Математика на cleverstudents.ru

Числа, действия с числами

Сравнение целых чисел, правила, примеры.

Будем считать, что мы имеем общее представление о целых числах. В этой статье мы разберемся со сравнением целых чисел. Сначала мы выясним, какие целые числа называются равными, а какие – неравными. Дальше мы подробно разберем правила, которые позволяют выяснить, какое из двух неравных целых чисел больше, а какое – меньше. Все эти правила базируются на хорошо известном нам сравнении натуральных чисел, так что никаких сложностей с изучением материала возникнуть не должно. В заключение мы рассмотрим сравнение трех и более целых чисел, и научимся находить наибольшее и наименьшее целое число из их некоторого конечного множества.

Равные и неравные целые числа

Результатом сравнения двух целых чисел может быть один из выводов: либо эти числа равны, либо – не равны. Для начала дадим определение равных и неравных целых чисел.

Отдельно скажем о равенстве целых чисел 0 и −0. Число −0 есть противоположное число нулю, а число, противоположное нулю, есть нуль.

На основании приведенного определения мы легко можем выяснить, равны ли два заданных целых числа. Например, целые числа −95 и −95 равны, так как их записи одинаковы и знаки тоже, целые числа −1 и 1 не равны, так как их знаки различны, целые числа 148 и −90 312 также не равны, так как их записи и знаки различны.

Для записи равных чисел используют знак равно вида «=», который располагают между равными числами. Например, равенство целых чисел −51 и −51 можно записать как −51=−51, с другой стороны запись −767=−767 означает равенство целых чисел −767 и −767. Также для краткости записи используется знак не равно вида «≠». К примеру, запись 54≠−61 означает, что целые числа 54 и −61 не равны.

Приведем еще одну более строгую формулировку определения равных и неравных целых чисел, в которой фигурирует модуль числа.

Приведем пример использования этого определения для выяснения равенства или неравенства двух целых чисел.

Рассмотрим пример. Выясним, равны ли целые числа −708 и −711. Оба числа имеют знак минус, поэтому переходим к сравнению модулей этих целых чисел. Модуль числа −708 равен 708, а , и натуральные числа 708 и 711 не равны (при необходимости смотрите раздел теории равные и неравные натуральные числа). То есть, модули сравниваемых целых чисел не равны, следовательно, −708≠−711.

Разберем еще один пример. Целые числа 11 и 11 равны, так как знаки сравниваемых целых чисел одинаковы (оба числа 11 и 11 со знаком плюс), и модулями этих чисел являются равные натуральные числа 11 и 11. Отметим, что можно было рассуждать и так: сравниваемые целые числа 11 и 11 являются натуральными числами, причем их записи одинаковы, значит, они равны.

В случае неравенства двух чисел обычно принято уточнять, какое из чисел больше, а какое – меньше другого. Ниже мы разберем правила, позволяющие это делать.

Сравнение произвольных целых чисел с нулем

Как мы уже сказали в предыдущем пункте, нуль равен нулю по определению равных целых чисел, то есть, 0=0. Вместе с этим справедливы равенства 0=−0 и −0=0. Действительно, −0 – это число, противоположное нулю, а число, противоположное нулю, есть нуль.

Когда мы говорили о сравнении натуральных чисел, то мы упоминали, что любое натуральное число больше нуля. Так как любое целое положительное число (при необходимости обращайтесь к материалу статьи положительные и отрицательные числа) является натуральным, то любое целое положительное число больше нуля.

Осталось определиться со сравнением отрицательных целых чисел с числом 0. Будем считать, что любое целое отрицательное число меньше нуля.

Обобщим информацию этого пункта в правило сравнения произвольного целого числа с нулем: любое целое отрицательное число меньше нуля, нуль равен нулю, а любое целое положительное число больше нуля. Это правило можно переформулировать так: нуль больше любого целого отрицательного числа, нуль равен нулю, и нуль меньше любого целого положительного числа.

Рассмотрим примеры. Каждое из целых чисел 4, 893, 10 000 больше, чем нуль, так как эти числа положительные. С другой стороны нуль меньше любого из указанных целых положительных чисел.

Приведем несколько примеров сравнения целых отрицательных чисел с нулем. Целое число −1 меньше, чем 0, так как −1 – отрицательное число. Аналогично, −50 меньше нуля. Нуль больше, чем целое отрицательное число −30 999.

Нужно еще сказать о принятых обозначениях. Для записи результатов сравнения используют знаки меньше и больше, которые имеют вид < и > соответственно. Например, запись −23<0 означает, что целое отрицательное число −23 меньше, чем 0. А тот факт, что целое положительное число 405 больше нуля можно записать как 405>0.

Сравнение положительных целых чисел

Известно, что любое целое положительное число – это натуральное число. Следовательно, сравнение целых положительных чисел представляет собой сравнение натуральных чисел.

Для примера сравним целые положительные числа 34 001 и 5 999. Так как в записи числа 34 001 участвуют 5 знаков, а в записи числа 5 999 участвуют 4 знака и 5>4, то 34 001>5 999.

Еще пример. Сравним целое положительное число 357 с целым положительным числом 359. Очевидно, что данные числа не равны, и они оба трехзначные. Поэтому будем производить сравнение поразрядно, начиная со старшего разряда натуральных чисел 357 и 359. Значения разряда сотен равны, также как и значения разряда десятков. А значение разряда единиц числа 357 (оно равно 7) меньше, чем значение разряда единиц числа 359 (оно равно 9), следовательно, 357<359. На этом сравнение данных целых положительных чисел завершено.

Сравнение целого отрицательного числа с целым положительным

Озвучим правило сравнения: любое целое отрицательное число меньше любого целого положительного числа. Это же правило можно сформулировать и так: любое целое положительное число больше, чем любое целое отрицательное число.

Рассмотрим несколько примеров сравнения целого положительного числа с целым отрицательным.

Какое из двух целых чисел −45 и 23 больше? Так как число 23 – положительное, а число −45 – отрицательное, то число 23 больше, чем число −45.

Сравните целые числа −1 и 511. Мы можем сразу дать ответ: отрицательное целое число −1 меньше, чем положительное целое число 511.

Сравнение целых отрицательных чисел

Правило сравнения отрицательных целых чисел основано на сравнении модулей этих чисел: из двух отрицательных целых чисел меньше то, модуль которого больше. Можно также сказать, что из двух отрицательных целых чисел больше то, модуль которого меньше.

Рассмотрим применение правила сравнения двух отрицательных целых чисел на примере.

Сравним отрицательные целые числа −34 и −67. Модули этих чисел равны соответственно 34 и 67. Так как модуль числа −67 больше модуля числа −34, то есть 67>34, то −67<−34 (или −34>−67).

Сравниваемые целые числа на координатной прямой

Построим координатную прямую. Расположим ее горизонтально и направим вправо.

Все рассмотренные выше правила сравнения целых чисел позволяют утверждать, что на горизонтальной координатной прямой точки, которым соответствуют большие целые числа, лежат правее точек, которым соответствуют меньшие целые числа.

Например, −1>−6 и точка с координатой −1 расположена правее точки с координатой −6. Еще пример: точка с координатой 2 расположена правее точки с координатой −7, и целое положительное число 2 больше целого отрицательного числа −7.

Также очевидно, что начало отсчета, которому соответствует число нуль, расположено правее любой точки, координатой которой является целое отрицательное число, а мы знаем, что нуль больше, чем любое целое отрицательное число. А все точки, координатами которых являются целые положительные числа, расположены правее точки O, и любое целое положительное число больше нуля.

Наибольшее отрицательное и наименьшее положительное целое число

Со сравнением двух целых чисел мы полностью разобрались в предыдущих разделах этой статьи. Сейчас мы еще вкратце остановимся на сравнении трех и большего количества целых чисел, и разберем возникающие при этом ситуации.

Когда сравниваются три и более числа, то сначала проводится сравнение всех возможных пар, составленных из этих чисел. Например, при сравнении четырех целых чисел 7, 17, 0 и −2 попарно сравниваются 7 и 17, 7 и 0, 7 и −2, 17 и 0, 17 и −2, 0 и −2, при этом получаются следующие результаты 7<17, 7>0, 7>−2, 17>0, 17>−2 и 0>−2. После этого полученные результаты объединяются в цепочку неравенств (и равенств, когда есть равные числа). Для этого исходные числа записываются в порядке возрастания от самого меньшего до самого большего и между двумя соседними числами ставятся знак < (и знак = между равными числами). В нашем примере цепочка неравенств будет иметь следующий вид −2<0<7<17.

При сравнении нескольких чисел возникает понятие наибольшего и наименьшего числа.

Проще говоря, наибольшее число – это самое большое число в данном множестве чисел, а наименьшее число – это самое маленькое число.

Приведем пример наибольшего и наименьшего целого числа в множестве, состоящем из шести целых чисел −4, −81, −4, 17, 0 и 17. Результат сравнения этих чисел имеет вид −81<−4=−4<0<17=17. Отсюда хорошо видно, что число −81 является наименьшим целым числом в рассматриваемом множестве, а число 17 – наибольшим целым числом в этом множестве.

Вообще все числа из множества целых чисел можно записать в порядке возрастания (каждое следующее число больше предыдущего), при этом получим последовательность целых чисел вида …, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … Эту последовательность целых чисел можно также записать в виде бесконечной цепочки неравенств: …<−5<−4<−3<−2<−1<0<1<2<3<4<5<…

Отсюда видно, что в множестве целых чисел не существует ни наибольшего целого числа, ни наименьшего целого числа. Действительно, всегда можно указать целое число, которое больше любого наперед заданного сколь угодно большого целого числа (им будет любое следующее число в последовательности целых чисел). Аналогично можно указать целое число, которое меньше любого наперед заданного сколь угодно малого целого числа (это любое число, предшествующее заданному числу в последовательности целых чисел).

Однако во множестве целых положительных чисел (1, 2, 3, …) существует наименьшее целое число – это число 1. Во множестве целых неотрицательных чисел (0, 1, 2, 3, …) наименьшим числом является число 0. Целое положительное число в только что указанных множествах мы указать не можем.

Число нуль является наибольшим целым неположительным числом (во множестве целых неположительных чисел …, −3, −2, −1, 0). А −1 (минус один) – это наибольшее целое число в множестве целых отрицательных чисел (…, −3, −2, −1). Наименьшего целого числа эти множества не имеют.