Операции над матрицами, свойства операций.
В этой статье мы разберемся как проводится операция сложения над матицами одного порядка, операция умножения матрицы на число и операция умножения матриц подходящего порядка, аксиоматически зададим свойства операций, а также обсудим приоритет операций над матрицами. Параллельно с теорией будем приводить подробные решения примеров, в которых выполняются операции над матрицами.
Сразу заметим, что все нижесказанное относится к матрицам, элементами которых являются действительные (или комплексные) числа.
Операция сложения двух матриц.
Определение операции сложения двух матриц.
Операция сложения определена ТОЛЬКО ДЛЯ МАТРИЦ ОДНОГО ПОРЯДКА. Другими словами, нельзя найти сумму матриц разной размерности и вообще нельзя говорить о сложении матриц разной размерности. Также нельзя говорить о сумме матрицы и числа или о сумме матрицы и какого-нибудь другого элемента.
Определение.
Сумма двух матриц 
и 
- это матрица, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В, то есть, 
.
Таким образом, результатом операции сложения двух матриц является матрица того же порядка.
Свойства операции сложения матриц.
Какими же свойствами обладает операция сложения матриц? На этот вопрос достаточно легко ответить, отталкиваясь от определения суммы двух матриц данного порядка и вспомнив свойства операции сложения действительных (или комплексных) чисел.
- Для матриц А, В и С одного порядка характерно свойство ассоциативности сложения А+(В+С)=(А+В)+С.
- Для матриц данного порядка существует нейтральный элемент по сложению, которым является нулевая матрица. То есть, справедливо свойство А+О=А.
- Для ненулевой матрицы А данного порядка существует матрица (–А), их суммой является нулевая матрица: А+(-А)=О.
- Для матриц А и В данного порядка справедливо свойство коммутативности сложения А+В=В+А.
Следовательно, множество матриц данного порядка порождает аддитивную группу Абеля (абелеву группу относительно алгебраической операции сложения).
Сложение матриц - решения примеров.
Рассмотрим несколько примеров сложения матриц.
Пример.
Найдите сумму матриц 
и 
.
Решение.
Порядки матриц А и В совпадают и равны 4 на 2, поэтому мы можем проводить операцию сложения матриц и в результате должны получить матрицу порядка 4 на 2. Согласно определению операции сложения двух матриц, сложение производим поэлементно:
Пример.
Найдите сумму двух матриц 
и 
элементами которых являются комплексные числа.
Решение.
Так как порядки матриц равны, то мы можем выполнить сложение.
Пример.
Выполните сложение трех матриц 
.
Решение.
Сначала сложим матрицу А с В, затем к полученной матрице прибавим С:
Получили нулевую матрицу.
Операция умножения матрицы на число.
Определение операции умножения матрицы на число.
Операция умножения матрицы на число определена ДЛЯ МАТРИЦ ЛЮБОГО ПОРЯДКА.
Определение.
Произведение матрицы и действительного (или комплексного) числа 
- это матрица, элементы которой получаются умножением соответствующих элементов исходной матрицы на число , то есть, 
.
Таким образом, результатом умножения матрицы на число является матрица того же порядка.
Свойства операции умножения матрицы на число.
-
Для матриц одного порядка А и В, а также произвольного действительного (или комплексного) числа справедливо свойство дистрибутивности умножения относительно сложения
.
-
Для произвольной матрицы А и любых действительных (или комплексных) чисел и
выполняется свойство дистрибутивности 
.
-
Для произвольной матрицы А и любых действительных (или комплексных) чисел и справедливо свойство ассоциативности умножения
.
-
Нейтральным числом по умножению на произвольную матрицу А является единица, то есть,
.
Из свойств операции умножения матрицы на число следует, что умножение нулевой матрицы на число ноль даст нулевую матрицу, а произведение произвольного числа и нулевой матрицы есть нулевая матрица.
Умножение матрицы на число - примеры и их решение.
Разберемся с проведением операция умножения матрицы на число на примерах.
Пример.
Найдите произведение числа 2 и матрицы 
.
Решение.
Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый ее элемент умножить на это число:
Пример.
Выполните умножение матрицы 
на число 
.
Решение.
Умножаем каждый элемент заданной матрицы на данное число:
Операция умножения двух матриц.
Определение операции умножения двух матриц.
Операция умножения двух матриц А и В определяется только для случая, когда ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ А РАВНО ЧИСЛУ СТРОК МАТРИЦЫ В.
Определение.
Произведение матрицы А порядка 
и матрицы В порядка 
- это такая матрица С порядка 
, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы В, то есть,
Таким образом, результатом операции умножения матрицы порядка на матрицу порядка является матрица порядка .
Умножение матрицы на матрицу - решения примеров.
Разберемся с умножением матриц на примерах, после этого перейдем к перечислению свойств операции умножения матриц.
Пример.
Найдите все элементы матрицы С, которая получается при умножении матриц 
и 
.
Решение.
Порядок матрицы А равен p=3 на n=2, порядок матрицы В равен n=2 на q=4, следовательно, порядок порядок произведения этих матриц будет p=3 на q=4. Воспользуемся формулой
Последовательно принимаем значения i от 1 до 3 (так как p=3) для каждого j от 1 до 4 (так как q=4), а n=2 в нашем случае, тогда
Так вычислены все элементы матрицы С, и матрица, полученная при умножении двух заданных матриц, имеет вид 
.
Пример.
Выполните умножение матриц 
и 
.
Решение.
Порядки исходных матриц позволяют провести операцию умножения. В результате мы должны получить матрицу порядка 2 на 3.
Пример.
Даны матрицы 
и 
. Найдите произведение матриц А и В, а также матриц В и А.
Решение.
Так как порядок матрицы А равен 3 на 1, а матрицы В равен 1 на 3, то А⋅В будет иметь порядок 3 на 3, а произведение матриц В и A будет иметь порядок 1 на 1.
Как видите, 
. Это одно из свойств операции умножения матриц.
Свойства операции умножения матриц.
Если матрицы А, В и С подходящих порядков, то справедливы следующие свойства операции умножения матриц.
-
Свойство ассоциативности умножения матриц
.
-
Два свойства дистрибутивности
и 
.
-
В общем случае операция умножения матриц некоммутативна .
-
Единичная матрица Е порядка n на n является нейтральным элементом по умножению, то есть, для произвольной матрицы А порядка p на n справедливо равенство
, а для произвольной матрицы А порядка n на p - равенство 
.
Следует отметить, что при подходящих порядках произведение нулевой матрицы О на матрицу А дает нулевую матрицу. Произведение А на О также дает нулевую матрицу, если порядки позволяют проводить операцию умножения матриц.
Среди квадратных матриц существуют так называемые перестановочные матрицы, операция умножения для них коммутативна, то есть 
. Примером перестановочных матриц является пара единичной матрицы и любой другой матрицы того же порядка, так как справедливо 
.
Приоритет операций над матрицами.
Операции умножения матрицы на число и умножения матрицы на матрицу наделены равным приоритетом. В то же время эти операции имеют приоритет выше, чем операция сложения двух матриц. Таким образом, сначала выполняется умножение матрицы на число и умножение матриц, а уже потом производится сложение матриц. Однако, порядок выполнения операций над матрицами может быть задан явно с помощью скобок.
Итак, приоритет операций над матрицами аналогичен приоритету, присвоенному операциям сложения и умножения действительных чисел.
Пример.
Даны матрицы 
. Выполните с заданными матрицами указанные действия 
.
Решение.
Начинаем с умножения матрицы А на матрицу В:
Теперь умножаем единичную матрицу второго порядка Е на два:
Складываем две полученные матрицы:
Осталось выполнить операцию умножения полученной матрицы на матрицу А:
Следует заметить, что операции вычитания матриц одного порядка А и В как таковой не существует. Разность двух матриц по сути есть сумма матрицы А и матрицы В, предварительно умноженной на минус единицу: 
.
Операция возведения квадратной матрицы в натуральную степень так же не самостоятельна, так как является последовательным умножением матриц.
Подведем итог.
На множестве матриц определены три операции: сложение матриц одного порядка, умножение матрицы на число и умножение матриц подходящих порядков. Операция сложения на множестве матриц данного порядка порождает группу Абеля.
Некогда разбираться?