Математика на cleverstudents.ru

Логарифмы, свойства логарифмов, их значения

Свойства логарифмов, формулировки и доказательства.

Логарифмы обладают рядом характерных свойств. В этой статье мы разберем основные свойства логарифмов. Здесь мы дадим их формулировки, запишем свойства логарифмов в виде формул, покажем примеры их применения, а также приведем доказательства свойств логарифмов.

Основные свойства логарифмов, формулы

Для удобства запоминания и использования представим основные свойства логарифмов в виде списка формул. В следующем пункте дадим их формулировки, доказательства, примеры использования и необходимые пояснения.

1. Свойство логарифма единицы: log_a1=0 для любого a>0, a≠1.
2. Логарифм числа, равного основанию: log_aa=1 при a>0, a≠1.
3. Свойство логарифма степени основания: log_aa^p=p, где a>0, a≠1 и p – любое действительное число.
4. Логарифм произведения двух положительных чисел: log_a(x·y)=log_ax+log_ay, a>0, a≠1, x>0, y>0,
   и свойство логарифма произведения n положительных чисел: log_a(x₁·x₂·…·x_n)=log_ax₁+log_ax₂+…+log_ax_n, a>0, a≠1, x₁>0, x₂>0, …, x_n>0.
5. Свойство логарифма частного: , где a>0, a≠1, x>0, y>0.
6. Логарифм степени числа: log_ab^p=p·log_a|b|, где a>0, a≠1, b и p такие числа, что степень b^p имеет смысл и b^p>0.
   • Следствие: , где a>0, a≠1, n – натуральное число, большее единицы, b>0.
7. Формула перехода к новому основанию логарифма: , где a>0, a≠1, b>0, c>0, c≠1.
   • Следствие 1: , a>0, a≠1, b>0, b≠1.
   • Следствие 2: , a>0, a≠1, b>0, p и q – действительные числа, q≠0, в частности при b=a имеем .
8. Свойство сравнения логарифмов с одинаковыми основаниями: для любых положительных чисел b₁ и b₂, b₁<b₂ при 0<a<1 справедливо неравенство log_ab₁>log_ab₂, а при a>1 – неравенство log_ab₁<log_ab₂.
9. Свойство сравнения логарифмов с равными числами под знаком логарифма и разными основаниями:
   • если a₁>1, a₂>1 и a₁<a₂, то при 0<b<1 выполняется log_a1b<log_a2b, а при b>1 справедливо log_a1b>log_a2b;
   • если 0<a₁<1, a₂>1 (при этом a₁<a₂), то при 0<b<1 выполняется log_a1b>log_a2b, а при b>1 справедливо log_a1b<log_a2b;
   • если 0<a₁<1, 0<a₂<1 и a₁<a₂, то при 0<b<1 выполняется log_a1b<log_a2b, а при b>1 справедливо log_a1b>log_a2b.

Формулировки и доказательства свойств

Переходим к формулированию и доказательству записанных свойств логарифмов. Все свойства логарифмов доказываются на основе определения логарифма и вытекающего из него основного логарифмического тождества, а также свойств степени.

1. Начнем со свойства логарифма единицы. Его формулировка такова: логарифм единицы равен нулю, то есть, log_a1=0 для любого a>0, a≠1. Доказательство не вызывает сложностей: так как a⁰=1 для любого a, удовлетворяющего указанным выше условиям a>0 и a≠1, то доказываемое равенство log_a1=0 сразу следует из определения логарифма.

   Приведем примеры применения рассмотренного свойства: log₃1=0, lg1=0 и .

2. Переходим к следующему свойству: логарифм числа, равного основанию, равен единице, то есть, log_aa=1 при a>0, a≠1. Действительно, так как a¹=a для любого a, то по определению логарифма log_aa=1.

   Примерами использования этого свойства логарифмов являются равенства log₅5=1, log_5,65,6 и lne=1.

3. Логарифм степени числа, равного основанию логарифма, равен показателю степени. Этому свойству логарифма отвечает формула вида log_aa^p=p, где a>0, a≠1 и p – любое действительное число. Это свойство напрямую следует из определения логарифма. Заметим, что оно позволяет сразу указать значение логарифма, если есть возможность представить число под знаком логарифма в виде степени основания, подробнее об этом мы поговорим в статье вычисление логарифмов.

   К примеру, log₂2⁷=7, lg10^-4=-4 и .

4. Логарифм произведения двух положительных чисел x и y равен произведению логарифмов этих чисел: log_a(x·y)=log_ax+log_ay, a>0, a≠1. Докажем свойство логарифма произведения. В силу свойств степени a^{log_ax+log_ay}=a^log_ax·a^log_ay, а так как по основному логарифмическому тождеству a^log_ax=x и a^log_ay=y, то a^log_ax·a^log_ay=x·y. Таким образом, a^{log_ax+log_ay}=x·y, откуда по определению логарифма вытекает доказываемое равенство.

   Покажем примеры использования свойства логарифма произведения: log₅(2·3)=log₅2+log₅3 и .

   Свойство логарифма произведения можно обобщить на произведение конечного числа n положительных чисел x₁, x₂, …, x_n как log_a(x₁·x₂·…·x_n)=log_ax₁+log_ax₂+…+log_ax_n. Данное равенство без проблем доказывается методом математической индукции.

   Например, натуральных логарифм произведения можно заменить суммой трех натуральных логарифмов чисел 4, e, и .

5. Логарифм частного двух положительных чисел x и y равен разности логарифмов этих чисел. Свойству логарифма частного соответствует формула вида , где a>0, a≠1, x и y – некоторые положительные числа. Справедливость этой формулы доказывается как и формула логарифма произведения: так как , то по определению логарифма .

   Приведем пример использования этого свойства логарифма: .

6. Переходим к свойству логарифма степени. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм модуля основания этой степени. Запишем это свойство логарифма степени в виде формулы: log_ab^p=p·log_a|b|, где a>0, a≠1, b и p такие числа, что степень b^p имеет смысл и b^p>0.

   Сначала докажем это свойство для положительных b. Основное логарифмическое тождество позволяет нам представить число b как a^log_ab, тогда b^p=(a^log_ab)^p, а полученное выражение в силу свойство степени равно a^p·log_ab. Так мы приходим к равенству b^p=a^p·log_ab, из которого по определению логарифма заключаем, что log_ab^p=p·log_ab.

   Осталось доказать это свойство для отрицательных b. Здесь замечаем, что выражение log_ab^p при отрицательных b имеет смысл лишь при четных показателях степени p (так как значение степени b^p должно быть больше нуля, в противном случае логарифм не будет иметь смысла), а в этом случае b^p=|b|^p. Тогда b^p=|b|^p=(a^log_a|b|)^p=a^p·log_a|b|, откуда log_ab^p=p·log_a|b|.

   Например, и ln(-3)⁴=4·ln|-3|=4·ln3.

   Из предыдущего свойства вытекает свойство логарифма из корня: логарифм корня n-ой степени равен произведению дроби 1/n на логарифм подкоренного выражения, то есть, , где a>0, a≠1, n – натуральное число, большее единицы, b>0.

   Доказательство базируется на равенстве (смотрите определение степени с дробным показателем), которое справедливо для любых положительных b, и свойстве логарифма степени: .

   Вот пример использования этого свойства: .

7. Теперь докажем формулу перехода к новому основанию логарифма вида . Для этого достаточно доказать справедливость равенства log_cb=log_ab·log_ca. Основное логарифмическое тождество позволяет нам число b представить как a^log_ab, тогда log_cb=log_ca^log_ab. Осталось воспользоваться свойством логарифма степени: log_ca^log_ab=log_ab·log_ca. Так доказано равенство log_cb=log_ab·log_ca, а значит, доказана и формула перехода к новому основанию логарифма .

   Покажем пару примеров применения этого свойства логарифмов: и .

   Формула перехода к новому основанию позволяет переходить к работе с логарифмами, имеющими «удобное» основание. Например, с ее помощью можно перейти к натуральным или десятичным логарифмам, чтобы можно было вычислить значение логарифма по таблице логарифмов. Формула перехода к новому основанию логарифма также позволяет в некоторых случаях находить значение данного логарифма, когда известны значения некоторых логарифмов с другими основаниями.

   Часто используется частный случай формулы перехода к новому основанию логарифма при c=b вида . Отсюда видно, что log_ab и log_ba – взаимно обратные числа. К примеру, .

   Также часто используется формула , которая удобна при нахождении значений логарифмов. Для подтверждения своих слов покажем, как с ее помощью вычисляется значение логарифма вида . Имеем . Для доказательства формулы достаточно воспользоваться формулой перехода к новому основанию логарифма a: .

8. Осталось доказать свойства сравнения логарифмов.

   Докажем, что для любых положительных чисел b₁ и b₂, b₁<b₂ при 0<a<1 справедливо неравенство log_ab₁>log_ab₂, а при a>1 – неравенство log_ab₁<log_ab₂. Докажем первую часть этого утверждения методом от противного, вторая часть доказывается абсолютно аналогично. Предположим, что при b₁<b₂ при 0<a<1 выполняется неравенство log_ab₁≤log_ab₂. Так как 0<a<1, то по свойству степеней с одинаковыми основаниями должно быть справедливо неравенство a^log_ab₁≥a^log_ab₂, откуда в силу основного логарифмического тождества следует, что b₁≥b₂. Так мы получили противоречие условию b₁<b₂.

9. Наконец, осталось доказать последнее из перечисленных свойств логарифмов. Ограничимся доказательством его первой части, то есть, докажем, что если a₁>1, a₂>1 и a₁<a₂, то при 0<b<1 выполняется log_a1b<log_a2b, а при b>1 справедливо log_a1b>log_a2b. Остальные утверждения этого свойства логарифмов доказываются по аналогичному принципу.

   Воспользуемся методом от противного. Предположим, что при a₁>1, a₂>1 и a₁<a₂ и при 0<b<1 выполняется log_a1b≥log_a2b, а при b>1 справедливо log_a1b≤log_a2b. По свойствам логарифмов эти неравенства можно переписать как и соответственно, а из них следует, что log_ba₁≤log_ba₂ и log_ba₁≥log_ba₂ соответственно. Тогда по свойствам степеней с одинаковыми основаниями должны выполняться равенства b^log_ba₁≥b^log_ba₂ и b^log_ba₁≥b^log_ba₂, то есть, a₁≥a₂. Так мы пришли к противоречию условию a₁<a₂. На этом доказательство завершено.