Матрицы, действия с матрицами

Нахождение обратной матрицы.


В этой статье разберемся с понятием обратной матрицы, ее свойствами и способами нахождения. Подробно остановимся на решении примеров, в которых требуется построить обратную матрицу для заданной.


Обратная матрица - определение.

Понятие обратной матрицы вводится лишь для квадратных матриц, определитель которых отличен от нуля, то есть для невырожденных квадратных матриц.

Определение.

Матрица формула называется обратной для матрицы формула, определитель которой отличен от нуля формула, если справедливы равенства формула, где E – единичная матрица порядка n на n.

Нахождение обратной матрицы с помощью матрицы из алгебраических дополнений.


Как же находить обратную матрицу для данной?

Во-первых, нам потребуются понятия транспонированной матрицы, минора матрицы и алгебраического дополнения элемента матрицы.

Определение.

Минор k-ого порядка матрицы A порядка m на n – это определитель матрицы порядка k на k, которая получается из элементов матрицы А, находящихся в выбранных k строках и k столбцах. (k не превосходит наименьшего из чисел m или n).

Минор (n-1)-ого порядка, который составляется из элементов всех строк, кроме i-ой, и всех столбцов, кроме j-ого, квадратной матрицы А порядка n на n обозначим как формула.

Иными словами, минор формула получается из квадратной матрицы А порядка n на n вычеркиванием элементов i-ой строки и j-ого столбца.

Для примера запишем, минор 2-ого порядка, который получаетсся из матрицы формула выбором элементов ее второй, третьей строк и первого, третьего столбцов формула. Также покажем минор, который получается из матрицы формула вычеркиванием второй строки и третьего столбца формула. Проиллюстрируем построение этих миноров: формула и формула.

Определение.

Алгебраическим дополнением элемента формула квадратной матрицы формула называют минор (n-1)-ого порядка, который получается из матрицы А, вычеркиванием элементов ее i-ой строки и j-ого столбца, умноженный на формула.

Алгебраическое дополнение элемента формула обозначается как формула. Таким обрзом, формула.

Например, для матрицы формула алгебраическое дополнение элемента формула есть формула.

Во-вторых, нам пригодятся два свойства определителя, которые мы разобрали в разделе вычисление определителя матрицы:

На основании этих свойств определителя, определения операции умножения матрицы на число и понятия обратной матрицы справедливо равенство формула, где формула - транспонированная матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения формула.

Матрица формула действительно является обратной для матрицы А, так как выполняются равенства формула. Покажем это
формула
формула

Составим алгоритм нахождения обратной матрицы с использованием равенства формула.

  1. Вычисляем определитель матрицы А и убеждаемся, что он отличен от нуля (в противном случае матрица А необратима).
  2. Строим формула - матрицу из алгебраических дополнений элементов формула.
  3. Транспонируем матрицу формула, тем самым получаем формула.
  4. Умножаем каждый элемент матрицы формула на число формула. Этой операцией завершается нахождение обратной матрицы формула.
  5. Проводим проверку результата, вычисляя произведения формула и формула. Если формула, то обратная матрица найдена верно, в противном случае где-то была допущена ошибка.

Разберем алгоритм нахождения обратной матрицы на примере.

Пример.

Дана матрица формула. Найдите обратную матрицу.

Решение.

Вычислим определитель матрицы А, разложив его по элементам третьего столбца:
формула

Определитель отличен от нуля, так что матрица А обратима.

Найдем матрицу из алгебраических дополнений:
формула

Поэтому
формула

Выполним транспонирование матрицы из алгебраических дополнений:
формула

Теперь находим обратную матрицу как формула:
формула

Проверяем полученный результат:
формула
формула

Равенства формула выполняются, следовательно, обратная матрица найдена верно.

Свойства обратной матрицы.

Понятие обратной матрицы, равенство формула, определения операций над матрицами и свойства определителя матрицы позволяют обосновать следующие свойства обратной матрицы:

  1. Для невырожденной квадратной матрицы А справедливо равенство формула.
  2. Для обратимой матрицы А выполняется равенство формула.
  3. Для любого отличного от нуля числа k справедливо равенство формула.
  4. Для невырожденных квадратных матриц А и В одного порядка выполняется равенство формула.

Нахождение обратной матрицы методом Гаусса-Жордана.

Существуют альтернативные методы нахождения обратной матрицы, например, метод Гаусса - Жордана.

Суть метода Гаусса-Жордана заключается в том, что если с единичной матрицей Е провести элементарные преобразованиия, которыми невырожденная квадратная матрица А приводится к Е, то получится обратная матрица формула.

Опишем алгоритм приведения матрицы А порядка n на n, определитель которой не равен нулю, к единичной матрице методом Гаусса - Жордана. После описания алгоритма разберем пример, чтобы все стало понятно.

Сначала преобразуем матрицу так, чтобы элемент формула стал равен единице, а все остальные элементы первого столбца стали нулевыми.

Если формула, то на место первой строки ставится k-ая строка (k>1), в которой формула, а на место k-ой строки ставится первая. (Строка с формула обязательно существует, в противном случае матрица А – вырожденная). После перестановки строк получили «новую» матрицу А, у которой формула.

Теперь умножаем каждый элемент первой строки на формула. Так приходим к «новой» матрице А, у которой формула. Далее к элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на формула. К элементам третьей строки – соответствующие элементы первой строки, умноженные на формула. И продолжаем такой процесс до n-ой строки включительно. Так все элементы первого столбца матрицы А, начиная со второго, станут нулевыми.

С первым столбцом разобрались, переходим ко второму.

Преобразуем матрицу А так, чтобы элемент формула стал равен единице, а все остальные элементы второго столбца, начиная с формула, стали нулевыми.

Если формула, то на место второй строки ставится k-ая строка (k>2), в которой формула, а на место k-ой строки ставится вторая. Так получаем преобразованную матрицу А, у которой формула. Умножаем все элементы второй строки на формула. После этого к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на формула. К элементам четвертой строки – соответствующие элементы второй строки, умноженные на формула. И продолжаем такой процесс до n-ой строки включительно. Так все элементы второго столбца матрицы А, начиная с третьего, станут нулевыми, а формула будет равен единице.

Со вторым столбцом закончили, переходим к третьему и проводим аналогичные преобразования.

Так продолжаем процесс, пока все элементы главной диагонали матрицы А не станут равными единице, а все элементы ниже главной диагонали не станут равными нулю.

С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса-Жордана. Теперь преобразуем матрицу А так, чтобы все элементы n-ого столбца, кроме формула, стали нулевыми. Для этого к элементам (n-1)-ой строки прибавляем соответствующие элементы n-ой строки, умноженные на формула. К элементам (n-2)-ой строки – соответствующие элементы n-ой строки, умноженные на формула. И продолжаем такой процесс до первой строки включительно. Так все элементы n-ого столбца матрицы А (кроме формула), станут нулевыми.

С последним столбцом разобрались, переходим к (n-1)-ому.

Преобразуем матрицу А так, чтобы все элементы (n-1)-ого столбца до формула, стали нулевыми. Для этого к элементам (n-2)-ой строки прибавляем соответствующие элементы (n-1)-ой строки, умноженные на формула. К элементам (n-3)-ой строки – соответствующие элементы (n-1)-ой строки, умноженные на формула. И продолжаем такой процесс до первой строки включительно. Так все элементы (n-1)-ого столбца матрицы А (кроме формула), станут нулевыми.

Действуя дальше схожим образом, мы получим единичную матрицу.

Пример.

Приведите матрицу формула к единичной с помощью преобразований Гаусса – Жордана.

Решение.

Так как формула, а формула, то переставим местами первую и вторую строки матрицы, получим матрицу формула.

Умножим все элементы первой строки матрицы на формула: формула.

К элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на 0, а к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на (-4):
формула

Переходим ко второму столбцу.

Элемент формула полученной матрицы уже равен единице, поэтому нет необходимости производить умножение элементов второй строки на формула. К элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на формула:
формула

Переходим к третьему столбцу.

Умножим элементы третьей строки на формула: формула.

Единицы на главной диагонали матрицы получены, так что приступаем к обратному ходу.

К элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы третьей строки, умноженные на (-2), а к элементам первой строки прибавляем соответствующие элементы третьей строки, умноженные на формула:
формула

В последнем столбце необходимые нулевые элементы получены, переходим к предпоследнему (ко второму) столбцу.

К элементам первой строки прибавим соответствующие элементы второй строки, умноженные на формула: формула.

Так проведены все преобразования матрицы и получена единичная матрица.

Пришло время применить метод Гаусса – Жордана к нахождению обратной матрицы.

Пример.

Найдите обратную матрицу для формула методом Гаусса – Жордана.

Решение.

В левой части страницы будем проводить преобразования Гаусса – Жордана с матрицей А, а в правой части страницы будем проделывать те же преобразования с единичной матрицей.

Так как формула, а формула, то переставим первую и вторую строки местами:

формула

Умножим элементы первой строки матрицы на одну вторую, чтобы элемент формула стал равен единице:

формула

К элементам второй строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на 0, к элементам третьей строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на 2, к элементам четвертой строки – элементы первой строки, умноженные на 5:

формула

Так в первом столбце матрицы А мы получили нужные нулевые элементы. Переходим ко второму столбцу. Добьемся того, чтобы элемент формула стал равен единице. Для этого умножим элементы второй строки матрицы на формула, не забываем выполнять такие же преобразования с матрицей в правой части:

формула

Дальше нам нужно сделать элементы формула и формула нулевыми, для этого к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на 0, а к элементам четвертой строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на формула:

формула

Так второй столбец матрицы А преобразован к нужному виду. Переходим к третьему столбцу. Так как элемент формула нулевой, то меняем местами третью и четвертую строки:

формула

Умножаем элементы третьей строки на формула:

формула

Третий столбец матрицы А принял нужный вид (элемент формула нулевой, поэтому не пришлось к элементам четвертой строки прибавлять соответствующие элементы третьей строки, умноженные на формула). Осталось умножить четвертую строку на формула чтобы все элементы главной диагонали стали равны единице:

формула

Прямой ход метода Гаусса-Жордана завершен, приступаем к обратному ходу. Получаем необходимые нулевые элементы в последнем столбце матрицы А. Для этого к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы последней строки, умноженные на формула, к элементам второй строки – элементы последней строки, умноженные на формула, к элементам первой строки – элементы последней строки, умноженные на 0:

формула

Получаем нули в предпоследнем столбце прибавлением к элементам второй и первой строк соответствующие элементы третьей строки, умноженные на формула и 0 соответственно:

формула

Осталось последнее преобразование. К элементам первой строки прибавляем элементы второй строки, умноженные на формула:

формула

Итак, матрица А преобразованиями Гаусса – Жордана приведена к единичной матрице, а единичная матрица с помощью таких же преобразований приведена к обратной матрице. Таким образом, в правой части получена обратная матрица. Можете провести проверку, выполнив умножение матрицы А на обратную матрицу.

Ответ:

формула.

Нахождение элементов обратной матрицы с помощью решения соответствующих систем линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим еще один способ нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы А порядка n на n.

Этот метод основан на решении n систем линейных неоднородных алгебраических уравнений с n неизвестными. Неизвестными переменными в этих системах уравнений являются элементы обратной матрицы.

Идея очень проста. Обозначим обратную матрицу как X, то есть, формула. Так как по определению обратной матрицы формула, то
формула

Приравнивая соответствующие элементы по столбцам, получим n систем линейных уравнений
формула

Решаем их любым способом и из найденных значений составляем обратную матрицу.

Разберем этот метод на примере.

Пример.

Дана матрица формула. Найдите обратную матрицу.

Решение.

Примем формула. Равенство формула дает нам три системы линейных неоднородных алгебраических уравнений:
формула

Не будем расписывать решение этих систем, при необходимости обращайтесь к разделу решение систем линейных алгебраических уравнений.

Из первой системы уравнений имеем формула, из второй - формула, из третьей - формула. Следовательно, искомая обратная матрица имеет вид формула. Рекомендуем сделать проверку, чтобы убедиться в правильности результата.

Подведем итог.

Мы рассмотрели понятие обратной матрицы, ее свойства и три метода ее нахождения.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+