Числа, действия с числами Помощь в написании работ

Деление десятичных дробей, правила, примеры, решения.


Продолжаем изучать действия с десятичными дробями, пришло время поговорить про деление десятичных дробей. Начнем с общих принципов деления десятичных дробей. Дальше рассмотрим, как проводится деление десятичных дробей столбиком на натуральные числа и десятичные дроби. После этого разберемся с делением обыкновенных дробей и смешанных чисел на десятичные дроби и наоборот. Наконец, отдельно разберем правила деления десятичных дробей на 10, 100, … и на 0,1, 0,01, 0,001 и т.д.

В этой статье мы будем говорить лишь о делении положительных десятичных дробей (смотрите положительные и отрицательные числа). Остальные случаи обговорены в статьях деление рациональных чисел и деление действительных чисел.


Общие принципы деления десятичных дробей

Конечные десятичные дроби и периодические десятичные дроби являются десятичной записью обыкновенных дробей. Следовательно, деление таких десятичных дробей по сути является делением соответствующих обыкновенных дробей. Таким образом, основной принцип деления конечных и бесконечных периодических дробей состоит в замене этих дробей обыкновенными дробями и последующем делении обыкновенных дробей.

Рассмотрим примеры деления десятичных дробей в этом свете.

Пример.

Выполните деление десятичной дроби 1,2 на десятичную дробь 0,48.

Решение.

Сначала осуществим перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби, имеем 1,2=12/10=6/5 и 0,48=48/100=12/25. Тогда деление десятичных дробей 1,2 и 0,48 можно свести к делению обыкновенных дробей 6/5 и 12/25. Итак, . Теперь можно выделить целую часть из неправильной дроби, и записать ответ в виде смешанного числа , а можно полученную дробь 5/2 записать в виде десятичной дроби 2,5 (смотрите перевод обыкновенных дробей в десятичные).

Ответ:

1,2:0,48=2,5.

Пример.

Разделите периодическую десятичную дробь 0,(504) на десятичную дробь 0,56.

Решение.

Переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную: . Также переведем конечную десятичную дробь 0,56 в обыкновенную, имеем 0,56=56/100. Теперь мы можем перейти от деления исходных десятичных дробей к делению обыкновенных дробей и закончить вычисления: .

Переведем полученную обыкновенную дробь в десятичную дробь, выполнив деление числителя на знаменатель столбиком:

Ответ:

0,(504):0,56=0,(900).

Принцип деления бесконечных непериодических десятичных дробей отличается от принципа деления конечных и периодических десятичных дробей, так как непериодические десятичные дроби не могут быть переведены в обыкновенные дроби. Деление бесконечных непериодических десятичных дробей сводится к делению конечных десятичных дробей, для чего проводится округление чисел до некоторого разряда. Причем, если одним из чисел, с которыми проводится деление, является конечная или периодическая десятичная дробь, то она тоже округляются до того же разряда, что и непериодическая десятичная дробь.

Пример.

Разделите бесконечную непериодическую десятичную дробь 0,779… на конечную десятичную дробь 1,5602.

Решение.

Сначала нужно округлить десятичные дроби, чтобы от деления бесконечной непериодической десятичной дроби перейти к делению конечных десятичных дробей. Мы можем провести округление до сотых: 0,779…≈0,78 и 1,5602≈1,56. Таким образом, 0,779…:1,5602≈0,78:1,56=78/100:156/100=78/100·100/156=78/156=1/2=0,5.

Ответ:

0,779…:1,5602≈0,5.

Деление натурального числа на десятичную дробь и наоборот


Суть подхода к делению натурального числа на десятичную дробь и к делению десятичной дроби на натуральное число ничем не отличается от сути деления десятичных дробей. То есть, конечные и периодические дроби заменяются обыкновенными дробями, а бесконечные непериодические дроби округляются.

Для иллюстрации рассмотрим пример деления десятичной дроби на натуральное число.

Пример.

Выполните деление десятичной дроби 25,5 на натуральное число 45.

Решение.

Заменив десятичную дробь 25,5 обыкновенной дробью 255/10=51/2, деление сводится к делению обыкновенной дроби на натуральное число: . Полученная дробь в десятичной записи имеет вид 0,5(6).

Ответ:

25,5:45=0,5(6).

Деление десятичной дроби на натуральное число столбиком

Деление конечных десятичных дробей на натуральные числа удобно проводить столбиком по аналогии с делением столбиком натуральных чисел. Приведем правило деления.

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число столбиком, надо:

Сразу скажем, что в результате деления конечной десятичной дроби на натуральное число может получиться или конечная десятичная дробь или бесконечная периодическая десятичная дробь. Действительно, после того, как закончится деление всех отличных от 0 десятичных знаков делимой дроби, может получиться либо остаток 0, и мы получим конечную десятичную дробь, либо остатки начнут периодически повторяться, и мы получим периодическую десятичную дробь.

Разберемся со всеми тонкостями деления десятичных дробей на натуральные числа столбиком при решении примеров.

Пример.

Разделите десятичную дробь 65,14 на 4.

Решение.

Выполним деление десятичной дроби на натуральное число столбиком. Допишем пару нулей справа в записи дроби 65,14, при этом получим равную ей десятичную дробь 65,1400 (смотрите равные и неравные десятичные дроби). Теперь можно приступать к делению столбиком целой части десятичной дроби 65,1400 на натуральное число 4:

На этом деление целой части десятичной дроби закончено. Здесь в частном нужно поставить десятичную запятую и продолжить деление:

Мы пришли к остатку 0, на этом этапе деление столбиком заканчивается. В итоге имеем 65,14:4=16,285.

Ответ:

65,14:4=16,285.

Пример.

Выполните деление 164,5 на 27.

Решение.

Проведем деление десятичной дроби на натуральное число столбиком. После деления целой части получаем следующую картину:

Теперь ставим в частном запятую и продолжаем деление столбиком:

Сейчас хорошо видно, что начали повторяться остатки 25, 7 и 16, при этом в частном повторяются цифры 9, 2 и 5. Таким образом, деление десятичной дроби 164,5 на 27 приводит нас к периодической десятичной дроби 6,0(925).

Ответ:

164,5:27=6,0(925).

Деление десятичных дробей столбиком

К делению десятичной дроби на натуральное число столбиком можно свести деление десятичной дроби на десятичную дробь. Для этого делимое и делитель нужно умножить на такое число 10, или 100, или 1 000, и т.д., чтобы делитель стал натуральным числом, после чего выполнить деление на натуральное число столбиком. Это мы можем делать в силу свойств деления и умножения, так как a:b=(a·10):(b·10), a:b=(a·100):(b·100) и так далее.

Иными словами, чтобы разделить конечную десятичную дробь на конечную десятичную дробь, нужно:

Рассмотрим при решении примера применение этого правила деления на десятичную дробь.

Пример.

Выполните деление столбиком 7,287 на 2,1.

Решение.

Перенесем запятую в данных десятичных дробях на одну цифру вправо, это нам позволит от деления десятичной дроби 7,287 на десятичную дробь 2,1 перейти к делению десятичной дроби 72,87 на натуральное число 21. Выполним деление столбиком:

Ответ:

7,287:2,1=3,47.

Пример.

Выполните деление десятичной дроби 16,3 на десятичную дробь 0,021.

Решение.

Перенесем вправо на 3 знака запятую в делимом и делителе. Очевидно, в делителе не хватает цифр для переноса запятой, поэтому допишем необходимое количество нулей справа. Теперь выполним деление столбиком дроби 16300,0 на натуральное число 21:

С этого момента начинают повторяться остатки 4, 19, 1, 10, 16 и 13, а значит, будут повторяться и цифры 1, 9, 0, 4, 7 и 6 в частном. В результате мы получаем периодическую десятичную дробь 776,(190476).

Ответ:

16,3:0,021=776,(190476).

Заметим, что озвученное правило позволяет делить столбиком натуральное число на конечную десятичную дробь.

Пример.

Разделите натуральное число 3 на десятичную дробь 5,4.

Решение.

После переноса запятой на 1 цифру вправо, приходим к делению числа 30,0 на 54. Выполним деление столбиком:

Деление столбиком дает нам периодическую десятичную дробь 0,(5).

Ответ:

3:5,4=0,(5).

Деление десятичных дробей на 10, 100, 1 000 и т.д.

Из правила деления обыкновенных дробей следует, что разделить десятичную дробь на 10, 100, 1 000 и т.д. это все равно, что умножить данную десятичную дробь на 1/10, 1/100, 1/1 000 и т.д. Иными словами, чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1 000 и т.д. нужно перенести запятую влево на 1, 2, 3, … цифр (если цифр для переноса запятой недостаточно, то нужно дописать необходимое количество нулей слева).

Например, 56,21:10=5,621, а 0,32:100 000=0,0000032.

Это правило можно применять и при делении бесконечных десятичных дробей на 10, 100, …. К примеру, 3,(56):1 000=0,003(56) и 593,374…:100=5,93374….

Деление десятичных дробей на 0,1, 0,01, 0,001 и т.д.

Так как 0,1=1/10, 0,01=1/100 и т.д., то из правила деления на обыкновенную дробь следует, что разделить десятичную дробь на 0,1, 0,01, 0,001 и т.д. это все равно, что умножить данную десятичную дробь на 10, 100, 1 000 и т.д. соответственно.

Другими словами, чтобы разделить десятичную дробь на 0,1, 0,01, … нужно перенести запятую вправо на 1, 2, 3, … цифр, при этом если цифр в записи десятичной дроби недостаточно для переноса запятой, то справа нужно дописать необходимое количество нулей.

Например, 5,739:0,1=57,39 и 0,21:0,00001=21 000.

Это же правило можно применять при делении бесконечных десятичных дробей на 0,1, 0,01, 0,001 и т.д. При этом следует быть очень внимательным с делением периодических дробей, чтобы не ошибиться с периодом дроби, которая получается в результате деления. К примеру, 7,5(716):0,01=757,(167), так как после переноса запятой в записи десятичной дроби 7,5716716716… на два знака вправо, имеем запись 757,167167…. С бесконечными непериодическими десятичными дробями все проще: 394,38283…:0,001=394382,83….

Деление обыкновенной дроби или смешанного числа на десятичную дробь и наоборот

Деление обыкновенной дроби или смешанного числа на конечную или периодическую десятичную дробь, а также деление конечной или периодической десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число сводится к делению обыкновенных дробей. Для этого десятичные дроби заменяются соответствующими обыкновенными дробями, а смешанное число представляется в виде неправильной дроби.

При делении бесконечной непериодической десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число и наоборот следует перейти к делению десятичных дробей, заменив обыкновенную дробь или смешанное число соответствующей десятичной дробью.

Список литературы.

  • Математика: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
  • Математика. 6 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
  • Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+