Математика на cleverstudents.ru

Числа, действия с числами

Общее представление о вычитании натуральных чисел.

В этой статье мы поговорим о действии, которое называется вычитанием. Сначала дадим общее представление о вычитании, после чего, основываясь на смысле вычитания, придадим смысл вычитанию натуральных чисел. Дальше введем терминологию и обозначения. В заключении рассмотрим круг задач, решаемых с помощью вычитания.

Вычитание – общее представление об этом действии.

Вычитание – это действие, обратное сложению (смотрите раздел сложение – общее представление об этом действии). Если сложение связано с объединением двух множеств в одно, то вычитание связано с разъединением данного множества на два множества.

Добавим конкретики.

Пусть у нас есть некоторое множество предметов. Возьмем один или несколько предметов из этого множества и уберем в сторону. При этом можно сказать, что мы отняли или вычли несколько предметов из изначально данного множества. То есть, смысл вычитания заключается в исключении некоторого множества предметов из данного множества предметов.

Смысл вычитания натуральных чисел.

Нам известно, что смысл сложения натуральных чисел, которые соответствуют количествам складываемых предметов, заключается в получении информации об общем количестве предметов. А каков смысл вычитания двух натуральных чисел?

Вычитание двух натуральных чисел можно рассмотреть с двух равноправных позиций. При этом смысл вычитания двух натуральных чисел будет зависеть от того, какой смысл придать вычитаемому числу.

Итак, результат вычитания двух натуральных чисел указывает

• либо количество предметов, которое останется, если из данного их множества убрать данное количество предметов,
• либо количество предметов, которое нужно убрать из данного их множества, чтобы осталось нужное количество предметов.

Приведем пример для первого случая. Пусть у нас есть 7 яблок. Вычитание нам позволяет выяснить, сколько яблок у нас останется после того, как мы отдадим кому-нибудь, например, 2 яблока. В этом случае мы из 7 яблок вычитаем (отдаем) 2 яблока.

Проиллюстрируем второй случай. Пусть у нас 7 яблок. С помощью вычитания мы можем узнать, сколько яблок нам нужно отдать, чтобы у нас осталось, к примеру, 3 яблока. В этом случае разность 7−3 укажет нам искомое количество яблок, которое нужно отдать.

В рассмотренном смысле вычитание натуральных чисел возможно лишь тогда, когда число, из которого вычитают, больше или равно числу, которое вычитают (мы же не можем отдать большее количество яблок, чем то, которым обладаем). Мы будем строго придерживаться этого ограничения при дальнейшем изучении вычитания натуральных чисел.

Понятно, что результатом вычитания двух натуральных чисел является натуральное число или нуль (напомним, что нуль означает отсутствие чего-либо). Причем нуль получается только тогда, когда натуральное число, из которого вычитают, равно числу, которое вычитают (если мы отдадим все предметы, которые у нас есть, то у нас не останется ни одного предмета).

Уменьшаемое, вычитаемое, разность, знак минус «−».

Давайте определимся с терминологией и обозначениями.

Для обозначения вычитания на письме будем использовать знак минус вида «−». Сначала будем записывать натуральное число, из которого мы вычитаем, после этого – знак минус, потом – натуральное число, которое вычитаем. Например, запись 9−5 (подобные записи называются числовыми выражениями) означает, что из 9 вычитается 5.

Теперь введем необходимые термины. Уменьшаемое – это число, из которого вычитают. Вычитаемое – это число, которое вычитают из уменьшаемого. Разность – это число, которое является результатом вычитания.

Разностями будем также называть числовые выражения, составленные из уменьшаемого и вычитаемого со знаком минус между ними. К примеру, в разности 3−1 натуральное число 3 является уменьшаемым, а число 1 – вычитаемым.

Фразы «найти разность», «вычислить разность», «вычесть из натурального числа 36 число 3» и т.п. будем понимать так: требуется определить число, которое является результатом вычитания данных натуральных чисел.

Обговорим еще один момент, касающийся записи уменьшаемого, вычитаемого и результата вычитания в виде равенства. Допустим, мы выяснили, что натуральное число 11 является результатом вычитания числа 24 из числа 35. Тогда этот результат будем записывать в виде равенства 35−24=11 (о знаке равенства мы говорили в разделе равные натуральные числа). Эту запись можно прочитать одним из следующих способов: «из 35 вычесть 24 равно 11» или «от 35 отнять 24 равно 11».

Итак, схематически вычитание двух натуральных чисел выглядит следующим образом:
уменьшаемое − вычитаемое = разность.

Основные задачи, решаемые с помощью вычитания.

Во-первых, вычитание позволяет решать задачи, связанные с количествами предметов до и после их разбиения на два множества.

Пример задачи на нахождение количества предметов, которое остается после изъятия некоторого их количества из исходного множества, мы уже рассмотрели, когда говорили о смысле вычитания натуральных чисел.

Другими задачами такого типа являются задачи на нахождение количества предметов, которые нужно убрать из данного их множества, чтобы осталось требуемое количество предметов.

Приведем пример такой задачи. Пусть у нас есть 8 яблок. Сколько яблок нам нужно отдать, чтобы у нас осталось 6 яблок? Искомое количество равно разности натуральных чисел 8 и 6.

Во-вторых, вычитание позволяет решать задачи, связанные с изменением значения каких-либо измерений (длины, площади, объема, скорости, массы, времени и т.п.).

Приведем пример. От куска ткани площадью 9 квадратных метров отрезали кусок, площадью 5 квадратных метров. Разность натуральных чисел 9 и 5 показывает, сколько ткани осталось. Вот еще один пример. Сейчас температура воздуха составляет 15 градусов Цельсия, а час назад составляла 21 градус. Если мы отнимем от числа 21 число 15, то узнаем, на сколько градусов изменилась температура за прошедший час.

В-третьих, вычитание позволяет узнать разницу между количествами предметов в двух множествах, а также разницу между двумя измерениями какой-либо величины (массы, времени, объема и т.п.).

Пусть, к примеру, первый мотоциклист проехал 100 километров, а второй – 80. Если мы вычтем из числа 100 число 80, то узнаем, на сколько километров отличаются пути мотоциклистов. Еще пример. В первый пруд запустили 3 500 мальков рыб, а во второй – 7 500 мальков рыб. Произведя вычитание из числа 7 500 числа 3 500, мы узнаем, на сколько отличаются количества запущенных рыб в эти пруды.