Числа, действия с числами Помощь в написании работ

Сложение натуральных чисел: правила, примеры и решения.


Мы имеем общее представление о сложении натуральных чисел и знаем свойства сложения натуральных чисел. Осталось научиться выполнять это действие. В этой статье мы как раз разберем правила сложения натуральных чисел, причем эти правила сразу будем применять, решая характерные примеры. В конце статьи мы покажем, как выполняется проверка результата сложения натуральных чисел.


Таблица сложения, состав десятка.

Основываясь на смысле сложения и владея навыками счета, мы можем проверить справедливость следующих результатов.

Рекомендуем запомнить все эти результаты наизусть, так как мы их будем постоянно использовать при сложении натуральных чисел.

Записанные результаты удобно представлять в виде так называемой таблицы сложения натуральных чисел.

Пользоваться таблицей сложения достаточно просто. Находим столбец, в верхней ячейке которого содержится первое слагаемое (второе слагаемое), после чего находим строку, в левой ячейке которой располагается второе слагаемое (первое слагаемое). Суммой является число, находящееся в ячейке, в которой пересекаются найденные столбец и строка. Приведем рисунок, поясняющий нахождение суммы натуральных чисел 7 и 2 с помощью таблицы сложения.

Давайте еще отдельно остановимся на слагаемых, дающих в сумме число 10. Перечислим их 1 и 9; 2 и 8; 3 и 7; 4 и 6; 5 и 5; 6 и 4; 7 и 3; 8 и 2; 9 и 1. На этих слагаемых мы заострили внимание не случайно – эти слагаемые составляют десяток и будут дальше очень часто использоваться при сложении произвольных натуральных чисел.

Сложение трех, четырех и большего количества чисел.

До этого момента мы говорили лишь о сложении двух натуральных чисел. Однако, сочетательное свойство сложения позволяет однозначно определить сумму для трех, четырех и т.д. чисел.

Сочетательное свойство сложения позволяет нам утверждать, что результат сложения трех чисел a, b и c не зависит от расстановки скобок. Таким образом, суммы a+(b+c) и (a+b)+c логично записывать в виде a+b+c. Это выражение также будем называть суммой, а числа a, b и c – слагаемыми.

Аналогично, в силу сочетательного свойства сложения, равны суммы (a+b)+(c+d), (a+(b+c))+d, ((a+b)+c)+d, a+(b+(c+d)) и a+((b+c)+d). То есть, результат сложения четырех натуральных чисел a, b, c и d не зависит от расстановки скобок. В этом случае их сумму записывают в виде следующего выражения: a+b+c+d.

Вообще, результат сложения любого конечного количества чисел не зависит от начального способа расстановки скобок, и в записи суммы скобки обычно не пишут.

А как же вычислять сумму трех и более чисел, запись которой не содержит скобок? В этом случае мы можем сами расставить скобки любым допустимым способом и, последовательно складывая по два числа, прийти к результату. То есть, процесс сложения трех и более чисел сводится к последовательной замене двух соседних слагаемых их суммой.

Для примера вычислим сумму 1+3+2+1+5. Покажем два способа (хотя способов вычисления этой суммы больше, чем два).

Первый способ. На каждом шаге будем заменять первые два слагаемых их суммой. Так как сумма чисел 1 и 3 равна 4, тогда 1+3+2+1+5=4+2+1+5 (мы заменили сумму 1+3 числом 4). Так как сумма чисел 4 и 2 равна 6, то 4+2+1+5=6+1+5. Так как сумма чисел 6 и 1 равна 7, то 6+1+5=7+5. Наконец, 7+5=12. Таким образом, 1+3+2+1+5=12. Это решение соответствует следующему способу расстановки скобок: (((1+3)+2)+1)+5.

Второй способ. Расставим скобки так: ((1+3)+(2+1))+5. Так как 1+3=4, а 2+1=3, то ((1+3)+(2+1))+5=(4+3)+5. Сумма четырех и трех равна семи, тогда (4+3)+5=7+5. Наконец, 7+5=12.

Следует сказать, что на результат сложения двух, трех, четырех и так далее чисел не влияет не только расстановка скобок, но и порядок, в котором записаны слагаемые. Это утверждение следует из свойств сложения натуральных чисел. Таким образом, при вычислении сумм натуральных чисел, мы можем менять слагаемые местами, что в некоторых случаях позволяет проводить сложение рациональнее.

Заметим также, что сложение трех и большего количества чисел имеет смысл, аналогичный смыслу сложения двух натуральных чисел. То есть, результат сложения трех и большего количества натуральных чисел, указывающих количества складываемых предметов, соответствует общему количеству предметов после сложения.

Решим такую задачу.

Пример.

С трех яблонь собирают яблоки и складывают их вместе. Пусть с первой яблони собрали 2 яблока, со второй 4 яблока, а с третьей – 3 яблока. Сколько всего собрали яблок?

Решение.

Общее количество собранных яблок определяется суммой трех чисел 2, 4 и 3. Вычислим эту сумму: 2+4+3=6+3=9.

Ответ:

всего собрали 9 яблок.

Подытожим информацию этого пункта.

Сложение натуральных чисел базируется на сложении двух натуральных чисел. Действительно, сложение трех и более чисел представляет собой последовательное сложение двух чисел. Кроме того, в силу переместительного и сочетательного свойства сложения, складываемые числа можно менять местами и заменять любые два из складываемых чисел их суммой.

Сложение десятков с десятками, сотен с сотнями и так далее.


Примем правило: десятки складываются с десятками, сотни – с сотнями, тысячи - с тысячами и т.д. так же, как единицы складываются с единицами. Иными словами, используя таблицу сложения, можно складывать не только натуральные числа от 1 до 9, но и десятки с десятками, сотни с сотнями, тысячи с тысячами и так далее.

Рассмотрим несколько примеров.

Сложим 30 и 20. Из таблицы сложения находим, что сумма натуральных чисел 3 и 2 есть число 5, тогда сумма 3 десятков и 2 десятков есть 5 десятков.

А сейчас выполним сложение натуральных чисел 400 и 400. Сумма 4 сотен и 4 сотен есть 8 сотен, так как 4+4=8, таким образом, 400+400=800.

Если вспомнить, что десять десятков – это 100, десять сотен – это 1 000, десять тысяч – это 10 000, десять десятков тысяч – это 100 000, десять сотен тысяч – это 1 000 000 и т.д., то сразу станет понятно, как выполнено сложение в следующих примерах.

Выясним, какому числу равна сумма 6 десятков и 4 десятков. Обратившись к таблице сложения, имеем 6+4=10. Тогда, сложив 6 десятков и 4 десятка, имеем 10 десятков, то есть, 1 сотню. Таким образом, 60+40=100.

Аналогично, 7 миллионов и 3 миллиона в сумме дают 10 миллионов, так как 7+3=10. То есть, 7 000 000+3 000 000=10 000 000.

Чтобы двигаться дальше, нам потребуется таблица сложения, в которой все двузначные числа заменены соответствующими суммами разрядных слагаемых.

Давайте разберемся, как ее использовать для сложения десятков с десятками, сотен с сотнями и т.д.

Сложим 8 десятков и 9 десятков. Из таблицы сложения находим, что 8+9=10+7. Следовательно, если сложить 8 десятков и 9 десятков, то получим сумму 10 десятков и 7 десятков, то есть, сумму 100 и 70. Таким образом, 80+90=100+70. Сумма 100+70 представляет собой сумму разрядных слагаемых числа 170. Все эти рассуждения удобно записывать в виде последовательной цепочки равенств: 80+90=100+70=170. Подобные записи означают, что значения всех выражений, которые разделены знаками равенства, равны.

Для закрепления материала рассмотрим решение еще одного примера. Выполним сложение 4 000+7 000. Таблица сложения дает нам равенство 4+7=10+1. Таким образом, сложить 4 тысячи и 7 тысяч это все равно, что сложить 10 тысяч и 1 тысячу. Следовательно, 4 000+7 000=10 000+1 000. Последняя сумма представляет собой разложение по разрядам натурального числа 11 000. Имеем 4 000+7 000=10 000+1 000=11 000.

Сложение произвольных натуральных чисел.

Прежде чем перейти к сложению произвольных натуральных чисел, рекомендуем досконально изучить материал статьи сумма разрядных слагаемых, чтобы Вы не задумываясь могли раскладывать любое натуральное число по разрядам, и также не задумываясь по известному разложению сразу могли записать разложенное натуральное число. От этого напрямую будет зависеть, насколько легко Вам будет выполнять сложение произвольных натуральных чисел.

Опишем последовательность действий:

Разберем сложение двух натуральных чисел на примерах.

Пример.

Выполните сложение 36+2.

Решение.

Разложение числа 36 по разрядам имеет вид 30+6, а числа 2 – вид 2. Тогда 36+2=30+6+2.

В этом примере нам не нужно переставлять слагаемые, так как они и так находятся в нужном нам порядке.

Теперь складываем единицы: 6+2=8. Следовательно, 30+6+2=30+8.

Пришли к сумме 30+8, которая равна 38.

Таким образом, решение можно записать так: 36+2=30+6+2=30+8=38.

Ответ:

36+2=38.

Пример.

Сложите числа 57 и 17.

Решение.

Так как 57=50+7, а 17=10+7, то 57+17=50+7+10+7.

После перестановки слагаемых сумма примет следующий вид: 50+10+7+7.

Теперь складываем единицы (если не помните наизусть, то обращайтесь к таблице сложения): 7+7=10+4.

Таким образом, 50+10+7+7=50+10+10+4.

Переходим к сложению десятков, то есть, к нахождению суммы трех слагаемых 50, 10 и 10. Сложим сначала 50 и 10, после чего к полученному результату прибавим оставшееся число 10. Поехали: 50+10=60, так как 5+1=6, тогда 50+10+10=60+10=70, так как 6+1=7.

Имеем, 50+10+10+4=70+4. Последняя сумма представляет собой разложение по разрядам числа 74.

Итак, 57+17=50+7+10+7=50+10+7+7=50+10+10+4=70+4=74.

Ответ:

57+17=74.

Пример.

Вычислите сумму чисел 3 007 и 200.

Решение.

Разложение числа 3 007 по разрядам имеет вид 3 000+7, а числа 200 – вид 200. Тогда 3 007+200=3 000+7+200=3 000+200+7. Мы получили разложение по разрядам числа 3 207. Таким образом, 3 007+200=3 207.

Ответ:

3 007+200=3 207.

Пример.

Сложите числа 28 301 и 73 745.

Решение.

Разложим данные числа по разрядам: 28 301=20 000+8 000+300+1 и 73 745=70 000+3 000+700+40+5.

Тогда
28 301+73 745=20 000+8 000+300+1+70 000+3 000+700+40+5=20 000+70 000+8 000+3 000+300+700+40+1+5.
(При переносе равенств на следующую строку знак «=» записывают еще раз).

Складываем единицы: 1+5=6. После этого имеем 20 000+70 000+8 000+3 000+300+700+40+1+5=20 000+70 000+8 000+3 000+300+700+40+6.

Десятки складывать не нужно.

Складываем сотни: 300+700=1 000, так как 3+7=10. На этом этапе имеем 20 000+70 000+8 000+3 000+300+700+40+6=20 000+70 000+8 000+3 000+1000+40+6.

Складываем тысячи. Так как 8+3=10+1, то 8 000+3 000+1 000=10 000+1 000+1 000=10 000+2 000. На этом этапе получаем
20 000+70 000+8 000+3 000+1 000+40+6=20 000+70 000+10 000+2 000+40+6.

Складываем десятки тысяч: 20 000+70 000+10 000=90 000+10 000=100 000. Тогда 20 000+70 000+10 000+2 000+40+6=100 000+2 000+40+6.

Сумма 100 000+2 000+40+6 равна числу 102 046.

Ответ:

28 301+73 745=102 046.

В заключение этого пункта отметим, что сложение многозначных натуральных чисел удобно проводить в столбик, поэтому рекомендуем изучить материал статьи сложение натуральных чисел столбиком.

Сложение натуральных чисел на координатном луче.

Целью этого пункта является представление геометрической интерпретации операции сложения натуральных чисел. Достигнуть этой цели нам поможет координатный луч. Будем считать, что координатный луч расположен горизонтально и вправо.

На координатном луче сложение двух натуральных чисел a и b представляет собой последовательность следующих действий. Сначала мы находим точку с координатой a. Из этой точки последовательно друг за другом откладываем b единичных отрезков так, чтобы происходило удаление от начала отсчета. Это нас приведет в точку на координатном луче, координатой которой является натуральное число, равное сумме a+b. Иными словами мы из точки с координатой a перемещаемся вправо на расстояние b, при этом попадаем в точку, координата которой равна сумме чисел a и b.

Для наглядности приведем пример. Покажем, что представляет собой сложение натуральных чисел 2 и 4 на координатном луче (смотрите рисунок ниже). Из точки с координатой 2 мы откладываем 4 единичных отрезка. После этого мы попадаем в точку, координатой которой является число 6. Таким образом, 2+4=6.

Проверка результата сложения натуральных чисел вычитанием.

Проверка результата сложения натуральных чисел с помощью вычитания основана на достаточно очевидной связи между сложением и вычитанием. Проследить эту связь легко, обратившись к следующему примеру.

Пусть у нас есть 7 яблок и 2 груши. Сложим эти фрукты вместе, тогда сумма 7+2=9 в силу смысла сложения натуральных чисел определяет общее количество фруктов. Понятно, что если из сложенных вместе фруктов (всего их 9) отложить в сторону 7 яблок, то в другой стороне останутся 2 груши. Описанному действию в силу смысла вычитания натуральных чисел соответствует равенство 9−7=2. Аналогично, если из сложенных вместе фруктов в сторону отложить 2 груши, то в другой стороне останутся 7 яблок. Этому действию отвечает равенство 9−2=7.

Рассмотренный пример приводит нас к правилу, формулировка которого такова: если из суммы двух натуральных чисел вычесть одно из слагаемых, то результатом будет другое слагаемое. Это правило с помощью букв записывается следующим образом: если a+b=c, то c−a=b и c−b=a, где a, b и c – некоторые натуральные числа.

Озвученное правило позволяет выполнять проверку результата сложения натуральных чисел. Осталось разобраться, как проводится проверка результата сложения с помощью вычитания на примерах.

Пример.

При сложении натуральных чисел 23 и 17 было получено число 41. Правильно ли было выполнено сложение?

Решение.

Выполним проверку результата сложения вычитанием. Для этого от вычисленной суммы 41 отнимем одно из слагаемых, например 17, и посмотрим, равна ли разность другому слагаемому 23. Имеем 41−17=24 (при необходимости обращайтесь к статье вычитание натуральных чисел). Так как полученное число 24 отлично от слагаемого 23, то можно утверждать, что сложение натуральных чисел 23 и 17 было выполнено неверно.

Ответ:

проверка показала, что сложение было выполнено неправильно.

Пример.

Сложите натуральные числа 106 и 57, результат проверьте вычитанием.

Решение.

Заменяем слагаемые 106 и 57 их разложениями по разрядам, после чего переставляем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единицами, десятки - с десятками, сотни - с сотнями, после чего складываем соответствующие слагаемые: 106+57=100+6+50+7=100+50+6+7=100+50+10+3=100+60+3=163.

Выполним проверку результата сложения. Для этого вычтем из полученной суммы 163 слагаемое 106 и посмотрим, получится ли число, равное второму слагаемому 57. Имеем 163−106=57. Таким образом, проверка прошла успешно, и можно утверждать, что сложение было выполнено правильно.

Ответ:

106+57=163.

Список литературы.

  • Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
  • Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+