на предыдущем этапе числа, то оно записывается под горизонтальной линией.

В нашем примере получаем:

Образовавшееся внизу число является результатом умножения исходных многозначных натуральных чисел. Итак, произведение чисел 8 063 и 207 равно 1 669 041.

Для наглядности схематично изобразим процесс умножения столбиком двух натуральных чисел.

Покажем решение еще одного примера для закрепления материала.

Пример.

Умножьте столбиком натуральные числа 297 и 321.

Решение.

Записываем множители так, как это предполагает умножение столбиком:

Теперь умножаем столбиком число 297 на число 1 (1 – это значение разряда единиц числа 321):

Далее умножаем столбиком число 297 на число 2 (2 – это значение разряда десятков числа 321):

Осталось умножить число 297 на значение разряда сотен числа 321, то есть, на число 3:

Наконец, выполняем сложение по столбцам всех неполных произведений (при необходимости обращайтесь к разделу сложение столбиком трех и большего количества чисел):

Ответ:

произведение многозначных натуральных чисел 297 и 321 равно 95 337.

Приведем решение еще одного примера без пояснений.

Пример.

Вычислите произведение многозначных натуральных чисел 210 627 и 30 105.

Решение.

Выполним умножение столбиком:

Ответ:

результатом умножения чисел 210 627 и 30 105 является число 6 340 925 835.

Таким образом, чтобы успешно справляться с умножением двух многозначных натуральных чисел столбиком, нужно очень хорошо владеть навыками умножения многозначного числа на однозначное число, а также знать принцип сложения нескольких натуральных чисел столбиком.

Осталось разобраться, как выполняется умножение столбиком двух многозначных натуральных чисел, когда запись хотя бы одного из множителей содержит справа цифры 0. По традиции, приведем описание вместе с решением примера.

Умножим натуральные числа 50 600 и 390.

В этом случае умножаемые числа записываются друг под другом так, что первые справа цифры, отличные от цифры 0, оказываются друг под другом.

После этого про нули справа «забываем» и выполняем умножение двух многозначных чисел (в нашем примере это числа 506 и 39) рассмотренным выше способом.

В самом конце справа к результату дописываем столько цифр 0, сколько их находится справа у обоих исходных множителей (в нашем примере нужно записать три цифры 0 – две цифры 0 от первого множителя, и еще одна цифра 0 от второго множителя):

Число, записанное под нижней чертой, является результатом умножения исходных многозначных натуральных чисел. То есть, произведение чисел 50 600 и 390 равно 19 734 000.

Список литературы.

  • Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
  • Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+