Логарифмы, свойства логарифмов, их значения

Свойства логарифмов, формулировки и доказательства.


Логарифмы обладают рядом характерных свойств. В этой статье мы разберем основные свойства логарифмов. Здесь мы дадим их формулировки, запишем свойства логарифмов в виде формул, покажем примеры их применения, а также приведем доказательства свойств логарифмов.


Основные свойства логарифмов, формулы

Для удобства запоминания и использования представим основные свойства логарифмов в виде списка формул. В следующем пункте дадим их формулировки, доказательства, примеры использования и необходимые пояснения.

  1. Свойство логарифма единицы: loga1=0 для любого a>0, a≠1.
  2. Логарифм числа, равного основанию: logaa=1 при a>0, a≠1.
  3. Свойство логарифма степени основания: logaap=p, где a>0, a≠1 и p – любое действительное число.
  4. Логарифм произведения двух положительных чисел: loga(x·y)=logax+logay, a>0, a≠1, x>0, y>0,
    и свойство логарифма произведения n положительных чисел: loga(x1·x2·…·xn)=logax1+logax2+…+logaxn, a>0, a≠1, x1>0, x2>0, …, xn>0.
  5. Свойство логарифма частного: , где a>0, a≠1, x>0, y>0.
  6. Логарифм степени числа: logabp=p·loga|b|, где a>0, a≠1, b и p такие числа, что степень bp имеет смысл и bp>0.
    • Следствие: , где a>0, a≠1, n – натуральное число, большее единицы, b>0.
  7. Формула перехода к новому основанию логарифма: , где a>0, a≠1, b>0, c>0, c≠1.
    • Следствие 1: , a>0, a≠1, b>0, b≠1.
    • Следствие 2: , a>0, a≠1, b>0, p и q – действительные числа, q≠0, в частности при b=a имеем .
  8. Свойство сравнения логарифмов с одинаковыми основаниями: для любых положительных чисел b1 и b2, b1<b2 при 0<a<1 справедливо неравенство logab1>logab2, а при a>1 – неравенство logab1<logab2.
  9. Свойство сравнения логарифмов с равными числами под знаком логарифма и разными основаниями:
    • если a1>1, a2>1 и a1<a2, то при 0<b<1 выполняется loga1b<loga2b, а при b>1 справедливо loga1b>loga2b;
    • если 0<a1<1, a2>1 (при этом a1<a2), то при 0<b<1 выполняется loga1b>loga2b, а при b>1 справедливо loga1b<loga2b;
    • если 0<a1<1, 0<a2<1 и a1<a2, то при 0<b<1 выполняется loga1b<loga2b, а при b>1 справедливо loga1b>loga2b.

Формулировки и доказательства свойств


Переходим к формулированию и доказательству записанных свойств логарифмов. Все свойства логарифмов доказываются на основе определения логарифма и вытекающего из него основного логарифмического тождества, а также свойств степени.

  1. Начнем со свойства логарифма единицы. Его формулировка такова: логарифм единицы равен нулю, то есть, loga1=0 для любого a>0, a≠1. Доказательство не вызывает сложностей: так как a0=1 для любого a, удовлетворяющего указанным выше условиям a>0 и a≠1, то доказываемое равенство loga1=0 сразу следует из определения логарифма.

    Приведем примеры применения рассмотренного свойства: log31=0, lg1=0 и .

  2. Переходим к следующему свойству: логарифм числа, равного основанию, равен единице, то есть, logaa=1 при a>0, a≠1. Действительно, так как a1=a для любого a, то по определению логарифма logaa=1.

    Примерами использования этого свойства логарифмов являются равенства log55=1, log5,65,6 и lne=1.

  3. Логарифм степени числа, равного основанию логарифма, равен показателю степени. Этому свойству логарифма отвечает формула вида logaap=p, где a>0, a≠1 и p – любое действительное число. Это свойство напрямую следует из определения логарифма. Заметим, что оно позволяет сразу указать значение логарифма, если есть возможность представить число под знаком логарифма в виде степени основания, подробнее об этом мы поговорим в статье вычисление логарифмов.

    К примеру, log227=7, lg10-4=-4 и .

  4. Логарифм произведения двух положительных чисел x и y равен произведению логарифмов этих чисел: loga(x·y)=logax+logay, a>0, a≠1. Докажем свойство логарифма произведения. В силу свойств степени alogax+logay=alogax·alogay, а так как по основному логарифмическому тождеству alogax=x и alogay=y, то alogax·alogay=x·y. Таким образом, alogax+logay=x·y, откуда по определению логарифма вытекает доказываемое равенство.

    Покажем примеры использования свойства логарифма произведения: log5(2·3)=log52+log53 и .

    Свойство логарифма произведения можно обобщить на произведение конечного числа n положительных чисел x1, x2, …, xn как loga(x1·x2·…·xn)=logax1+logax2+…+logaxn. Данное равенство без проблем доказывается методом математической индукции.

    Например, натуральных логарифм произведения можно заменить суммой трех натуральных логарифмов чисел 4, e, и .

  5. Логарифм частного двух положительных чисел x и y равен разности логарифмов этих чисел. Свойству логарифма частного соответствует формула вида , где a>0, a≠1, x и y – некоторые положительные числа. Справедливость этой формулы доказывается как и формула логарифма произведения: так как , то по определению логарифма .

    Приведем пример использования этого свойства логарифма: .

  6. Переходим к свойству логарифма степени. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм модуля основания этой степени. Запишем это свойство логарифма степени в виде формулы: logabp=p·loga|b|, где a>0, a≠1, b и p такие числа, что степень bp имеет смысл и bp>0.

    Сначала докажем это свойство для положительных b. Основное логарифмическое тождество позволяет нам представить число b как alogab, тогда bp=(alogab)p, а полученное выражение в силу свойство степени равно ap·logab. Так мы приходим к равенству bp=ap·logab, из которого по определению логарифма заключаем, что logabp=p·logab.

    Осталось доказать это свойство для отрицательных b. Здесь замечаем, что выражение logabp при отрицательных b имеет смысл лишь при четных показателях степени p (так как значение степени bp должно быть больше нуля, в противном случае логарифм не будет иметь смысла), а в этом случае bp=|b|p. Тогда bp=|b|p=(aloga|b|)p=ap·loga|b|, откуда logabp=p·loga|b|.

    Например, и ln(-3)4=4·ln|-3|=4·ln3.

    Из предыдущего свойства вытекает свойство логарифма из корня: логарифм корня n-ой степени равен произведению дроби 1/n на логарифм подкоренного выражения, то есть, , где a>0, a≠1, n – натуральное число, большее единицы, b>0.

    Доказательство базируется на равенстве (смотрите определение степени с дробным показателем), которое справедливо для любых положительных b, и свойстве логарифма степени: .

    Вот пример использования этого свойства: .

  7. Теперь докажем формулу перехода к новому основанию логарифма вида . Для этого достаточно доказать справедливость равенства logcb=logab·logca. Основное логарифмическое тождество позволяет нам число b представить как alogab, тогда logcb=logcalogab. Осталось воспользоваться свойством логарифма степени: logcalogab=logab·logca. Так доказано равенство logcb=logab·logca, а значит, доказана и формула перехода к новому основанию логарифма .

    Покажем пару примеров применения этого свойства логарифмов: и .

    Формула перехода к новому основанию позволяет переходить к работе с логарифмами, имеющими «удобное» основание. Например, с ее помощью можно перейти к натуральным или десятичным логарифмам, чтобы можно было вычислить значение логарифма по таблице логарифмов. Формула перехода к новому основанию логарифма также позволяет в некоторых случаях находить значение данного логарифма, когда известны значения некоторых логарифмов с другими основаниями.

    Часто используется частный случай формулы перехода к новому основанию логарифма при c=b вида . Отсюда видно, что logab и logbaвзаимно обратные числа. К примеру, .

    Также часто используется формула , которая удобна при нахождении значений логарифмов. Для подтверждения своих слов покажем, как с ее помощью вычисляется значение логарифма вида . Имеем . Для доказательства формулы достаточно воспользоваться формулой перехода к новому основанию логарифма a: .

  8. Осталось доказать свойства сравнения логарифмов.

    Докажем, что для любых положительных чисел b1 и b2, b1<b2 при 0<a<1 справедливо неравенство logab1>logab2, а при a>1 – неравенство logab1<logab2. Докажем первую часть этого утверждения методом от противного, вторая часть доказывается абсолютно аналогично. Предположим, что при b1<b2 при 0<a<1 выполняется неравенство logab1≤logab2. Так как 0<a<1, то по свойству степеней с одинаковыми основаниями должно быть справедливо неравенство alogab1≥alogab2, откуда в силу основного логарифмического тождества следует, что b1≥b2. Так мы получили противоречие условию b1<b2.

  9. Наконец, осталось доказать последнее из перечисленных свойств логарифмов. Ограничимся доказательством его первой части, то есть, докажем, что если a1>1, a2>1 и a1<a2, то при 0<b<1 выполняется loga1b<loga2b, а при b>1 справедливо loga1b>loga2b. Остальные утверждения этого свойства логарифмов доказываются по аналогичному принципу.

    Воспользуемся методом от противного. Предположим, что при a1>1, a2>1 и a1<a2 и при 0<b<1 выполняется loga1b≥loga2b, а при b>1 справедливо loga1b≤loga2b. По свойствам логарифмов эти неравенства можно переписать как и соответственно, а из них следует, что logba1≤logba2 и logba1≥logba2 соответственно. Тогда по свойствам степеней с одинаковыми основаниями должны выполняться равенства blogba1≥blogba2 и blogba1≥blogba2, то есть, a1≥a2. Так мы пришли к противоречию условию a1<a2. На этом доказательство завершено.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

Профиль автора статьи в Google+