Матрицы, действия с матрицами

Вычисление определителя матрицы, примеры, решения.


Понятие определителя является одним из основных в курсе линейной алгебры. Это понятие присуще ТОЛЬКО КВАДРАТНЫМ МАТРИЦАМ, этому понятию и посвящена данная статья. Здесь мы будем говорить об определителях матриц, элементами которых являются действительные (или комплексные) числа. В этом случае определитель есть действительное (или комплексное) число. Все дальнейшее изложение будет ответом на вопросы как вычислять определитель, и какими свойствами он обладает.

Сначала дадим определение определителя квадратной матрицы порядка n на n как сумму произведений перестановок элементов матрицы. На основании этого определения запишем формулы для вычисления определителей матриц первого, второго, третьего порядков и подробно разберем решения нескольких примеров.

Далее перейдем к свойствам определителя, которые будем формулировать в виде теорем без доказательства. Здесь будет получен метод вычисления определителя через его разложение по элементам какой-либо строки или столбца. Этот метод позволяет свести вычисление определителя матрицы порядка n на n к вычислению определителей матриц порядка 3 на 3 или меньшего. Обязательно покажем решения нескольких примеров.

В заключении остановимся на вычислении определителя методом Гаусса. Этот метод хорош при нахождении значений определителей матриц порядка выше 3 на 3, так как требует меньших вычислительных усилий. Также разберем решение примеров.


Определение определителя матрицы, вычисление определителя матрицы по определению.

Напомним несколько вспомогательных понятий.

Определение.

Перестановкой порядка n называется упорядоченный набор чисел, состоящий из n элементов.

Для множества, содержащего n элементов, существует n! (n факториал) перестановок порядка n. Перестановки отличаются друг от друга лишь порядком следования элементов.

Например, рассмотрим множество, состоящее из трех чисел: формула. Запишем все перестановки (всего их шесть, так как формула):
формула

Определение.

Инверсией в перестановке порядка n называется всякая пара индексов p и q, для которой p-ый элемент перестановки больше q-ого.

В предыдущем примере инверсией перестановки 4, 9, 7 является пара p=2, q=3, так как второй элемент перестановки равен 9 и он больше третьего, равного 7. Инверсией перестановки 9, 7, 4 будут три пары: p=1, q=2 (9>7); p=1, q=3 (9>4) и p=2, q=3 (7>4).

Нас будет больше интересовать количество инверсий в перестановке, а не сама инверсия.

Пусть формула - квадратная матрица порядка n на n над полем действительных (или комплексных) чисел. Пусть формула – множество всех перестановок порядка n множества формула. Множество формула содержит n! перестановок. Обозначим k–ую перестановку множества формула как формула, а количество инверсий в k-ой перестановке как формула.

Определение.

Определитель матрицы А есть число, равное формула.

Опишем эту формулу словами. Определителем квадратной матрицы порядка n на n является сумма, содержащая n! слагаемых. Каждое слагаемое представляет собой произведение n элементов матрицы, причем в каждом произведении содержится элемент из каждой строки и из каждого столбца матрицы А. Перед k-ым слагаемым появляется коэффициент (-1), если элементы матрицы А в произведении упорядочены по номеру строки, а количество инверсий формула в k-ой перестановке множества номеров столбцов нечетно.

Определитель матрицы А обычно обозначается как формула, также встречается обозначение det(A). Также можно услышать, что определитель называют детерминантом.

Итак, формула.

Отсюда видно, что определителем матрицы первого порядка является элемент этой матрицы формула.

Вычисление определителя квадратной матрицы второго порядка - формула и пример.

Найдем определитель квадратной матрицы формула порядка 2 на 2 в общем виде.

В этом случае n=2, следовательно, n!=2!=2.

Оформим в виде таблицы необходимые данные для применения формулы формула.
формула

Имеем
формула

Таким образом, мы получили формулу для вычисления определителя матрицы порядка 2 на 2, она имеет вид формула.

Пример.

Вычислите определитель квадратной матрицы формула порядка формула.

Решение.

В нашем примере формула. Применяем полученную формулу формула:
формула

Вычисление определителя квадратной матрицы третьего порядка - формула и пример.

Найдем определитель квадратной матрицы формула порядка 3 на 3 в общем виде.

В этом случае n=3, следовательно, n!=3!=6.

Оформим в виде таблицы необходимые данные для применения формулы формула.
формула

Имеем
формула

Таким образом, мы получили формулу для вычисления определителя матрицы порядка 3 на 3, она имеет вид
формула

Аналогично можно получить формулы для вычисления определителей матриц порядка 4 на 4, 5 на 5 и более высоких. Они будут иметь очень громоздкий вид.

Пример.

Вычислите определитель квадратной матрицы формула порядка 3 на 3.

Решение.

В нашем примере
формула

Применяем полученную формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка:
формула

Формулы для вычисления определителей квадратных матриц второго и третьего порядков очень часто применяются, так что рекомендуем их запомнить.

Свойства определителя матрицы, вычисление определителя матрицы с использованием свойств.


На основании озвученного определения справедливы следующие свойства определителя матрицы.

  1. Определитель матрицы А равен определителю транспонированной матрицы АТ, то есть, формула.

    Пример.

    Убедитесь, что определитель матрицы формула равен определителю транспонированной матрицы.

    Решение.

    Воспользуемся формулой для вычисления определителя матрицы порядка 3 на 3:
    формула

    Транспонируем матрицу А:
    формула

    Вычислим определитель транспонированной матрицы:
    формула

    Действительно, определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

  2. Если в квадратной матрице все элементы хотя бы одной из строк (одного из столбцов) нулевые, определитель такой матрицы равен нулю.

    Пример.

    Проверьте, что определитель матрицы формула порядка 3 на 3 равен нулю.

    Решение.

    формула

    Действительно, определитель матрицы с нулевым столбцом равен нулю.

  3. Если переставить местами две любые строки (столбца) в квадратной матрице, то определитель полученной матрицы будет противоположен исходному (то есть, изменится знак).

    Пример.

    Даны две квадратные матрицы порядка 3 на 3 формула и формула. Покажите, что их определители противоположны.

    Решение.

    Матрица В получена из матрицы А заменой третьей строки на первую, а первой на третью. Согласно рассмотренному свойству определители таких матриц должны отличаться знаком. Проверим это, вычислив определители по известной формуле.
    формула

    Действительно, формула.

  4. Если в квадратной матрице хотя бы две строки (два столбца) одинаковы, то ее определитель равен нулю.

    Пример.

    Покажите, что определитель матрицы формула равен нулю.

    Решение.

    В данной матрице второй и третий столбцы одинаковы, так что согласно рассмотренному свойству ее определитель должен быть равен нулю. Проверим это.
    формула

    На самом деле определитель матрицы с двумя одинаковыми столбцами есть ноль.

  5. Если в квадратной матрице все элементы какой-либо строки (столбца) умножить на некоторое число k, то определитель полученной матицы будет равен определителю исходной матрицы, умноженному на k. Например,
    формула

    Пример.

    Докажите, что определитель матрицы формула равен утроенному определителю матрицы формула.

    Решение.

    Элементы первого столбца матрицы В получены из соответствующих элементов первого столбца матрицы А умножением на 3. Тогда в силу рассмотренного свойства должно выполняться равенство формула. Проверим это, вычислив определители матриц А и В.
    формула

    Следовательно, формула, что и требовалось доказать.

    ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ.

    Не путайте и не смешивайте понятия матрицы и определителя! Рассмотренное свойство определителя матрицы и операция умножения матрицы на число это далеко не одно и то же.
    формула, но формула.

  6. Если все элементы какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы представляют собой сумму s слагаемых (s – натуральное число, большее единицы), то определитель такой матрицы будет равен сумме s определителей матриц, полученных из исходной, если в качестве элементов строки (столбца) оставить по одному слагаемому. Например,
    формула

    Пример.

    Докажите, что определитель матрицы формула равен сумме определителей матриц формула.

    Решение.

    В нашем примере формула, поэтому в силу рассмотренного свойства определителя матрицы должно выполняться равенство формула. Проверим его, вычислив соответствующие определители матриц порядка 2 на 2 по формуле формула.
    формула

    Из полученных результатов видно, что формула. На этом доказательство завершено.

  7. Если к элементам некоторой строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольное число k, то определитель полученной матрицы будет равен определителю исходной матрицы.

    Пример.

    Убедитесь, что если к элементам третьего столбца матрицы формула прибавить соответствующие элементы второго столбца этой матрицы, умноженные на ( -2 ), и прибавить соответствующие элементы первого столбца матрицы, умноженные на произвольное действительное число формула, то определитель полученной матрицы будет равен определителю исходной матрицы.

    Решение.

    Если отталкиваться от рассмотренного свойства определителя, то определитель матрицы, полученной после всех указанных в задаче преобразований, будет равен определителю матрицы А.

    Сначала вычислим определитель исходной матрицы А:
    формула

    Теперь выполним необходимые преобразования матрицы А.

    Прибавим к элементам третьего столбца матрицы соответствующие элементы второго столбца матрицы, предварительно умножив их на (-2). После этого матрица примет вид:
    формула

    К элементам третьего столбца полученной матрицы прибавим соответствующие элементы первого столбца, умноженные на формула:
    формула

    Вычислим определитель полученной матрицы и убедимся, что он равен определителю матрицы А, то есть, -24:
    формула

  8. Определитель квадратной матрицы формула равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
    формула

    Здесь формула - алгебраическое дополнение элемента матрицы формула, формула.

    Это свойство позволяет вычислять определители матриц порядка выше чем 3 на 3 путем сведения их к сумме нескольких определителей матриц порядка на единицу ниже. Иными словами – это рекуррентная формула вычисления определителя квадратной матрицы любого порядка. Рекомендуем ее запомнить в силу достаточно частой применимости.

    Разберем несколько примеров.

    Пример.

    Вычислите определитель матрицы формула порядка 4 на 4, разложив его

    • по элементам 3-ей строки,
    • по элементам 2-ого столбца.

    Решение.

    Используем формулу разложения определителя по элементам 3-ей строки
    формула

    Имеем
    формула

    Так задача нахождения определителя матрицы порядка 4 на 4 свелась к вычислению трех определителей матриц порядка 3 на 3:
    формула

    Подставив полученные значения, приходим к результату:
    формула

    Используем формулу разложения определителя по элементам 2-ого столбца
    формула
    и действуем аналогично.

    Не будем подробно расписывать вычисление определителей матриц третьего порядка.
    формула

    Пример.

    Вычислите определитель матрицы формула порядка 4 на 4.

    Решение.

    Можно разложить определитель матрицы по элементам любого столбца или любой строки, однако выгоднее выбирать строку или столбец, содержащую наибольшее количество нулевых элементов, так как это поможет избежать лишних вычислений. Разложим определитель по элементам первой строки:
    формула

    Вычислим полученные определители матриц порядка 3 на 3 по известной нам формуле:
    формула

    Подставляем результаты и получаем искомое значение
    формула

    Пример.

    Вычислите определитель матрицы формула порядка 5 на 5.

    Решение.

    В четвертой строке матрицы наибольшее количество нулевых элементов среди всех строк и столбцов, поэтому целесообразно разложить определитель матрицы именно по элементам четвертой строки, так как в этом случае нам потребуется меньше вычислений.
    формула

    Полученные определители матриц порядка 4 на 4 были найдены в предыдущих примерах, так что воспользуемся готовыми результатами:
    формула

    Пример.

    Вычислите определитель матрицы формула порядка 7 на 7.

    Решение.

    Не следует сразу бросаться раскладывать определитель по элементам какой либо строки или столбца. Если внимательно посмотреть на матрицу, то можно заметить, что элементы шестой строки матрицы можно получить умножением соответствующих элементов второй строки на двойку. То есть, если к элементам шестой строки прибавить соответствующие элементы второй строки, умноженные на (-2), то определитель не изменится в силу седьмого свойства, а шестая строка полученной матрицы будет состоять из нулей. Определитель такой матрицы равен нулю по второму свойству.

    Ответ:

    формула.

    Следует отметить, что рассмотренное свойство позволяет вычислить определители матриц любых порядков, однако приходится выполнять массу вычислительных операций. В большинстве случаев определитель матриц порядка выше третьего выгоднее находить методом Гаусса, который мы рассмотрим ниже.

  9. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.
    формула

    Пример.

    Покажите, что сумма произведений элементов третьего столбца матрицы формула на алгебраические дополнения соответствующих элементов первого столбца равна нулю.

    Решение.

    формула

  10. Определитель произведения квадратных матриц одного порядка равен произведению их определителей, то есть, формула, где m – натуральное число большее единицы, Ak, k=1,2,…,m – квадратные матрицы одного порядка.

    Пример.

    Убедитесь, что определитель произведения двух матриц формула и формула равен произведению их определителей.

    Решение.

    Найдем сначала произведение определителей матриц А и В:
    формула

    Сейчас выполним умножение матриц и вычислим определитель получившейся матрицы:
    формула

    Таким образом, формула, что и требовалось показать.

Вычисление определителя матрицы методом Гаусса.

Опишем суть этого метода. Матрица А с помощью элементарных преобразований приводится к такому виду, чтобы в первом столбце все элементы, кроме формула стали нулевыми (это сделать всегда возможно, если определитель матрицы А отличен от нуля). Эту процедуру опишем чуть позже, а сейчас поясним, для чего это делается. Нулевые элементы получаются для того, чтобы получить самое простое разложение определителя по элементам первого столбца. После такого преобразования матрицы А, учитывая восьмое свойство и формула, получим
формула
где формула - минор (n-1)-ого порядка, получающийся из матрицы А вычеркиванием элементов ее первой строки и первого столбца.

С матрицей, которой соответствует минор формула, проделывается такая же процедура получения нулевых элементов в первом столбце. И так далее до окончательного вычисления определителя.

Теперь осталось ответить на вопрос: «Как получать нулевые элементы в первом столбце»?

Опишем алгоритм действий.

Если формула, то к элементам первой строки матрицы прибавляются соответствующие элементы k-ой строки, в которой формула. (Если все без исключения элементы первого столбца матрицы А нулевые, то ее определитель равен нулю по второму свойству и не нужен никакой метод Гаусса). После такого преобразования «новый» элемент формула будет отличен от нуля. Определитель «новой» матрицы будет равен определителю исходной матрицы в силу седьмого свойства.

Теперь мы имеем матрицу, у которой формула. При формула к элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на формула, к элементам третьей строки – соответствующие элементы первой строки, умноженные на формула. И так далее. В заключении к элементам n-ой строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на формула. Так будет получена преобразованная матрица А, все элементы первого столбца которой, кроме формула, будут нулевыми. Определитель полученной матрицы будет равен определителю исходной матрицы в силу седьмого свойства.

Разберем метод при решении примера, так будет понятнее.

Пример.

Вычислить определитель матрицы порядка 5 на 5 формула.

Решение.

Воспользуемся методом Гаусса. Преобразуем матрицу А так, чтобы все элементы ее первого столбца, кроме формула, стали нулевыми.

Так как изначально элемент формула, то прибавим к элементам первой строки матрицы соответствующие элементы, например, второй строки, так как формула:
формула

Знак « ~ » означает эквивалентность.

Теперь прибавляем к элементам второй строки соответствующие элементы первой строки, умноженные на формула, к элементам третьей строки – соответствующие элементы первой строки, умноженные на формула, и аналогично действуем вплоть до шестой строки:
формула

Получаем
формула

С матрицей формула проводим ту же процедуру получения нулевых элементов в первом столбце:
формула

Следовательно,
формула

Сейчас выполняем преобразования с матрицей формула:
формула

Получаем
формула

Матрица формула уже имеет необходимый вид, поэтому
формула

Ответ:

формула.

Рассмотрим решение еще одного примера, но подробно описывать действия не будем. Это некоторый образец краткой записи вычисления определителя матрицы методом Гаусса.

Пример.

Вычислите определитель матрицы формула порядка 7 на 7.

Решение.

формула

Следовательно,
формула

Замечание.

На некотором этапе преобразования матрицы по методу Гаусса может возникнуть ситуация, когда все элементы нескольких последних строк матрицы станут нулевыми. Это будет говорить о равенстве определителя нулю.

Подведем итог.

Определителем квадратной матрицы, элементы которой есть числа, является число. Мы рассмотрели три способа вычисления определителя:

  1. через сумму произведений сочетаний элементов матрицы;
  2. через разложение определителя по элементам строки или столбца матрицы;
  3. методом приведения матрицы к верхней треугольной (методом Гаусса).

Были получены формулы для вычисления определителей матриц порядка 2 на 2 и 3 на 3.

Мы разобрали свойства определителя матрицы. Некоторые из них позволяют быстро понять, что определитель равен нулю.

При вычислении определителей матриц порядка выше 3 на 3 целесообразно использовать метод Гаусса: выполнить элементарные преобразования матрицы и привести ее к верхней треугольной. Определитель такой матрицы равен произведению всех элементов, стоящих на главной диагонали.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+