Математика на cleverstudents.ru

Числа, действия с числами

Общее представление об умножении натуральных чисел.

В этой статье мы определим действие, которое называется умножением. Сначала озвучим смысл умножения, что позволит нам придать смысл умножению натуральных чисел. Дальше введем термины и обозначения, используемые при описании умножения натуральных чисел. В заключении перечислим основные типы задач, решаемых при помощи умножения натуральных чисел.

Умножение – общее представление об этом действии.

В разделе общее представление о сложении мы связали сложение с объединением двух произвольных множеств. А умножение свяжем с объединением некоторого количества «одинаковых» множеств. Поясним этот момент, рассмотрев пару примеров.

Постоянно на слуху фраза: «Он приумножил свое богатство». Слово «приумножил» означает, что человек воспроизвел (и может быть много раз) то богатство, которым обладал.

Еще пример. Представим, что несколько человек сделают добро. Тогда в мире добра станет больше, и добро умножится.

Из приведенных примеров понятно, что умножение связано с увеличением чего-то, что есть изначально.

Смысл умножения натуральных чисел.

Сейчас, основываясь на общем представлении об умножении, выясним смысл умножения натуральных чисел. Для этого рассмотрим следующие задачи.

Каждый из двух мастеров изготавливает 4 копья за день. Сколько всего копий эти два мастера изготовят за день?

Понятно, что общее количество копий мы определим, если сложим вместе 4 копья первого мастера и 4 копья второго мастера. Вспомнив смысл сложения натуральных чисел, можно заключить, общее количество копий равно сумме двух слагаемых, каждое из которых равно 4, то есть, 4+4. Таблица сложения приводит нас к следующему результату: 4+4=8.

А теперь представим, что копья делают не 2 мастера, а 528 мастеров. Тогда общее количество копий будет равно сумме 528 чисел, каждое из которых равно 4. Несомненно, можно вычислить эту сумму, воспользовавшись правилом сложения трех и большего количества натуральных чисел. Но в этом случае выполнять сложение не очень хочется, так как нас ожидают очень громоздкие вычисления.

И как же быть? Здесь стоит обратиться к умножению.

Несложно заметить, что рассматриваемая задача согласуется со смыслом умножения – здесь объединяются 528 одинаковых множеств (каждое множество - это 4 копья). Поэтому логично заменить сложение 528 чисел, каждое из которых равно 4, умножением двух натуральных чисел 4 и 528.

Итак, под умножением двух натуральных чисел будем понимать действие, результат которого равен сумме одинаковых слагаемых, равных первому из умножаемых чисел, а второе из умножаемых чисел указывает количество слагаемых. В этом заключена суть умножения двух натуральных чисел.

Таким образом, умножив числа 4 и 528, мы получим решение поставленной задачи. О том, как выполняется умножение чисел, мы поговорим в статье умножение натуральных чисел. А пока поверьте на слово – умножение в подобных случаях позволяет прийти к результату намного быстрее, чем сложение.

В заключении этого пункта отметим, что результатом умножения двух натуральных чисел также является натуральное число, так как сумма натуральных чисел есть натуральное число.

Множители, произведение, знаки умножить «·» и «×».

Давайте введем термины и обозначения, которые будем использовать при описании умножения.

Для обозначения умножения на письме будем использовать знак умножить вида «·», который будем записывать между умножаемыми числами. Например, запись 3·9 (подобные записи называются числовыми выражениями) означает, что умножаются числа 3 и 9. Иногда для обозначения умножения вместо знака «·» применяют знак «×».

Умножаемые числа будем называть множителями, а число, получающееся в результате умножения чисел, будем называть произведением этих чисел. Произведением чисел будем также называть числовые выражения, состоящие из умножаемых чисел и знака «·» между ними.

Иногда для удобства множители нумеруют. Например, в произведении 51·104 натуральное число 51 является первым множителем, число 104 – вторым множителем.

Выражения «вычислить произведение», «найти произведение», «умножить числа» означают, что требуется найти число, которое является результатом умножения данных чисел.

Результат умножения чисел удобно записывать в виде равенства. Например, результатом умножения двух натуральных чисел 4 и 2 является число 8 (складываем два слагаемых, каждое равно четырем), то есть, произведение чисел 4 и 2 есть число 8, тогда можно записать 4·2=8 (слева от знака равенства записывается числовое выражение, а справа – результат умножения). Эта запись читается так: «Произведение четырех и двух равно восьми».

Итак, умножение двух данных чисел и его результат можно условно представить в виде схемы:
множитель · множитель = произведение.

Основные задачи, решаемые при помощи умножения натуральных чисел.

К первому классу задач, которые решаются с помощью умножения натуральных чисел, отнесем задачи на определение количества элементов множества, полученного объединением данного количества данных одинаковых множеств. Приведем пример такой задачи.

В один спичечный коробок помещается 50 спичек. Сколько спичек поместится в 7 коробков? Понятно, что искомое количество равно произведению натуральных чисел 50 и 7.

Ко второму классу задач отнесем задачи, аналогичные только что упомянутым задачам, с той лишь разницей, что вместо количества известны значения каких-либо физических величин.

Приведем пример. Известно, что Земля совершает один оборот вокруг Солнца за 365 дней. За сколько дней Земля совершить 14 оборотов? Чтобы получить требуемый результат нужно умножить число 365 на 14.

Еще пример. Один кирпич весит 3 килограмма и нужно выяснить, сколько весят 500 таких кирпичей. Для решения этой задачи необходимо выполнить умножение натуральных чисел 3 и 500.

Задачи третьего класса, решаемые при помощи умножения, связаны с нахождением количества (или величины), которое в данное число раз больше, чем данное количество (или величина). Приведем условия подобных задач.

В саду было посажено 15 деревьев, а в парке – в 8 раз больше. Сколько деревьев было посажено в парке? Ответом является произведение натуральных чисел 15 и 8.

Внуку 20 лет, а дед в 4 раза старше внука (иными словами, деду у 4 раза больше лет, чем внуку). Умножив натуральные числа 20 и 4, мы узнаем возраст деда.