Сравнение смешанных чисел: правила, примеры, решения.
В этой статье речь пойдет про сравнение смешанных чисел. Сначала мы разберемся, какие смешанные числа называются равными, а какие – неравными. Дальше мы приведем правило сравнения неравных смешанных чисел, которое позволяет выяснить, какое число больше, а какое – меньше, и рассмотрим примеры. Наконец, мы остановимся на сравнении смешанных чисел с натуральными числами и обыкновенными дробями.
Равные и неравные смешанные числа
Сначала нужно знать, какие смешанные числа называются равными, а какие – неравными. Дадим соответствующие определения.
Определение.
Равные смешанные числа – это смешанные числа, у которых равны и целые части, и дробные части.
Иными словами, два смешанных числа называются равными, если их записи полностью совпадают. Если же записи смешанных чисел отличаются, то такие смешанные числа называют неравными.
Определение.
Неравные смешанные числа – это смешанные числа, записи которых отличаются.
Озвученные определения позволяют с одного взгляда определить, равны ли данные смешанные числа или нет. Например, смешанные числа 
и равные, так как их записи полностью совпадают. Эти числа имеют равные целые части и равные дробные части. А смешанные числа 
и 
- неравные, так как они имеют неравные целые части. Другими примерами неравных смешанных чисел являются 
и 
, а также 
и 
.
Иногда возникает необходимость выяснить, какое из двух неравных смешанных чисел больше другого, а какое – меньше. Как это делается, рассмотрим в следующем пункте.
Сравнение смешанных чисел
Сравнение смешанных чисел можно свести к сравнению обыкновенных дробей. Для этого достаточно перевести смешанные числа в неправильные дроби.
Для примера, сравним смешанное число 
и смешанное число 
, представив их в виде неправильных дробей. Имеем 
и 
. Так сравнение исходных смешанных чисел сводится к сравнению дробей с разными знаменателями 
и 
. Так как 
, то 
.
Сравнение смешанных чисел через сравнение равных им дробей является не лучшим решением. Гораздо удобнее использовать следующее правило сравнения смешанных чисел: больше то смешанное число, целая часть которого больше, если же целые части равны, то больше то смешанное число, дробная часть которого больше.
Рассмотрим, как происходит сравнение смешанных чисел по озвученному правилу. Для этого разберем решения примеров.
Пример.
Сравните смешанные числа 
и 
.
Решение.
Целая часть смешанного числа меньше целой части смешанного числа (5<31 смотрите сравнение натуральных чисел), поэтому 
.
Ответ:
.
Пример.
Какое из смешанных чисел 
и 
больше?
Решение.
Целые части сравниваемых смешанных чисел равны, поэтому сравнение сводится к сравнению дробных частей 
и 
. Так как 
, то 
. Таким образом, смешанное число больше, чем смешанное число .
Ответ:
.
Сравнение смешанного числа и натурального числа
Разберемся, как сравнить смешанное число и натуральное число.
Справедливо такое правило сравнения смешанного числа с натуральным числом: если целая часть смешанного числа меньше данного натурального числа, то смешанное число меньше данного натурального числа, а если целая часть смешанного числа больше или равна данному смешанному числу, то смешанное число больше данного натурального числа.
Разберем примеры сравнения смешанного числа и натурального числа.
Пример.
Сравните числа 6 и 
.
Решение.
Целая часть смешанного числа равна 9. Так как она больше натурального числа 6, то 
.
Ответ:
.
Пример.
Дано смешанное число 
и натуральное число 34, какое из чисел меньше?
Решение.
Целая часть смешанного числа меньше числа 34 (11<34), поэтому 
.
Ответ:
смешанное число меньше, чем число 34.
Пример.
Выполните сравнение числа 5 и смешанного числа 
.
Решение.
Целая часть данного смешанного числа равна натуральному числу 5, следовательно, данное смешанное число больше, чем 5.
Ответ:
.
В заключение этого пункта отметим, что любое смешанное число больше единицы. Это утверждение следует из правила сравнения смешанного числа и натурального числа, а также из того, что целая часть любого смешанного числа либо больше 1, либо равна 1.
Сравнение смешанного числа и обыкновенной дроби
Сначала скажем про сравнение смешанного числа и правильной дроби. Любая правильная дробь меньше единицы (смотрите правильные и неправильные дроби), следовательно, любая правильная дробь меньше любого смешанного числа (так как любое смешанное число больше 1).
Приведем пример: смешанное число 
больше любой правильной дроби, в частности, смешанное число больше дроби 
.
Сравнение смешанного числа и неправильной дроби можно свести либо к сравнению двух дробей, либо к сравнению двух смешанных чисел. Для этого в первом случае смешанное число нужно представить в виде неправильной дроби, во втором случае – неправильную дробь представить в виде смешанного числа. Второй способ предпочтительнее.
Пример.
Сравните смешанное число 
и дробь 28/3.
Решение.
Покажем два способа решения.
Первый способ. Переведем смешанное число в неправильную дробь: 
. Остается сравнить дроби 74/9 и 28/3, имеем 
. Следовательно, 
.
Второй способ. Выделим целую часть из неправильной дроби 28/3, имеем 
. Теперь сравним смешанные числа и 
, получаем 
. Следовательно, .
Ответ:
.
Список литературы.
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
- Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.