Числа, действия с числами Помощь в написании работ

Деление натуральных чисел с остатком: правила, примеры и решения.


От общего представления о делении натуральных чисел с остатком будем двигаться дальше, и в этой статье мы разберемся с принципами, по которым проводится это действие. Вообще деление с остатком имеет много общего с делением натуральных чисел без остатка, так что мы будем часто ссылаться на материал указанной статьи.

Сначала разберемся с делением натуральных чисел с остатком в столбик. Дальше мы покажем, как можно отыскать результат деления натуральных чисел с остатком, проводя последовательное вычитание. После этого перейдем к методу подбора неполного частного, не забывая при этом приводить примеры с подробным описанием решения. Далее запишем алгоритм, позволяющий проводить деление натуральных чисел с остатком в общем случае. В конце статьи мы покажем, как выполняется проверка результата деления натуральных чисел с остатком.


Деление натуральных чисел в столбик с остатком

Одним из самых удобных способов деления натуральных чисел с остатком является деление столбиком. В статье деление натуральных чисел столбиком мы очень подробно разобрали этот метод деления. Здесь не будем повторяться, а просто приведем решение одного примера.

Пример.

Выполните деление с остатком натурального числа 273 844 на натуральное число 97.

Решение.

Проведем деление столбиком:

Таким образом, неполное частное от деления 273 844 на 97 равно 2 823, а остаток равен 13.

Ответ:

273 844:97=2 823 (ост. 13).

Деление натуральных чисел с остатком через последовательное вычитание


Найти неполное частное и остаток от деления натуральных чисел можно, выполняя последовательное вычитание делителя.

Суть этого подхода проста: из элементов имеющегося множества последовательно формируются множества с требуемым количеством элементов до того момента, пока это возможно, количество полученных множеств дает неполное частное, а количество оставшихся элементов в исходном множестве – остаток от деления.

Приведем пример.

Пример.

Допустим, нам нужно разделить 7 на 3.

Решение.

Представим, что нам нужно разложить 7 яблок в пакеты по 3 яблока. Из исходного количества яблок мы берем 3 штуки и кладем их в первый пакет. При этом в силу смысла вычитания натуральных чисел у нас остается 7−3=4 яблока. Из них мы опять берем 3 штуки, и кладем их во второй пакет. После этого у нас остается 4−3=1 яблоко. Понятно, что на этом процесс заканчивается (мы не можем сформировать еще один пакет с требуемым количеством яблок, так как оставшееся количество яблок 1 меньше нужного нам количества 3). В итоге мы имеем два пакета с требуемым количеством яблок и одно яблоко в остатке.

Тогда в силу смысла деления натуральных чисел с остатком можно утверждать, что мы получили следующий результат 7:3=2 (ост. 1).

Ответ:

7:3=2 (ост. 1).

Рассмотрим решение еще одного примера, при этом приведем лишь математические выкладки.

Пример.

Разделите натуральное число 145 на 46, выполняя последовательное вычитание.

Решение.

145−46=99 (при необходимости обращайтесь к статье вычитание натуральных чисел). Так как 99 больше, чем 46, то проводим вычитание делителя второй раз: 99−46=53. Так как 53>46, то вычитаем делитель третий раз: 53−46=7. Так как 7 меньше, чем 46, то еще раз провести вычитание мы не сможем, то есть, на этом заканчиваем процесс последовательного вычитания.

В итоге нам потребовалось из делимого 145 последовательно вычесть 3 раза делитель 46, после чего получился остаток 7. Таким образом, 145:46=3 (ост. 7).

Ответ:

145:46=3 (ост. 7).

Следует заметить, что если делимое меньше делителя, то мы не сможем проводить последовательное вычитание. Да это и не нужно, так как в этом случае мы можем сразу написать ответ. В этом случае неполное частное равно нулю, а остаток равен делимому. То есть, если a<b, то a:b=0 (ост. a). Например, 47:73=0 (ост. 43). А при делении с остатком 12 на 36 неполное частное равно 0, а остаток от деления равен 12.

Еще нужно сказать, что выполнять деление натуральных чисел с остатком рассмотренным способом хорошо лишь тогда, когда для получения результата требуется провести небольшое количество последовательных вычитаний.

Подбор неполного частного

При делении данных натуральных чисел a и b с остатком неполное частное c можно подобрать. Сейчас мы покажем, на чем основан процесс подбора и как он должен проходить.

Сначала определимся, среди каких чисел искать неполное частное. Когда мы говорили о смысле деления натуральных чисел с остатком, то выяснили, что неполное частное может быть либо нулем, либо натуральным числом, то есть, одним из чисел 0, 1, 2, 3, ... Таким образом, искомое неполное частное является одним из записанных чисел, и нам остается перебрать их, чтобы определить, каким именно числом является неполное частное.

Дальше нам потребуется уравнение вида d=a−b·c, задающее связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком, а также тот факт, что остаток всегда меньше делителя (это мы также упоминали, когда говорили о смысле деления натуральных чисел с остатком).

Теперь можно переходить непосредственно к описанию процесса подбора неполного частного. Делимое a и делитель b нам известны изначально, в качестве неполного частного c мы последовательно принимаем числа 0, 1, 2, 3, …, каждый раз вычисляя значение d=a−b·c и сравнивая его с делителем. Этот процесс завершается, как только полученное значение будет меньше, чем делитель. При этом число c на этом шаге является искомым неполным частным, а значение d=a−b·c является остатком от деления.

Осталось разобрать процесс подбора неполного частного на примере.

Пример.

Выполните деление с остатком натурального числа 267 на 21.

Решение.

Подберем неполное частное. В нашем примере a=267, b=21. Будем последовательно придавать c значения 0, 1, 2, 3, …, вычисляя на каждом шаге значение d=a−b·c и сравнивая его с делителем 21.

При c=0 имеем d=a−b·c=267−21·0=267−0=267 (сначала выполняется умножение натуральных чисел, а затем – вычитание, об этом написано в статье порядок выполнения действий). Полученное число больше, чем 21 (при необходимости изучите материал статьи сравнение натуральных чисел). Поэтому продолжаем процесс подбора.

При c=1 имеем d=a−b·c=267−21·1=267−21=246. Так как 246>21, то продолжаем процесс.

При c=2 получаем d=a−b·c=267−21·2=267−42=225. Так как 225>21, то двигаемся дальше.

При c=3 имеем d=a−b·c=267−21·3=267−63=204. Так как 204>21, то продолжаем подбор.

Далее по аналогии вычисляем значения d=a−b·c при c=4, 5, 6, …, 11.

При c=12 получаем d=a−b·c=267−21·12=267−252=15. Получили число 15, которое меньше, чем 21, поэтому процесс можно считать завершенным. Мы подобрали неполное частное c=12, при этом остаток d получился равным 15.

Ответ:

267:21=12 (ост. 15).

Алгоритм деления натуральных чисел с остатком, примеры, решения

В этом пункте мы рассмотрим алгоритм, позволяющий проводить деление с остатком натурального числа a на натуральное число b в тех случаях, когда метод последовательного вычитания (и метод подбора неполного частного) требует слишком большого количества вычислительных операций.

Сразу отметим, что если делимое a меньше, чем делитель b, то мы знаем и неполное частное и остаток: при a<b имеем a:b=0 (ост. a). Дальше мы предполагаем, что a>b.

Прежде чем мы подробно опишем все шаги алгоритма деления натуральных чисел с остатком, ответим на три вопроса: что нам изначально известно, что нам нужно найти и исходя из каких соображений мы это будем делать? Изначально нам известно делимое a и делитель b. Нам нужно найти неполное частное c и остаток d. Равенство a=b·c+d задает связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком. Из записанного равенства следует, что если мы представим делимое a в виде суммы b·c+d, в которой d меньше, чем b (так как остаток всегда меньше делителя), то мы увидим и неполное частное c и остаток d.

Осталось лишь разобраться, как делимое a представить в виде суммы b·c+d. Алгоритм, позволяющий это сделать, очень схож с алгоритмом деления натуральных чисел без остатка. Опишем все шаги, и одновременно будем вести решение примера для большей ясности. Разделим 899 на 47.

Первые пять пунктов алгоритма позволят представить делимое в виде суммы нескольких слагаемых. Нужно отметить, что действия из этих пунктов циклически повторяются снова и снова, пока не будут найдены все слагаемые, дающие в сумме делимое. В заключительном шестом пункте полученная сумма преобразуется к виду b·c+d (если полученная сумма уже не будет иметь такой вид), откуда становятся видны искомое неполное частное и остаток.

Итак, приступаем к представлению делимого 899 в виде суммы нескольких слагаемых.

  1. Сначала вычисляем, насколько количество знаков в записи делимого больше, чем количество знаков в записи делителя, и запоминаем это число.

    В нашем примере в записи делимого 3 знака (899 – трехзначное число), а в записи делителя – два знака (47 – двузначное число), следовательно, в записи делимого на один знак больше, и мы запоминаем число 1.

  2. Теперь в записи делителя справа дописываем цифры 0 в количестве, определяемым числом, полученным в предыдущем пункте. При этом если записанное число будет больше делимого, то из запомненного в предыдущем пункте числа нужно вычесть 1.

    Возвращаемся к нашему примеру. В записи делителя 47 дописываем справа одну цифру 0, и получаем число 470. Так как 470<899, то запомненное в предыдущем пункте число НЕ нужно уменьшать на 1. Таким образом, у нас в памяти остается число 1.

  3. После этого к цифре 1 справа приписываем цифры 0 в количестве, определяемом числом, запомненном в предыдущем пункте. При этом получаем единицу разряда, с которым мы будем работать дальше.

    В нашем примере к цифре 1 приписываем 1 цифру 0, при этом получаем число 10, то есть, мы будем работать с разрядом десятков.

  4. Теперь последовательно умножаем делитель на 1, 2, 3, … единицы рабочего разряда до того момента, пока не получим число, большее или равное делимому.

    Мы выяснили, что в нашем примере рабочим разрядом является разряд десятков. Поэтому мы сначала умножаем делитель на одну единицу разряда десятков, то есть, умножаем 47 на 10, получаем 47·10=470. Полученное число 470 меньше делимого 899, поэтому переходим к умножению делителя на две единицы разряда десятков, то есть 47 умножаем на 20. Имеем 47·20=940. Мы получили число, которое больше, чем 899.

    Число, полученное на предпоследнем шаге при последовательном умножении, является первым из искомых слагаемых.

    В разбираемом примере искомым слагаемым является число 470 (это число равно произведению 47·100, это равенство мы используем позже).

  5. После этого находим разность между делимым и первым найденным слагаемым. Если полученное число больше делителя, то приступаем к нахождению второго слагаемого. Для этого повторяем все описанные шаги алгоритма, но уже в качестве делимого принимаем полученное здесь число. Если в этом пункте опять получается число, большее делителя, то приступаем к нахождению третьего слагаемого, еще раз повторяя шаги алгоритма, приняв полученное число в качестве делимого. И так действуем дальше, находя четвертое, пятое и последующие слагаемые, пока полученное в этом пункте число не будет меньше делителя. Как только это произошло, то полученное здесь число принимаем в качестве последнего искомого слагаемого (забегая вперед, скажем, что оно равно остатку), и переходим к завершающему этапу.

    Возвращаемся к нашему примеру. На этом шаге имеем 899−470=429. Так как 429>47, то принимаем это число в качестве делимого и повторяем с ним все этапы алгоритма.

  1. В записи числа 429 на один знак больше, чем в записи числа 47, поэтому, запоминаем число 1.

  2. Теперь в записи делимого справа дописываем одну цифру 0, получаем число 470, которое больше числа 429. Поэтому, из запомненного в предыдущем пункте числа 1 вычитаем 1, получаем число 0, которое и запоминаем.

  3. Так как в предыдущем пункте мы запомнили число 0, то к цифре 1 не нужно справа приписывать ни одной цифры 0. При этом имеем число 1, то есть, рабочим разрядом является разряд единиц.

  4. Теперь последовательно умножаем делитель 47 на 1, 2, 3, … Не будем останавливаться на этом подробно. Скажем лишь, что 47·9=423<429, а 47·10=470>429. Вторым искомым слагаемым является число 423 (которое равно 47·9, что мы используем дальше).

  5. Разность между 429 и 423 равна 6. Это число меньше, чем делитель 47, поэтому оно является третьим (и последним) искомым слагаемым. Теперь мы можем переходить к завершающему этапу.

  6. Ну вот мы и подошли к заключительному этапу. Все предыдущие действия были направлены на то, чтобы представить делимое в виде суммы нескольких слагаемых. Теперь полученную сумму осталось преобразовать к виду b·c+d. С этой задачей нам поможет справиться распределительное свойство умножения относительно сложения. После этого станут видны искомое неполное частное и остаток.

    В нашем примере делимое 899 равно сумме трех слагаемых 470, 423 и 6. Сумму 470+423+6 можно переписать в виде 47·10+47·9+6 (помните, мы обращали внимание на равенства 470=47·10 и 423=47·9). Теперь применяем свойство умножения натурального числа на сумму, при этом получаем 47·10+47·9+6=47·(10+9)+6=47·19+6. Таким образом, делимое преобразовано к нужному нам виду 899=47·19+6, откуда легко находится неполное частное 19 и остаток 6.

Итак, 899:47=19 (ост. 6).

Конечно же, при решении примеров Вы не будете настолько подробно описывать процесс деления с остатком.

Пример.

Выполните деление с остатком натурального числа 42 252 на натуральное число 68.

Решение.

Пройдя 5 шагов алгоритма, мы получим первое слагаемое 40 800, которое равно 68·600.

Второй раз прогоняем эти шаги с числом 1 452 (так как 42 252−40 800=1 452), получаем второе слагаемое 1 360, которое равно 68·20.

После этого нам приходится третий раз проходить эти шаги алгоритма с числом 92 (так как 1 452−1 360=92). При этом получается, что третье слагаемое есть 68 (оно представляется как 68·1), а четвертое слагаемое-остаток равно 24 (так как 92−68=24).

Таким образом, 42 252=40 800+1 360+68+24=68·600+68·20+68·1+24=68·(600+20+1)+24=68·621+24.

Следовательно, неполное частное равно 621, а остаток равен 24.

Ответ:

42 252:68=621 (ост. 24).

Проверка результата деления натуральных чисел с остатком

Как Вы уже заметили, деление натуральных чисел с остатком в общем случае является достаточно трудоемким процессом, и, определяя неполное частное и остаток, где-нибудь можно допустить ошибку. Поэтому, целесообразно ВСЕГДА выполнять проверку результата деления натуральных чисел с остатком. Сейчас мы разберемся, как такая проверка осуществляется, и рассмотрим решения характерных примеров.

Проверка результата деления натуральных чисел с остатком проводится в два этапа. На первом этапе выясняется, не получился ли остаток больше, чем делитель. Если остаток превосходит делитель или равен делителю, то деление было выполнено неверно. Если остаток все же меньше, чем делитель, то проверка продолжается. На втором этапе проверяется справедливость равенства a=b·c+d. Если эта связь между делимым a, делителем b, неполным частным c и остатком d нарушена, то где-то была допущена ошибка. Если же равенство a=b·c+d является верным, то деление с остатком было выполнено правильно.

Пример.

Правильно ли было выполнено деление натуральных чисел с остатком, если получился такой результат 506:28=17 (ост. 30)?

Решение.

Мы видим, что остаток 30 получился больше, чем делитель 28. Поэтому, деление с остатком было выполнено неправильно.

Ответ:

нет.

Пример.

При делении натурального числа 121 на натуральное число 13 было получено неполное частное 9 и остаток 5. Выполните проверку результата.

Решение.

Очевидно, что остаток 5 меньше, чем делитель 13. Поэтому переходим ко второму этапу проверки.

В этом примере a=121, b=13, c=9, d=5. Проверим, справедливо ли равенство a=b·c+d. Для этого вычислим значение выражения b·c+d. Имеем, b·c+d=13·9+5=117+5=122. Таким образом, равенство a=b·c+d не выполняется, так как 121≠122. Следовательно, деление с остатком было проведено неправильно.

Пример.

В результате деления натуральных чисел 5 998 и 111 было получено неполное частное 54 и остаток 4. Является ли полученный результат правильным?

Решение.

Выполним проверку. Очевидно, остаток 4 меньше, чем делитель 111. Поэтому переходим к следующему этапу проверки.

В этом примере a=5 998, b=111, c=54, d=4. Вычислим значение выражения b·c+d. Имеем 111·54+4=5 994+4=5 998. Таким образом, равенство a=b·c+d является верным. Следовательно, при делении с остатком был получен правильный результат.

Ответ:

да.

Список литературы.

  • Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
  • Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+