Матрицы, действия с матрицами

Ранг матрицы: определение, методы нахождения, примеры, решения.


Ранг матрицы представляет собой важную числовую характеристику. Наиболее характерной задачей, требующей нахождения ранга матрицы, является проверка совместности системы линейных алгебраических уравнений. В этой статье мы дадим понятие ранга матрицы и рассмотрим методы его нахождения. Для лучшего усвоения материала подробно разберем решения нескольких примеров.


Определение ранга матрицы и необходимые дополнительные понятия.

Прежде чем озвучить определение ранга матрицы, следует хорошо разобраться с понятием минора, а нахождение миноров матрицы подразумевает умение вычисления определителя. Так что рекомендуем при необходимости вспомнить теорию статьи методы нахождения определителя матрицы, свойства определителя.

Возьмем матрицу А порядка формула. Пусть k – некоторое натуральное число, не превосходящее наименьшего из чисел m и n, то есть, формула.

Определение.

Минором k-ого порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы порядка формула, составленной из элементов матрицы А, которые находятся в заранее выбранных k строках и k столбцах, причем расположение элементов матрицы А сохраняется.

Другими словами, если в матрице А вычеркнуть (p–k) строк и (n–k) столбцов, а из оставшихся элементов составить матрицу, сохраняя расположение элементов матрицы А, то определитель полученной матрицы есть минор порядка k матрицы А.

Разберемся с определением минора матрицы на примере.

Рассмотрим матрицу формула.

Запишем несколько миноров первого порядка этой матрицы. К примеру, если мы выберем третью строку и второй столбец матрицы А, то нашему выбору соответствует минор первого порядка формула. Иными словами, для получения этого минора мы вычеркнули первую и вторую строки, а также первый, третий и четвертый столбцы из матрицы А, а из оставшегося элемента составили определитель. Если же выбрать первую строку и третий столбец матрицы А, то мы получим минор формула.

Проиллюстрируем процедуру получения рассмотренных миноров первого порядка
формула и формула.

Таким образом, минорами первого порядка матрицы являются сами элементы матрицы.

Покажем несколько миноров второго порядка. Выбираем две строки и два столбца. К примеру, возьмем первую и вторую строки и третий и четвертый столбец. При таком выборе имеем минор второго порядка формула. Этот минор также можно было составить вычеркиванием из матрицы А третьей строки, первого и второго столбцов.

Другим минором второго порядка матрицы А является формула.

Проиллюстрируем построение этих миноров второго порядка
формула и формула.

Аналогично могут быть найдены миноры третьего порядка матрицы А. Так как в матрице А всего три строки, то выбираем их все. Если к этим строкам выбрать три первых столбца, то получим минор третьего порядка
формула

Он также может быть построен вычеркиванием последнего столбца матрицы А.

Другим минором третьего порядка является
формула
получающийся вычеркиванием третьего столбца матрицы А.

Вот рисунок, показывающий построение этих миноров третьего порядка
формула и формула.

Для данной матрицы А миноров порядка выше третьего не существует, так как формула.

Сколько же существует миноров k-ого порядка матрицы А порядка формула?

Число миноров порядка k может быть вычислено как формула, где формула и формула - число сочетаний из p по k и из n по k соответственно.

Как же построить все миноры порядка k матрицы А порядка p на n?

Нам потребуется множество номеров строк матрицы формула и множество номеров столбцов формула. Записываем все сочетания из p элементов по k (они будут соответствовать выбираемым строкам матрицы А при построении минора порядка k). К каждому сочетанию номеров строк последовательно добавляем все сочетания из n элементов по k номеров столбцов. Эти наборы сочетаний номеров строк и номеров столбцов матрицы А помогут составить все миноры порядка k.

Разберем на примере.

Пример.

Найдите все миноры второго порядка матрицы формула.

Решение.

Так как порядок исходной матрицы равен 3 на 3, то всего миноров второго порядка будет формула.

Запишем все сочетания из 3 по 2 номеров строк матрицы А: 1, 2; 1, 3 и 2, 3. Все сочетания из 3 по 2 номеров столбцов есть 1, 2; 1, 3 и 2, 3.

Возьмем первую и вторую строки матрицы А. Выбрав к этим строкам первый и второй столбцы, первый и третий столбцы, второй и третий столбцы, получим соответственно миноры
формула

Для первой и третьей строк при аналогичном выборе столбцов имеем
формула

Осталось ко второй и третьей строкам добавить первый и второй, первый и третий, второй и третий столбцы:
формула

Итак, все девять миноров второго порядка матрицы А найдены.

Сейчас можно переходить к определению ранга матрицы.

Определение.

Ранг матрицы – это наивысший порядок минора матрицы, отличного от нуля.

Ранг матрицы А обозначают как Rank(A). Можно также встретить обозначения Rg(A) или Rang(A).

Из определений ранга матрицы и минора матрицы можно заключить, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы не меньше единицы.

Нахождение ранга матрицы по определению.


Итак, первым методом нахождения ранга матрицы является метод перебора миноров. Этот способ основан на определении ранга матрицы.

Пусть нам требуется найти ранг матрицы А порядка формула.

Вкратце опишем алгоритм решения этой задачи способом перебора миноров.

Если есть хотя бы один элемент матрицы, отличный от нуля, то ранг матрицы как минимум равен единице (так как есть минор первого порядка, не равный нулю).

Далее перебираем миноры второго порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы равен единице. Если существует хотя бы один ненулевой минор второго порядка, то переходим к перебору миноров третьего порядка, а ранг матрицы как минимум равен двум.

Аналогично, если все миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум. Если существует хотя бы один минор третьего порядка, отличный от нуля, то ранг матрицы как минимум равен трем, а мы преступаем к перебору миноров четвертого порядка.

И так далее.

Отметим, что ранг матрицы не может превышать наименьшего из чисел p и n.

Пример.

Найдите ранг матрицы формула.

Решение.

Так как матрица ненулевая, то ее ранг не меньше единицы.

Минор второго порядка формула отличен от нуля, следовательно, ранг матрицы А не меньше двух. Переходим к перебору миноров третьего порядка. Всего их формула штук.
формула
формула
формула

Все миноры третьего порядка равны нулю. Поэтому, ранг матрицы равен двум.

Ответ:

Rank(A) = 2.

Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров.

Существуют другие методы нахождения ранга матрицы, которые позволяют получить результат при меньшей вычислительной работе.

Одним из таких методов является метод окаймляющих миноров.

Разберемся с понятием окаймляющего минора.

Говорят, что минор Мок (k+1)-ого порядка матрицы А окаймляет минор M порядка k матрицы А, если матрица, соответствующая минору Мок , «содержит» матрицу, соответствующую минору M.

Другими словами, матрица, соответствующая окаймляемому минору М, получается из матрицы, соответствующей окаймляющему минору Mок , вычеркиванием элементов одной строки и одного столбца.

Для примера рассмотрим матрицу формула и возьмем минор второго порядка формула. Запишем все окаймляющие миноры:
формула

Метод окаймляющих миноров обосновывается следующей теоремой (приведем ее формулировку без доказательства).

Теорема.

Если все миноры, окаймляющие минор k-ого порядка матрицы А порядка p на n, равны нулю, то все миноры порядка (k+1) матрицы А равны нулю.

Таким образом, для нахождения ранга матрицы не обязательно перебирать все миноры, достаточно окаймляющих. Количество миноров, окаймляющих минор k -ого порядка матрицы А порядка формула, находится по формуле формула. Отметим, что миноров, окаймляющих минор k-ого порядка матрицы А, не больше, чем миноров (k + 1)-ого порядка матрицы А. Поэтому, в большинстве случаев использование метода окаймляющих миноров выгоднее простого перебора всех миноров.

Перейдем к нахождению ранга матрицы методом окаймляющих миноров. Кратко опишем алгоритм этого метода.

Если матрица А ненулевая, то в качестве минора первого порядка берем любой элемент матрицы А, отличный от нуля. Рассматриваем его окаймляющие миноры. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен единице. Если же есть хотя бы один ненулевой окаймляющий минор (его порядок равен двум), то переходим к рассмотрению его окаймляющих миноров. Если все они равны нулю, то Rank(A) = 2. Если хотя бы один окаймляющий минор отличен от нуля (его порядок равен трем), то рассматриваем его окаймляющие миноры. И так далее. В итоге Rank(A) = k, если все окаймляющие миноры (k + 1)-ого порядка матрицы А равны нулю, либо Rank(A) = min(p, n), если существует ненулевой минор, окаймляющий минор порядка (min(p, n) – 1).

Разберем метод окаймляющих миноров для нахождения ранга матрицы на примере.

Пример.

Найдите ранг матрицы формула методом окаймляющих миноров.

Решение.

Так как элемент a1 1 матрицы А отличен от нуля, то возьмем его в качестве минора первого порядка. Начнем поиск окаймляющего минора, отличного от нуля:
формула

Найден окаймляющий минор второго порядка, отличный от нуля формула. Переберем его окаймляющие миноры (их формула штук):
формула

Все миноры, окаймляющие минор второго порядка формула, равны нулю, следовательно, ранг матрицы А равен двум.

Ответ:

Rank(A) = 2.

Пример.

Найдите ранг матрицы формула с помощью окаймляющих миноров.

Решение.

В качестве отличного от нуля минора первого порядка возьмем элемент a1 1 = 1 матрицы А. Окаймляющий его минор второго порядка формула не равен нулю. Этот минор окаймляется минором третьего порядка формула. Так как он не равен нулю и для него не существует ни одного окаймляющего минора, то ранг матрицы А равен трем.

Ответ:

Rank(A) = 3.

Нахождение ранга с помощью элементарных преобразований матрицы (методом Гаусса).

Рассмотрим еще один способ нахождения ранга матрицы.

Следующие преобразования матрицы называют элементарными:

Матрица В называется эквивалентной матрице А, если В получена из А с помощью конечного числа элементарных преобразований. Эквивалентность матриц обозначается символом « ~ », то есть, записывается A ~ B.

Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований матрицы основано на утверждении: если матрица В получена из матрицы А с помощью конечного числа элементарных преобразований, то Rank(A) = Rank(B).

Справедливость этого утверждения следует из свойств определителя матрицы:

Суть метода элементарных преобразований заключается в приведении матрицы, ранг которой нам требуется найти, к трапециевидной (в частном случае к верхней треугольной) с помощью элементарных преобразований.

Для чего это делается? Ранг матриц такого вида очень легко найти. Он равен количеству строк, содержащих хотя бы один ненулевой элемент. А так как ранг матрицы при проведении элементарных преобразований не изменяется, то полученное значение будет рангом исходной матрицы.

Приведем иллюстрации матриц, одна из которых должна получиться после преобразований. Их вид зависит от порядка матрицы.

Эти иллюстрации являются шаблонами, к которым будем преобразовывать матрицу А.

Опишем алгоритм метода.

Пусть нам требуется найти ранг ненулевой матрицы А порядка формула (p может быть равно n).

Будем считать, что элемент a11 отличен от нуля. В противном случае мы можем перестановкой строк и (или) столбцов преобразовать матрицу так, чтобы «новый» элемент a11 стал ненулевым.

Итак, формула. Умножим все элементы первой строки матрицы А на формула. При этом получим эквивалентную матрицу, обозначим ее А(1):
формула

К элементам второй строки полученной матрицы А(1) прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на формула. К элементам третьей строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на формула. И так далее до p-ой строки. Получим эквивалентную матрицу, обозначим ее А(2):
формула

Если все элементы полученной матрицы, находящиеся в строках со второй по p-ую, равны нулю, то ранг этой матрицы равен единице, а, следовательно, и ранг исходной матрицы равен единице.

Если же в строках со второй по p-ую есть хотя бы один ненулевой элемент, то продолжаем проводить преобразования. Причем действуем абсолютно аналогично, но лишь с отмеченной на рисунке частью матрицы А(2)
формула

Если формула, то переставляем строки и (или) столбцы матрицы А(2) так, чтобы «новый» элемент формула стал ненулевым.

Итак, формула. Умножаем каждый элемент второй строки матрицы А(2) на формула. Получаем эквивалентную матрицу А(3):
формула

К элементам третьей строки полученной матрицы А(3) прибавим соответствующие элементы второй строки, умноженные на формула. К элементам четвертой строки прибавим соответствующие элементы второй строки, умноженные на формула. И так далее до p-ой строки. Получим эквивалентную матрицу, обозначим ее А(4):
формула

Если все элементы полученной матрицы, находящиеся в строках с третьей по p-ую, равны нулю, то ранг этой матрицы равен двум, а, следовательно, Rank(A) = 2.

Если же в строках с третьей по p-ую есть хотя бы один ненулевой элемент, то продолжаем проводить преобразования. Причем действуем абсолютно аналогично, но лишь с отмеченной на рисунке частью матрицы А(4):
формула

И так действуем дальше, пока не придем к одному из рассмотренных выше шаблонов, что позволит определить ранг исходной матрицы.

Разберем решения нескольких примеров.

Пример.

Найдите ранг матрицы формула с помощью элементарных преобразований.

Решение.

Так как элемент a1 1 отличен от нуля, то умножим элементы первой строки матрицы А на формула:
формула

Прибавим к элементам второй строки соответствующие элементы первой строки, умноженные на (- 3). К элементам третьей строки прибавим элементы первой строки, умноженные на (- 1). И так далее:
формула

Элемент формула отличен от нуля, поэтому мы можем умножить элементы второй строки матрицы А(2) на формула:
формула

К элементам третьей строки полученной матрицы прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на формула; к элементам четвертой строки – элементы второй строки, умноженные на формула; к элементам пятой строки – элементы второй строки, умноженные на формула:
формула

Все элементы третьей, четвертой и пятой строк полученной матрицы равны нулю. Так с помощью элементарных преобразований мы привели матрицу А к трапецеидальному виду, откуда видно, что Rank(A(4)) = 2. Следовательно, ранг исходной матрицы также равен двум.

Замечание.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: при проведении элементарных преобразований не допускаются приближенные вычисления!

Рассмотрим еще один пример.

Пример.

Методом элементарных преобразований найдите ранг матрицы формула.

Решение.

Поменяем местами первую и вторую строки матрицы А, так как элемент a1 1 равен нулю, а элемент a21 отличен от нуля:
формула

В полученной матрице элемент формула равен единице, поэтому не нужно производить умножение элементов первой строки на формула. Сделаем все элементы первого столбца, кроме первого, нулевыми:
формула

Так первый столбец преобразован к нужному виду.

Элемент формула в полученной матрице отличен от нуля. Умножим элементы второй строки на формула:
формула

Второй столбец полученной матрицы имеет нужный вид, так как элемент формула уже равен нулю.

Так как формула, а формула, то поменяем местами третий и четвертый столбцы:
формула

Умножим третью строку полученной матрицы на формула:
формула

На этом заканчиваем преобразования. Получаем Rank(A(5))=3, следовательно, Rank(A)=3.

Ответ:

ранг исходной матрицы равен трем.

Подведем итог.

Мы разобрали понятие ранга матрицы и рассмотрели три способа его нахождения:

Целесообразно всегда использовать метод элементарных преобразований при нахождении ранга матрицы, так как он приводит к результату при меньшем объеме вычислений, по сравнению с методом окаймляющих миноров, и тем более в сравнении с методом перебора всех миноров матрицы.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+