Математика на cleverstudents.ru

Числа, действия с числами

Общее представление о делении натуральных чисел с остатком.

В этой статье мы внимательно рассмотрим деление с остатком. Начнем с общего представления об этом действии, далее выясним смысл деления натуральных чисел с остатком, и введем необходимые термины. Потом очертим круг задач, решаемых с помощью деления натуральных чисел с остатком. В заключении остановимся на всевозможных связях между делимым, делителем, неполным частным и остатком от деления.

Деление с остатком – общее представление об этом действии

В разделе общее представление о делении мы сказали, что деление связано с разъединением исходного множества на несколько множеств, и отметили, что наибольший интерес представляет деление на равные части (на одинаковые множества).

Однако провести деление на равные части далеко не всегда возможно. Например, разделить 7 цветков в букеты, чтобы в каждом букете было по 3 цветка, не получится. Но из 7 цветков можно составить 2 таких букета (для этого нужно 3·2=6 цветков) и седьмой цветок оказывается «лишним» (из него не получится составить требуемый букет). Иными словами, один цветок остается. Еще можно сказать, что после деления исходного количества цветков указанным способом образуется остаток. Итак, 7 цветков мы разделили в 2 требуемых букета по 3 цветка в каждом, при этом остался 1 цветок. Рассмотренный пример наглядно демонстрирует деление с остатком.

Теперь мы имеем представление о делении с остатком и можем дать определение этому действию.

Смысл деления натуральных чисел с остатком

Отталкиваясь от общего представления о делении с остатком, несложно выяснить смысл деления с остатком натуральных чисел.

Сразу скажем, что в результате деления натурального числа a на натуральное число b с остатком получаются два числа, обозначим их c и d. Теперь разберемся со смыслом, который несут в себе числа a, b, c и d, откуда будет понятен и смысл деления с остатком.

Нам известно, что натуральные числа связаны с количеством. Пусть натуральное число a, которое мы делим, определяет количество предметов в исходном множестве, а натуральное число d определяет количество предметов, которые остаются в исходном множестве после деления с остатком. Осталось определиться с числами b и c. Здесь возможны два варианта.

• Если натуральное число b соответствует количеству предметов в каждом из множеств, полученных после деления, то число c показывает количество полученных множеств.
• Если же натуральное число b задает количество множеств, на которые делится исходное множество, то число c определяет количество предметов в каждом из этих множеств.

Приведем пример, поясняющих смысл деления натуральных чисел с остатком. При делении натурального числа 13 на натуральное число 4 получили числа 3 и 1. Этому примеру можно сопоставить две равноправные ситуации.

• 13 предметов нужно разложить в кучки по 4 предмета в каждой. При этом получится 3 таких кучки, и в исходном множестве останется один предмет.
• 13 предметов нужно разложить в 4 кучки. При этом в каждой кучке окажется по 3 предмета, а в исходном множестве останется 1 предмет.

Следует отметить, что натуральное число a можно разделить с остатком на любое натуральное число b. При этом в зависимости значений чисел a и b могут возникнуть следующие три ситуации.

1. Числа a и b могут быть такими, что a делится на b без остатка. Иными словами, все предметы исходного множества могут быть разделены в требуемые множества. После этого действия в исходном множестве не останется ни одного предмета, то есть, число d будет равно нулю. (Таким образом, деление без остатка является частным случаем деления с остатком).
2. Число a может быть меньше, чем число b. В этом случае из предметов в исходном множестве не получится составить ни одного требуемого множества, то есть, число c будет равно нулю, остаток при этом будет равен числу предметов в исходном множестве, то есть, d=a.
3. Число a может делиться на число b с остатком. В этом случае все числа a, b, c и d будут натуральными числами.

Таким образом, результатом деления натуральных чисел a и b с остатком являются два числа c и d, причем числа c и d либо натуральные, либо одно из них равно нулю.

Делимое, делитель, неполное частное, остаток от деления

Пришло время определиться с терминами, с помощью которых описывается деление с остатком.

Натуральное число, которое делят, называют делимым. Натуральное число, на которое делят, называют делителем. В результате деления с остатком получаются два числа, одно из которых называют неполным частным, а другое – остатком. Например, при делении с остатком делимого 19 на делитель 5 получается неполное частное 3 и остаток 4.

Для обозначения деления с остатком используется такой же знак «разделить» вида «:», как и при делении без остатка, который записывается между делимым и делителем. Также можно встретить знак «÷», обозначающий то же самое действие. Например, запись 103:31 (такие записи называются числовыми выражениями) означает деление натурального числа 103 на натуральное число 31.

Если найдено неполное частное c и остаток d от деления числа a на число b, то применяется следующая форма краткой записи a:b=c (ост. d). Таким образом, записи деления с остатком отвечает следующая схема:
делимое : делитель = неполное частное (ост. остаток).

Из смысла деления с остатком понятно, что остаток всегда меньше делителя. Если бы остаток был больше делителя или равен делителю, то это бы значило, что из предметов, оставшихся в исходном множестве после деления, можно составить еще хотя бы одно требуемое множество.

Основные задачи, решаемые при помощи деления с остатком

Мы знаем, что результатом деления натуральных чисел с остатком являются два числа – неполное частное и остаток. Следовательно, нужно рассматривать два типа задач, решаемых при помощи деления с остатком. Ответом на первый тип задач является неполное частное, а на второй – остаток от деления. Остановимся на них подробнее.

В задачах первого типа требуется найти либо количество требуемых множеств, получающихся из имеющегося количества предметов в исходном множестве, либо количество предметов в множествах, полученных после деления. Приведем примеры.

К новому году было сделано 67 елочных игрушек. На каждую елку было решено повесить по 15 игрушек. Неполное частное от деления 67 на 15 позывает, какое количество елок можно нарядить.

Имеется 162 детали и 40 коробок, в которые эти детали раскладываются так, что в каждой коробке оказывается одинаковое количество деталей. Неполное частное от деления 162 на 40 определяет количество деталей в каждой коробке.

Следует сказать, что вместо количества каких-либо предметов речь в задачах может идти о каких-либо величинах (единицах измерения времени, массы, длины, площади и т.п.). Для примера приведем условия таких задач.

Квас на заводе разливается в двухлитровые бутылки. Было произведено 5 111 литров кваса. Если разделить 5 111 на 2, то неполное частное покажет, какое количество бутылок кваса изготовлено.

Рабочему на установку одного комплекта оборудования требуется 3 часа, а его рабочий день длится 8 часов. Неполное частное от деления натурального числа 8 на натуральное число 3 определяет количество установленных комплектов оборудования этим рабочим за его рабочий день.

В задачах второго типа, решаемых с помощью деления с остатком, требуется найти количество предметов, которые остаются в исходном множестве после деления. Конечно же вместо количества предметов могут быть также значения каких-либо величин. Приведем примеры.

Всего есть 193 конфеты, которые укладываются в коробки, причем в каждую коробку помещается строго определенное количество конфет. После раскладывания было получено 20 коробок с конфетами. Остаток от деления 193 на 20 покажет, сколько конфет останется не уложенными в коробки.

На изготовление одной бетонной плиты требуется 750 килограмм цемента. Было куплено 12 100 кг цемента. Остаток от деления 12 100 на 750 укажет, сколько цемента останется не израсходованным при производстве указанных плит.

Связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком

Чтобы установить связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком обратимся к следующему примеру.

Пусть мы разделили a предметов в b кучек, при этом в каждой кучке оказалось c предметов и в исходном множестве осталось d предметов, то есть, в силу смысла деления натуральных чисел с остатком имеем a:b=c (ост. d). Теперь рассмотрим возможные ситуации.

Нахождение делимого, если известен делитель, неполное частное и остаток

Если вновь объединить образовавшиеся b кучек по c предметов и добавить к ним оставшиеся d предметов, то понятно, что мы получим исходное множество, состоящее из a предметов. Описанным действиям в силу смысла умножения натуральных чисел и смысла сложения натуральных чисел соответствует следующее равенство c·b+d=a. А если вспомнить переместительное свойство сложения натуральных чисел и переместительное свойство умножения натуральных чисел, то полученное равенство можно переписать в виде a=b·c+d. То есть, делимое равно сумме двух слагаемых, первое из которых есть произведение делителя и неполного частного, а второе – остаток.

Полученное равенство вида a=b·c+d позволяет вычислять неизвестное делимое, если известен делитель, неполное частное и остаток.

Следует также отметить, что проверка результата деления натуральных чисел с остатком осуществляется проверкой справедливости полученного равенства a=b·c+d.

Нахождение остатка, если известно делимое, делитель и неполное частное

По своему смыслу остаток d – это то количество элементов, которое остается в исходном множестве после исключения из его a элементов b раз по c элементов. Следовательно, в силу смысла умножения натуральных чисел и смысла вычитания натуральных чисел справедливо равенство d=a−b·c. Таким образом, остаток d от деления натурального числа a на натуральное число b равен разности делимого a и произведения делителя b на неполное частное c.

Полученная связь d=a−b·c позволяет находить остаток, когда известно делимое, делитель и неполное частное. Рассмотрим решение примера.

Нахождение неполного частного, если известно делимое, делитель и остаток

Теперь давайте из исходного множества исключим количество элементов, равное остатку от деления. При этом в силу смысла вычитания натуральных чисел мы получим множество, состоящее из a−d элементов. Понятно, что элементы полученного множества можно разделить без остатка на b множеств, и в каждом множестве будет по c элементов. Таким образом, в силу смысла деления натуральных чисел будет справедливо равенство (a−d):b=c, которое можно переписать так c=(a−d):b.

Итак, чтобы найти неизвестное неполное частное c нужно от делимого a отнять остаток d и полученный результат разделить на делитель b.

Нахождение делителя, если известно делимое, неполное частное и остаток

Опять из исходного множества, содержащего a элементов, исключим d элементов. Понятно, что полученное множество будет содержать a−d элементов, из которых можно сформировать множества по c элементов, причем таких множеств получится b штук. Отсюда в силу смысла деления натуральных чисел будет справедливо равенство (a−d):c=b, которое можно переписать в виде b=(a−d):c.

Таким образом, чтобы вычислить неизвестный делитель b, нужно из делимого a вычесть остаток d, и полученную разность разделить на неполное частное c.