Математика на cleverstudents.ru

Числа, действия с числами

Сравнение натуральных чисел: равно или не равно, больше или меньше?

В этой статье мы поговорим о сравнении натуральных чисел между собой.

Сначала разберемся, что называют сравнением двух натуральных чисел и введем понятия равных и неравных натуральных чисел. Дальше уясним, какое из двух неравных натуральных чисел больше, а какое меньше, разберем примеры сравнения натуральных чисел. После этого рассмотрим натуральный ряд чисел, поговорим о наибольшем и наименьшем числе из некоторого множества чисел. В заключении покажем, как записывается результат сравнения трех и более натуральных чисел.

Что такое «сравнение натуральных чисел»?

Давайте для начала определимся, что мы будем понимать под сравнением двух натуральных чисел.

Представим такую картину: на дереве разместилась стая из 7 птиц, а на другом дереве – стая из 5 десятков птиц. Вроде бы и на одном дереве стая птиц, и на другом – стая птиц. Но эти стаи не похожи одна на другую. Вот этот вывод - «не похожи» - явился результатом действия, которое называют сравнением.

Под сравнением двух натуральных чисел будем понимать аналогичную «проверку на похожесть».

Будем считать, что сравнение двух натуральных чисел – это действие, которое приводит нас либо к первому, либо ко второму результату из следующих:

• первый результат сравнения назовем равенство, при этом будем говорить, что сравниваемые натуральные числа равны между собой;
• второй результат назовем неравенство, и будем говорить, что сравниваемые натуральные числа не равны между собой.

В случае неравенства двух натуральных чисел условимся считать, что одно из чисел меньше другого, и одно из чисел больше другого – это позволит значительно расширить применимость натуральных чисел.

Теперь можно переходить к определениям равных и неравных натуральных чисел, а также прояснить, какое из двух неравных чисел меньше, а какое больше.

Равные и неравные натуральные числа, знаки «=» (равно) и «≠» (не равно).

Дадим определение равных и неравных натуральных чисел.

По определению натуральное число 402 равно числу 402, числа 7 и 7 также равны (их записи одинаковы), а натуральные числа 55 283 и 505 283 не равны, числа 582 и 285 тоже не равны (записи этих чисел различны).

Для краткой записи равенства и неравенства двух натуральных чисел применяют знак равно «=» и знак не равно «≠» соответственно, которые располагают между числами. Например, запись 43=43 означает, что натуральное число 43 равно числу 43, а запись 50≠51 означает, что 50 не равно 51.

Запись, в которой присутствуют два натуральных числа и знак «=» между ними, будем называть равенством. Равенства могут быть как верными (например, 72=72 – верное равенство), так и неверными (к примеру, 76 170=861 – неверное равенство).

Сравнение однозначных натуральных чисел, знаки «<» (меньше) и «>» (больше).

Запишем все однозначные натуральные числа в одной строке в следующем порядке:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Из двух однозначных натуральных чисел, записанных в строку по указанному образцу, меньше то, которое находится левее, и больше то, которое находится правее.

Например, число 1 меньше числа 2, число 1 меньше, чем число 7, число 6 меньше любого из чисел 7, 8 и 9. А 2 больше 1; 7 больше, чем 4; 6 больше любого из чисел 1, 2, 3, 4 и 5.

Для краткой записи используют знак меньше «<» и знак больше «>», которые располагают между сравниваемыми числами. Например, запись 3<7 означает, что 3 меньше, чем 7, а запись 8>5 означает, что 8 больше, чем 5.

Запись, в которой присутствуют два натуральных числа и один из знаков «<» или «>» между этими числами, называют неравенством. Неравенства, как и равенства, бывают верными и неверными. Вот пример верного неравенства 2<9, а неравенство 5>8 - неверное.

Сравнение однозначного и многозначного натуральных чисел.

Примем за правило, что любое однозначное натуральное число меньше любого многозначного натурального числа.

В качестве примера запишем несколько верных неравенств: 9<10, 4<42, 300>3, 3 043>7. А вот неравенства 6>11, 543<5 и 9>1 000 - неверные.

Осталось разобраться со сравнением многозначных чисел.

Сравнение многозначных натуральных чисел.

Для начала разберемся со сравнением двух неравных многозначных натуральных чисел, записи которых состоят из равного количества знаков. Прежде чем продолжить чтение, рекомендуем освежить в памяти информацию из раздела разряды натурального числа, значение разряда.

Сравнение таких чисел проводится поразрядно слева направо до нахождения неравных значений разрядов. Меньшим (большим) будем считать то число, у которого значение соответствующего разряда меньше (больше).

Для применения озвученного правила нам понадобиться принять еще одну условность: будем считать, что число 0 меньше любого натурального числа, и что нуль равен нулю (напомним, что число 0 не относится к натуральным числам).

Разберемся на примерах.

Осталось разобраться со сравнением двух многозначных натуральных чисел, записи которых состоят из неравного количества знаков.

В этих случаях, меньшим (большим) будем считать то число, запись которого состоит из меньшего (большего) количества знаков.

Натуральный ряд чисел, счет, нумерация.

Запишем все однозначные натуральные числа так, чтобы каждое следующее было больше, чем предыдущее:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Продолжим эту последовательность натуральных чисел двухзначными числами:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …, 99.

Далее таким же образом допишем все трехзначные числа:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …, 99, 100, 101, 102, 103, …, 999.

Продолжим дописывать к полученной последовательности все четырехзначные числа, затем пятизначные числа, далее шестизначные числа и так далее.

Очевидно, этот процесс не имеет конца. В результате получим бесконечную последовательность всех натуральных чисел, которую называют натуральным рядом чисел.

Давайте теперь познакомимся с еще одним важным процессом – счетом.

При счете натуральные числа называют одно за другим так, как они записаны в натуральном ряду – один, два, три, четыре и так далее. Счет можно применять для того, чтобы узнать количество предметов.

Например, перед нами куча предметов и нам нужно знать их количество. Для этого берем один предмет, откладываем его в сторону и произносим «один». Далее из исходной кучи опять берем предмет, откладываем его в сторону и произносим «два». И так продолжаем перекладывать предметы из исходной кучи в сторону, пока они есть, называя при этом числа натурального ряда. Натуральное число, на котором предметы в куче закончатся, укажет их количество. Когда мы узнаем количество предметов при помощи счета, можно сказать, что предметы пересчитаны.

Понятно, что из двух натуральных чисел меньше то, которое при счете называют раньше, и больше то, которое называют позже.

Числа натурального ряда также используют для нумерации предметов. Пусть у нас есть некоторое множество предметов. Запишем на этих предметах по одному числу из натурального ряда, начиная с единицы. При этом получим множество нумерованных предметов. Натуральные числа, записанные на предметах, соответствуют номерам предметов. Предметы с номерами 1, 2, 3, 4, 5, 6 и так далее называют первый, второй, третий, четвертый, пятый, шестой и так далее.

Нумерация полезна, когда нужно различать одинаковые предметы.

Натуральные числа на координатном луче.

Давайте для начала вспомним, что представляет собой координатный луч.

Если смотреть слева направо, то каждой точке координатного луча, отмеченной штрихом, мы последовательно ставили в соответствие натуральные числа 1, 2, 3, …, которые назвали координатами этих точек. При таком построении получается, что точки, которым соответствуют меньшие натуральные числа, расположены левее точек, которым соответствуют большие натуральные числа. Следовательно, точка с меньшей координатой лежит на координатном луче левее точки с большей координатой.

В качестве примера возьмем натуральные числа 2 и 6. Рассмотрим две точки A и B на координатном луче, координатами которых являются натуральные числа 2 и 6 соответственно.

Очевидно, точка А лежит левее точки B, следовательно, координата точки A меньше координаты точки B, то есть, 2<6. Можно было рассуждать и так: «Точка B(6) расположена правее точки A(2), поэтому, натуральное число 6 больше натурального числа 2».

Наименьшее и наибольшее натуральное число.

Отметим, что не существует ни одного натурального числа, которое меньше, чем число 1. Говорят, что число 1 – наименьшее из множества всех натуральных чисел.

А вот число, которое больше любого данного натурального числа, существует (таким числом, например, является следующее число в натуральном ряду чисел), поэтому не существует наибольшего числа из множества всех натуральных чисел.

Однако можно назвать наибольшее число из множества всех однозначных натуральных чисел. Это число 9. Действительно, не существует однозначного натурального числа, которое больше, чем число 9.

А какое наибольшее натуральное число из множества всех двузначных натуральных чисел? Конечно же, это число 99. Аналогично можно указать наибольшее число из множества всех трехзначных, четырехзначных и т.д. натуральных чисел.

Сравнивая всевозможные пары чисел из данного множества натуральных чисел, можно найти наименьшее и наибольшее числа. Например, число 3 является наименьшим, а число 54 наибольшим из чисел 5, 3, 34, 34, 34, 12, 12, 54.

Двойные неравенства, тройные неравенства и так далее.

Мы знаем, что 5<12, а 12<35. Два записанных неравенства иногда удобно представлять в виде двойного неравенства: 5<12<35. Следует заметить, что двойное неравенство дает три неравенства 5<12, 12<35 и 5<35, а не два 5<12 и 12<35. Однако неравенство 5<35 следует из неравенств 5<12 и 12<35 (смотрите раздел теории свойства числовых неравенств).

В виде двойного неравенства можно записывать результат сравнения трех натуральных чисел. Например, пусть нам нужно сравнить три натуральных числа 76, 512 и 10. Сравнивая попарно данные числа, имеем три неравенства 76<512, 76>10 и 512>10, которые можно записать как двойное неравенство 10<76<512.

Аналогично строятся тройные, четверные и т.д. неравенства. Например, мы знаем, что 5<17, 17<305, 305<1 000, 1 000<3 214, тогда можно записать 5<17<305<1 000<3 214.