Математика на cleverstudents.ru

Матрицы, действия с матрицами

Вычисление определителя матрицы, примеры, решения.

Понятие определителя является одним из основных в курсе линейной алгебры. Это понятие присуще ТОЛЬКО КВАДРАТНЫМ МАТРИЦАМ, этому понятию и посвящена данная статья. Здесь мы будем говорить об определителях матриц, элементами которых являются действительные (или комплексные) числа. В этом случае определитель есть действительное (или комплексное) число. Все дальнейшее изложение будет ответом на вопросы как вычислять определитель, и какими свойствами он обладает.

Сначала дадим определение определителя квадратной матрицы порядка n на n как сумму произведений перестановок элементов матрицы. На основании этого определения запишем формулы для вычисления определителей матриц первого, второго, третьего порядков и подробно разберем решения нескольких примеров.

Далее перейдем к свойствам определителя, которые будем формулировать в виде теорем без доказательства. Здесь будет получен метод вычисления определителя через его разложение по элементам какой-либо строки или столбца. Этот метод позволяет свести вычисление определителя матрицы порядка n на n к вычислению определителей матриц порядка 3 на 3 или меньшего. Обязательно покажем решения нескольких примеров.

В заключении остановимся на вычислении определителя методом Гаусса. Этот метод хорош при нахождении значений определителей матриц порядка выше 3 на 3, так как требует меньших вычислительных усилий. Также разберем решение примеров.

Определение определителя матрицы, вычисление определителя матрицы по определению.

Напомним несколько вспомогательных понятий.

Для множества, содержащего n элементов, существует n! (n факториал) перестановок порядка n. Перестановки отличаются друг от друга лишь порядком следования элементов.

Например, рассмотрим множество, состоящее из трех чисел: . Запишем все перестановки (всего их шесть, так как ):

В предыдущем примере инверсией перестановки 4, 9, 7 является пара p=2, q=3, так как второй элемент перестановки равен 9 и он больше третьего, равного 7. Инверсией перестановки 9, 7, 4 будут три пары: p=1, q=2 (9>7); p=1, q=3 (9>4) и p=2, q=3 (7>4).

Нас будет больше интересовать количество инверсий в перестановке, а не сама инверсия.

Пусть - квадратная матрица порядка n на n над полем действительных (или комплексных) чисел. Пусть – множество всех перестановок порядка n множества . Множество содержит n! перестановок. Обозначим k–ую перестановку множества как , а количество инверсий в k-ой перестановке как .

Опишем эту формулу словами. Определителем квадратной матрицы порядка n на n является сумма, содержащая n! слагаемых. Каждое слагаемое представляет собой произведение n элементов матрицы, причем в каждом произведении содержится элемент из каждой строки и из каждого столбца матрицы А. Перед k-ым слагаемым появляется коэффициент (-1), если элементы матрицы А в произведении упорядочены по номеру строки, а количество инверсий в k-ой перестановке множества номеров столбцов нечетно.

Определитель матрицы А обычно обозначается как , также встречается обозначение det(A). Также можно услышать, что определитель называют детерминантом.

Итак, .

Отсюда видно, что определителем матрицы первого порядка является элемент этой матрицы .

Вычисление определителя квадратной матрицы второго порядка - формула и пример.

Найдем определитель квадратной матрицы порядка 2 на 2 в общем виде.

В этом случае n=2, следовательно, n!=2!=2.

Оформим в виде таблицы необходимые данные для применения формулы .

Имеем

Таким образом, мы получили формулу для вычисления определителя матрицы порядка 2 на 2, она имеет вид .

Вычисление определителя квадратной матрицы третьего порядка - формула и пример.

Найдем определитель квадратной матрицы порядка 3 на 3 в общем виде.

В этом случае n=3, следовательно, n!=3!=6.

Оформим в виде таблицы необходимые данные для применения формулы .

Имеем

Таким образом, мы получили формулу для вычисления определителя матрицы порядка 3 на 3, она имеет вид

Аналогично можно получить формулы для вычисления определителей матриц порядка 4 на 4, 5 на 5 и более высоких. Они будут иметь очень громоздкий вид.

Формулы для вычисления определителей квадратных матриц второго и третьего порядков очень часто применяются, так что рекомендуем их запомнить.

Свойства определителя матрицы, вычисление определителя матрицы с использованием свойств.

На основании озвученного определения справедливы следующие свойства определителя матрицы.

1. Определитель матрицы А равен определителю транспонированной матрицы А^Т, то есть, .

   Пример.

   Убедитесь, что определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы.

   Решение.

   Воспользуемся формулой для вычисления определителя матрицы порядка 3 на 3:
   

   Транспонируем матрицу А:
   

   Вычислим определитель транспонированной матрицы:
   

   Действительно, определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

2. Если в квадратной матрице все элементы хотя бы одной из строк (одного из столбцов) нулевые, определитель такой матрицы равен нулю.

   Пример.

   Проверьте, что определитель матрицы порядка 3 на 3 равен нулю.

   Решение.

   

   Действительно, определитель матрицы с нулевым столбцом равен нулю.

3. Если переставить местами две любые строки (столбца) в квадратной матрице, то определитель полученной матрицы будет противоположен исходному (то есть, изменится знак).

   Пример.

   Даны две квадратные матрицы порядка 3 на 3 и . Покажите, что их определители противоположны.

   Решение.

   Матрица В получена из матрицы А заменой третьей строки на первую, а первой на третью. Согласно рассмотренному свойству определители таких матриц должны отличаться знаком. Проверим это, вычислив определители по известной формуле.
   

   Действительно, .

4. Если в квадратной матрице хотя бы две строки (два столбца) одинаковы, то ее определитель равен нулю.

   Пример.

   Покажите, что определитель матрицы равен нулю.

   Решение.

   В данной матрице второй и третий столбцы одинаковы, так что согласно рассмотренному свойству ее определитель должен быть равен нулю. Проверим это.
   

   На самом деле определитель матрицы с двумя одинаковыми столбцами есть ноль.

5. Если в квадратной матрице все элементы какой-либо строки (столбца) умножить на некоторое число k, то определитель полученной матицы будет равен определителю исходной матрицы, умноженному на k. Например,
   

   Пример.

   Докажите, что определитель матрицы равен утроенному определителю матрицы .

   Решение.

   Элементы первого столбца матрицы В получены из соответствующих элементов первого столбца матрицы А умножением на 3. Тогда в силу рассмотренного свойства должно выполняться равенство . Проверим это, вычислив определители матриц А и В.
   

   Следовательно, , что и требовалось доказать.

   ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ.

   Не путайте и не смешивайте понятия матрицы и определителя! Рассмотренное свойство определителя матрицы и операция умножения матрицы на число это далеко не одно и то же.
   , но .

6. Если все элементы какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы представляют собой сумму s слагаемых (s – натуральное число, большее единицы), то определитель такой матрицы будет равен сумме s определителей матриц, полученных из исходной, если в качестве элементов строки (столбца) оставить по одному слагаемому. Например,
   

   Пример.

   Докажите, что определитель матрицы равен сумме определителей матриц .

   Решение.

   В нашем примере , поэтому в силу рассмотренного свойства определителя матрицы должно выполняться равенство . Проверим его, вычислив соответствующие определители матриц порядка 2 на 2 по формуле .
   

   Из полученных результатов видно, что . На этом доказательство завершено.

7. Если к элементам некоторой строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольное число k, то определитель полученной матрицы будет равен определителю исходной матрицы.

   Пример.

   Убедитесь, что если к элементам третьего столбца матрицы прибавить соответствующие элементы второго столбца этой матрицы, умноженные на ( -2 ), и прибавить соответствующие элементы первого столбца матрицы, умноженные на произвольное действительное число , то определитель полученной матрицы будет равен определителю исходной матрицы.

   Решение.

   Если отталкиваться от рассмотренного свойства определителя, то определитель матрицы, полученной после всех указанных в задаче преобразований, будет равен определителю матрицы А.

   Сначала вычислим определитель исходной матрицы А:
   

   Теперь выполним необходимые преобразования матрицы А.

   Прибавим к элементам третьего столбца матрицы соответствующие элементы второго столбца матрицы, предварительно умножив их на (-2). После этого матрица примет вид:
   

   К элементам третьего столбца полученной матрицы прибавим соответствующие элементы первого столбца, умноженные на :
   

   Вычислим определитель полученной матрицы и убедимся, что он равен определителю матрицы А, то есть, -24:
   

8. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
   

   Здесь - алгебраическое дополнение элемента матрицы , .

   Это свойство позволяет вычислять определители матриц порядка выше чем 3 на 3 путем сведения их к сумме нескольких определителей матриц порядка на единицу ниже. Иными словами – это рекуррентная формула вычисления определителя квадратной матрицы любого порядка. Рекомендуем ее запомнить в силу достаточно частой применимости.

   Разберем несколько примеров.

   Пример.

   Вычислите определитель матрицы порядка 4 на 4, разложив его

   • по элементам 3-ей строки,
   • по элементам 2-ого столбца.

   Решение.

   Используем формулу разложения определителя по элементам 3-ей строки
   

   Имеем
   

   Так задача нахождения определителя матрицы порядка 4 на 4 свелась к вычислению трех определителей матриц порядка 3 на 3:
   

   Подставив полученные значения, приходим к результату:
   

   Используем формулу разложения определителя по элементам 2-ого столбца
   
   и действуем аналогично.

   Не будем подробно расписывать вычисление определителей матриц третьего порядка.
   

   Пример.

   Вычислите определитель матрицы порядка 4 на 4.

   Решение.

   Можно разложить определитель матрицы по элементам любого столбца или любой строки, однако выгоднее выбирать строку или столбец, содержащую наибольшее количество нулевых элементов, так как это поможет избежать лишних вычислений. Разложим определитель по элементам первой строки:
   

   Вычислим полученные определители матриц порядка 3 на 3 по известной нам формуле:
   

   Подставляем результаты и получаем искомое значение
   

   Пример.

   Вычислите определитель матрицы порядка 5 на 5.

   Решение.

   В четвертой строке матрицы наибольшее количество нулевых элементов среди всех строк и столбцов, поэтому целесообразно разложить определитель матрицы именно по элементам четвертой строки, так как в этом случае нам потребуется меньше вычислений.
   

   Полученные определители матриц порядка 4 на 4 были найдены в предыдущих примерах, так что воспользуемся готовыми результатами:
   

   Пример.

   Вычислите определитель матрицы порядка 7 на 7.

   Решение.

   Не следует сразу бросаться раскладывать определитель по элементам какой либо строки или столбца. Если внимательно посмотреть на матрицу, то можно заметить, что элементы шестой строки матрицы можно получить умножением соответствующих элементов второй строки на двойку. То есть, если к элементам шестой строки прибавить соответствующие элементы второй строки, умноженные на (-2), то определитель не изменится в силу седьмого свойства, а шестая строка полученной матрицы будет состоять из нулей. Определитель такой матрицы равен нулю по второму свойству.

   Ответ:

   .

   Следует отметить, что рассмотренное свойство позволяет вычислить определители матриц любых порядков, однако приходится выполнять массу вычислительных операций. В большинстве случаев определитель матриц порядка выше третьего выгоднее находить методом Гаусса, который мы рассмотрим ниже.

9. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.
   

   Пример.

   Покажите, что сумма произведений элементов третьего столбца матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов первого столбца равна нулю.

   Решение.

   

10. Определитель произведения квадратных матриц одного порядка равен произведению их определителей, то есть, , где m – натуральное число большее единицы, A_k, k=1,2,…,m – квадратные матрицы одного порядка.

    Пример.

    Убедитесь, что определитель произведения двух матриц и равен произведению их определителей.

    Решение.

    Найдем сначала произведение определителей матриц А и В:
    

    Сейчас выполним умножение матриц и вычислим определитель получившейся матрицы:
    

    Таким образом, , что и требовалось показать.

Вычисление определителя матрицы методом Гаусса.

Опишем суть этого метода. Матрица А с помощью элементарных преобразований приводится к такому виду, чтобы в первом столбце все элементы, кроме стали нулевыми (это сделать всегда возможно, если определитель матрицы А отличен от нуля). Эту процедуру опишем чуть позже, а сейчас поясним, для чего это делается. Нулевые элементы получаются для того, чтобы получить самое простое разложение определителя по элементам первого столбца. После такого преобразования матрицы А, учитывая восьмое свойство и , получим

где - минор (n-1)-ого порядка, получающийся из матрицы А вычеркиванием элементов ее первой строки и первого столбца.

С матрицей, которой соответствует минор , проделывается такая же процедура получения нулевых элементов в первом столбце. И так далее до окончательного вычисления определителя.

Теперь осталось ответить на вопрос: «Как получать нулевые элементы в первом столбце»?

Опишем алгоритм действий.

Если , то к элементам первой строки матрицы прибавляются соответствующие элементы k-ой строки, в которой . (Если все без исключения элементы первого столбца матрицы А нулевые, то ее определитель равен нулю по второму свойству и не нужен никакой метод Гаусса). После такого преобразования «новый» элемент будет отличен от нуля. Определитель «новой» матрицы будет равен определителю исходной матрицы в силу седьмого свойства.

Теперь мы имеем матрицу, у которой . При к элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на , к элементам третьей строки – соответствующие элементы первой строки, умноженные на . И так далее. В заключении к элементам n-ой строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на . Так будет получена преобразованная матрица А, все элементы первого столбца которой, кроме , будут нулевыми. Определитель полученной матрицы будет равен определителю исходной матрицы в силу седьмого свойства.

Разберем метод при решении примера, так будет понятнее.

Рассмотрим решение еще одного примера, но подробно описывать действия не будем. Это некоторый образец краткой записи вычисления определителя матрицы методом Гаусса.

Замечание.

На некотором этапе преобразования матрицы по методу Гаусса может возникнуть ситуация, когда все элементы нескольких последних строк матрицы станут нулевыми. Это будет говорить о равенстве определителя нулю.

Подведем итог.

Определителем квадратной матрицы, элементы которой есть числа, является число. Мы рассмотрели три способа вычисления определителя:

1. через сумму произведений сочетаний элементов матрицы;
2. через разложение определителя по элементам строки или столбца матрицы;
3. методом приведения матрицы к верхней треугольной (методом Гаусса).

Были получены формулы для вычисления определителей матриц порядка 2 на 2 и 3 на 3.

Мы разобрали свойства определителя матрицы. Некоторые из них позволяют быстро понять, что определитель равен нулю.

При вычислении определителей матриц порядка выше 3 на 3 целесообразно использовать метод Гаусса: выполнить элементарные преобразования матрицы и привести ее к верхней треугольной. Определитель такой матрицы равен произведению всех элементов, стоящих на главной диагонали.

Некогда разбираться?

Закажите решение