Нахождение обратной матрицы.
В этой статье разберемся с понятием обратной матрицы, ее свойствами и способами нахождения. Подробно остановимся на решении примеров, в которых требуется построить обратную матрицу для заданной.
Обратная матрица - определение.
Понятие обратной матрицы вводится лишь для квадратных матриц, определитель которых отличен от нуля, то есть для невырожденных квадратных матриц.
Определение.
Матрица 
называется обратной для матрицы 
, определитель которой отличен от нуля 
, если справедливы равенства 
, где E – единичная матрица порядка n на n.
Нахождение обратной матрицы с помощью матрицы из алгебраических дополнений.
Как же находить обратную матрицу для данной?
Во-первых, нам потребуются понятия транспонированной матрицы, минора матрицы и алгебраического дополнения элемента матрицы.
Определение.
Минор k-ого порядка матрицы A порядка m на n – это определитель матрицы порядка k на k, которая получается из элементов матрицы А, находящихся в выбранных k строках и k столбцах. (k не превосходит наименьшего из чисел m или n).
Минор (n-1)-ого порядка, который составляется из элементов всех строк, кроме i-ой, и всех столбцов, кроме j-ого, квадратной матрицы А порядка n на n обозначим как 
.
Иными словами, минор получается из квадратной матрицы А порядка n на n вычеркиванием элементов i-ой строки и j-ого столбца.
Для примера запишем, минор 2-ого порядка, который получаетсся из матрицы 
выбором элементов ее второй, третьей строк и первого, третьего столбцов 
. Также покажем минор, который получается из матрицы вычеркиванием второй строки и третьего столбца 
. Проиллюстрируем построение этих миноров: 
и 
.
Определение.
Алгебраическим дополнением элемента 
квадратной матрицы называют минор (n-1)-ого порядка, который получается из матрицы А, вычеркиванием элементов ее i-ой строки и j-ого столбца, умноженный на 
.
Алгебраическое дополнение элемента обозначается как 
. Таким обрзом, 
.
Например, для матрицы алгебраическое дополнение элемента 
есть 
.
Во-вторых, нам пригодятся два свойства определителя, которые мы разобрали в разделе вычисление определителя матрицы:
На основании этих свойств определителя, определения операции умножения матрицы на число и понятия обратной матрицы справедливо равенство 
, где 
- транспонированная матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения 
.
Матрица 
действительно является обратной для матрицы А, так как выполняются равенства . Покажем это
Составим алгоритм нахождения обратной матрицы с использованием равенства .
- Вычисляем определитель матрицы А и убеждаемся, что он отличен от нуля (в противном случае матрица А необратима).
-
Строим
- матрицу из алгебраических дополнений элементов .
-
Транспонируем матрицу , тем самым получаем .
-
Умножаем каждый элемент матрицы на число
. Этой операцией завершается нахождение обратной матрицы .
-
Проводим проверку результата, вычисляя произведения
и 
. Если , то обратная матрица найдена верно, в противном случае где-то была допущена ошибка.
Разберем алгоритм нахождения обратной матрицы на примере.
Пример.
Дана матрица 
. Найдите обратную матрицу.
Решение.
Вычислим определитель матрицы А, разложив его по элементам третьего столбца:
Определитель отличен от нуля, так что матрица А обратима.
Найдем матрицу из алгебраических дополнений:
Поэтому
Выполним транспонирование матрицы из алгебраических дополнений:
Теперь находим обратную матрицу как :
Проверяем полученный результат:
Равенства выполняются, следовательно, обратная матрица найдена верно.
Свойства обратной матрицы.
Понятие обратной матрицы, равенство , определения операций над матрицами и свойства определителя матрицы позволяют обосновать следующие свойства обратной матрицы:
-
Для невырожденной квадратной матрицы А справедливо равенство
.
-
Для обратимой матрицы А выполняется равенство
.
-
Для любого отличного от нуля числа k справедливо равенство
.
-
Для невырожденных квадратных матриц А и В одного порядка выполняется равенство
.
Нахождение обратной матрицы методом Гаусса-Жордана.
Существуют альтернативные методы нахождения обратной матрицы, например, метод Гаусса - Жордана.
Суть метода Гаусса-Жордана заключается в том, что если с единичной матрицей Е провести элементарные преобразованиия, которыми невырожденная квадратная матрица А приводится к Е, то получится обратная матрица .
Опишем алгоритм приведения матрицы А порядка n на n, определитель которой не равен нулю, к единичной матрице методом Гаусса - Жордана. После описания алгоритма разберем пример, чтобы все стало понятно.
Сначала преобразуем матрицу так, чтобы элемент 
стал равен единице, а все остальные элементы первого столбца стали нулевыми.
Если 
, то на место первой строки ставится k-ая строка (k>1), в которой 
, а на место k-ой строки ставится первая. (Строка с обязательно существует, в противном случае матрица А – вырожденная). После перестановки строк получили «новую» матрицу А, у которой 
.
Теперь умножаем каждый элемент первой строки на 
. Так приходим к «новой» матрице А, у которой 
. Далее к элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на 
. К элементам третьей строки – соответствующие элементы первой строки, умноженные на 
. И продолжаем такой процесс до n-ой строки включительно. Так все элементы первого столбца матрицы А, начиная со второго, станут нулевыми.
С первым столбцом разобрались, переходим ко второму.
Преобразуем матрицу А так, чтобы элемент 
стал равен единице, а все остальные элементы второго столбца, начиная с 
, стали нулевыми.
Если 
, то на место второй строки ставится k-ая строка (k>2), в которой 
, а на место k-ой строки ставится вторая. Так получаем преобразованную матрицу А, у которой 
. Умножаем все элементы второй строки на 
. После этого к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на 
. К элементам четвертой строки – соответствующие элементы второй строки, умноженные на 
. И продолжаем такой процесс до n-ой строки включительно. Так все элементы второго столбца матрицы А, начиная с третьего, станут нулевыми, а будет равен единице.
Со вторым столбцом закончили, переходим к третьему и проводим аналогичные преобразования.
Так продолжаем процесс, пока все элементы главной диагонали матрицы А не станут равными единице, а все элементы ниже главной диагонали не станут равными нулю.
С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса-Жордана. Теперь преобразуем матрицу А так, чтобы все элементы n-ого столбца, кроме 
, стали нулевыми. Для этого к элементам (n-1)-ой строки прибавляем соответствующие элементы n-ой строки, умноженные на 
. К элементам (n-2)-ой строки – соответствующие элементы n-ой строки, умноженные на 
. И продолжаем такой процесс до первой строки включительно. Так все элементы n-ого столбца матрицы А (кроме ), станут нулевыми.
С последним столбцом разобрались, переходим к (n-1)-ому.
Преобразуем матрицу А так, чтобы все элементы (n-1)-ого столбца до 
, стали нулевыми. Для этого к элементам (n-2)-ой строки прибавляем соответствующие элементы (n-1)-ой строки, умноженные на 
. К элементам (n-3)-ой строки – соответствующие элементы (n-1)-ой строки, умноженные на 
. И продолжаем такой процесс до первой строки включительно. Так все элементы (n-1)-ого столбца матрицы А (кроме ), станут нулевыми.
Действуя дальше схожим образом, мы получим единичную матрицу.
Пример.
Приведите матрицу 
к единичной с помощью преобразований Гаусса – Жордана.
Решение.
Так как , а 
, то переставим местами первую и вторую строки матрицы, получим матрицу 
.
Умножим все элементы первой строки матрицы на 
: 
.
К элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на 0, а к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на (-4):
Переходим ко второму столбцу.
Элемент полученной матрицы уже равен единице, поэтому нет необходимости производить умножение элементов второй строки на . К элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на 
:
Переходим к третьему столбцу.
Умножим элементы третьей строки на 
: 
.
Единицы на главной диагонали матрицы получены, так что приступаем к обратному ходу.
К элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы третьей строки, умноженные на (-2), а к элементам первой строки прибавляем соответствующие элементы третьей строки, умноженные на 
:
В последнем столбце необходимые нулевые элементы получены, переходим к предпоследнему (ко второму) столбцу.
К элементам первой строки прибавим соответствующие элементы второй строки, умноженные на 
: 
.
Так проведены все преобразования матрицы и получена единичная матрица.
Пришло время применить метод Гаусса – Жордана к нахождению обратной матрицы.
Пример.
Найдите обратную матрицу для 
методом Гаусса – Жордана.
Решение.
В левой части страницы будем проводить преобразования Гаусса – Жордана с матрицей А, а в правой части страницы будем проделывать те же преобразования с единичной матрицей.
Так как , а , то переставим первую и вторую строки местами:
Умножим элементы первой строки матрицы на одну вторую, чтобы элемент стал равен единице:
К элементам второй строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на 0, к элементам третьей строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на 2, к элементам четвертой строки – элементы первой строки, умноженные на 5:
Так в первом столбце матрицы А мы получили нужные нулевые элементы. Переходим ко второму столбцу. Добьемся того, чтобы элемент стал равен единице. Для этого умножим элементы второй строки матрицы на , не забываем выполнять такие же преобразования с матрицей в правой части:
Дальше нам нужно сделать элементы и 
нулевыми, для этого к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на 0, а к элементам четвертой строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на 
:
Так второй столбец матрицы А преобразован к нужному виду. Переходим к третьему столбцу. Так как элемент 
нулевой, то меняем местами третью и четвертую строки:
Умножаем элементы третьей строки на 
:
Третий столбец матрицы А принял нужный вид (элемент 
нулевой, поэтому не пришлось к элементам четвертой строки прибавлять соответствующие элементы третьей строки, умноженные на 
). Осталось умножить четвертую строку на 
чтобы все элементы главной диагонали стали равны единице:
Прямой ход метода Гаусса-Жордана завершен, приступаем к обратному ходу. Получаем необходимые нулевые элементы в последнем столбце матрицы А. Для этого к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы последней строки, умноженные на 
, к элементам второй строки – элементы последней строки, умноженные на 
, к элементам первой строки – элементы последней строки, умноженные на 0:
Получаем нули в предпоследнем столбце прибавлением к элементам второй и первой строк соответствующие элементы третьей строки, умноженные на и 0 соответственно:
Осталось последнее преобразование. К элементам первой строки прибавляем элементы второй строки, умноженные на 
:
Итак, матрица А преобразованиями Гаусса – Жордана приведена к единичной матрице, а единичная матрица с помощью таких же преобразований приведена к обратной матрице. Таким образом, в правой части получена обратная матрица. Можете провести проверку, выполнив умножение матрицы А на обратную матрицу.
Ответ:
.
Нахождение элементов обратной матрицы с помощью решения соответствующих систем линейных алгебраических уравнений.
Рассмотрим еще один способ нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы А порядка n на n.
Этот метод основан на решении n систем линейных неоднородных алгебраических уравнений с n неизвестными. Неизвестными переменными в этих системах уравнений являются элементы обратной матрицы.
Идея очень проста. Обозначим обратную матрицу как X, то есть, 
. Так как по определению обратной матрицы 
, то
Приравнивая соответствующие элементы по столбцам, получим n систем линейных уравнений
Решаем их любым способом и из найденных значений составляем обратную матрицу.
Разберем этот метод на примере.
Пример.
Дана матрица 
. Найдите обратную матрицу.
Решение.
Примем 
. Равенство 
дает нам три системы линейных неоднородных алгебраических уравнений:
Не будем расписывать решение этих систем, при необходимости обращайтесь к разделу решение систем линейных алгебраических уравнений.
Из первой системы уравнений имеем 
, из второй - 
, из третьей - 
. Следовательно, искомая обратная матрица имеет вид 
. Рекомендуем сделать проверку, чтобы убедиться в правильности результата.
Подведем итог.
Мы рассмотрели понятие обратной матрицы, ее свойства и три метода ее нахождения.
Некогда разбираться?