Прямая, плоскость, их уравнения

Уравнение прямой с угловым коэффициентом - теория, примеры, решение задач.


Продолжаем изучение темы уравнение прямой на плоскости. Знакомство с уравнением прямой линии начинается на уроках алгебры в средней школе. Там мы изучаем так называемое уравнение прямой с угловым коэффициентом. В этой статье обобщена информация по этой теме. Сначала даны определения, необходимые для описания уравнения прямой с угловым коэффициентом. Далее получен вид уравнения прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку на плоскости. После этого показана связь между уравнением прямой с угловым коэффициентом и другими видами уравнения этой прямой. В заключении подробно разобраны решения характерных задач.


Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой.

Прежде чем записать уравнение прямой с угловым коэффициентом дадим определения угла наклона прямой к оси Ox и углового коэффициента. Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Oxy.

Определение.

Угол наклона прямой к оси Ox в фиксированной прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости - это угол, отсчитываемый от положительного направления оси Ох до прямой против хода часовой стрелки.

изображение

Если прямая параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, то угол ее наклона считают равным нулю. Таким образом, угол наклона прямой формула может принимать значения из интервала формула.

Определение.

Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой.

Угловой коэффициент прямой обычно обозначают буквой k. Тогда по определению формула.

Если прямая параллельна оси ординат, то угловой коэффициент не существует (в этом случае также говорят, что угловой коэффициент обращается в бесконечность).

Положительный угловой коэффициент прямой указывает на возрастание ее графика функции, отрицательный угловой коэффициент – на убывание. Этой теме посвящена статья нахождение промежутков возрастания и убывания функции.

На рисунке показан угол наклона прямой и указано значение углового коэффициента при различных вариантах расположения прямой относительно прямоугольной системы координат.

изображение

Нахождение углового коэффициента прямой при известном угле наклона к оси Ox не представляет никаких сложностей. Для этого достаточно вспомнить определение углового коэффициента и вычислить тангенс угла наклона.

Пример.

Найдите угловой коэффициент прямой, если угол ее наклона к оси абсцисс равен формула.

Решение.

По условию формула. Тогда по определению углового коэффициента прямой вычисляем формула.

Ответ:

формула

Задача нахождения угла наклона прямой к оси абсцисс при известном угловом коэффициенте немного сложнее. Здесь необходимо учитывать знак углового коэффициента. При формула угол наклона прямой является острым и находится как формула. При формула угол наклона прямой является тупым и его можно определить по формуле формула.

Пример.

Определите угол наклона прямой к оси абсцисс, если ее угловой коэффициент равен 3.

Решение.

Так как по условию угловой коэффициент положителен, то угол наклона прямой к оси Ox острый. Его вычисляем по формуле формула.

Ответ:

формула

Пример.

Угловой коэффициент прямой равен формула. Определите угол наклона прямой к оси Ox.

Решение.

Обозначим k – угловой коэффициент прямой, формула - угол наклона этой прямой к положительному направлению оси Ox. Так как формула, то используем формулу для нахождения угла наклона прямой следующего вида формула. Подставляем в нее данные из условия: формула.

Ответ:

формула

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.


Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид формула, где k - угловой коэффициент прямой, b – некоторое действительное число. Уравнением прямой с угловым коэффициентом можно задать любую прямую, не параллельную оси Oy (для прямой параллельно оси ординат угловой коэффициент не определен).

Давайте разберемся со смыслом фразы: «прямая на плоскости в фиксированной системе координат задана уравнением с угловым коэффициентом вида формула». Это означает, что уравнению формула удовлетворяют координаты любой точки прямой и не удовлетворяют координаты никаких других точкек плоскости. Таким образом, если при подстановке координат точки формула в уравнение прямой с угловым коэффициентом формула получается верное равенство, то прямая проходит через эту точку. В противном случае точка не лежит на прямой.

Пример.

Прямая задана уравнением с угловым коэффициентом формула. Принадлежат ли точки формула и формула этой прямой?

Решение.

Подставим координаты точки формула в исходное уравнение прямой с угловым коэффициентом: формула. Мы получили верное равенство, следовательно, точка М1 лежит на прямой.

При подстановке координат точки формула получаем неверное равенство: формула. Таким образом, точка М2 не лежит на прямой.

Ответ:

точка М1 принадлежит прямой, М2 – не принадлежит.

Следует отметить, что прямая, определенная уравнением прямой с угловым коэффициентом формула, проходит через точку формула, так как при подстановке ее координат в уравнение мы получаем верное равенство: формула.

Таким образом, уравнение прямой с угловым коэффициентом формула определяет на плоскости прямую, проходящую через точку формула и образующую угол формула с положительным направлением оси абсцисс, причем формула.

В качестве примера изобразим прямую, определяемую уравнением прямой с угловым коэффициентом вида формула. Эта прямая проходит через точку формула и имеет наклон формула радиан (60 градусов) к положительному направлению оси Ox. Ее угловой коэффициент равен формула.

изображение

Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку.

Сейчас решим очень важную задачу: получим уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k и проходящую через точку формула.

Так как прямая проходит через точку формула, то справедливо равенство формула. Число b нам неизвестно. Чтобы избавиться от него, вычтем из левой и правой частей уравнения прямой с угловым коэффициентом соответственно левую и правую части последнего равенства. При этом получим формула. Это равенство представляет собой уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k, которая проходит через заданную точку формула.

Рассмотрим пример.

Пример.

Напишите уравнение прямой, проходящей через точку формула, угловой коэффициент этой прямой равен -2.

Решение.

Из условия имеем формула. Тогда уравнение прямой с угловым коэффициентом примет вид формула.

Ответ:

формула

Пример.

Напишите уравнение прямой, если известно, что она проходит через точку формула и угол наклона к положительному направлению оси Ox равен формула.

Решение.

Сначала вычислим угловой коэффициент прямой, уравнение которой мы ищем (такую задачу мы решали в предыдущем пункте этой статьи). По определению формула. Теперь мы располагаем всеми данными, чтобы записать уравнение прямой с угловым коэффициентом:
формула

Ответ:

формула

Пример.

Напишите уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящую через точку формула параллельно прямой формула.

Решение.

Очевидно, что углы наклона параллельных прямых к оси Ox совпадают (при необходимости смотрите статью параллельность прямых), следовательно, угловые коэффициенты у параллельных прямых равны. Тогда угловой коэффициент прямой, уравнение которой нам нужно получить, равен 2, так как угловой коэффициент прямой формула равен 2. Теперь мы можем составить требуемое уравнение прямой с угловым коэффициентом:
формула

Ответ:

формула

Переход от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнения прямой и обратно.

При всей привычности уравнение прямой с угловым коэффициентом далеко не всегда удобно использовать при решении задач. В некоторых случаях задачи проще решаются, когда уравнение прямой представлено в другом виде. К примеру, уравнение прямой с угловым коэффициентом формула не позволяет сразу записать координаты направляющего вектора прямой или координаты нормального вектора прямой. Поэтому следует научиться переходить от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнения этой прямой.

Из уравнения прямой с угловым коэффициентом легко получить каноническое уравнение прямой на плоскости вида формула. Для этого из правой части уравнения формула переносим слагаемое b в левую часть с противоположным знаком, затем делим обе части полученного равенства на угловой коэффициент k: формула. Эти действия приводят нас от уравнения прямой с угловым коэффициентом к каноническому уравнению прямой.

Пример.

Приведите уравнение прямой с угловым коэффициентом формула к каноническому виду.

Решение.

Выполним необходимые преобразования: формула.

Ответ:

формула

Хорошо видно, что общее уравнение прямой легко получить из уравнения прямой с угловым коэффициентом вида формула. Для этого нужно выполнить следующее действие формула. Далее от общего уравнения прямой можно перейти к уравнениям прямой другого вида. Эту процедуру Вы можете посмотреть в разделе теории приведение общего уравнения прямой к уравнениям этой прямой другого вида.

Пример.

Прямая задана уравнением прямой с угловым коэффициентом формула. Является ли вектор формула нормальным вектором этой прямой?

Решение.

Для решения этой задачи перейдем от уравнения прямой с угловым коэффициентом к общему уравнению этой прямой: формула. Нам известно, что коэффициенты перед переменными x и y в общем уравнении прямой являются соответствующими координатами нормального вектора этой прямой, то есть, формула - нормальный вектор прямой формула. Очевидно, что вектор формула коллинеарен вектору формула, так как справедливо соотношение формула (при необходимости смотрите статью условие коллинеарности векторов). Таким образом, исходный вектор формула также является нормальным вектором прямой формула, а, следовательно, является нормальным вектором и исходной прямой формула.

Ответ:

да, является.

А сейчас будем решать обратную задачу – задачу приведения уравнения прямой на плоскости к уравнению прямой с угловым коэффициентом.

От общего уравнения прямой вида формула, в котором формула, очень легко перейти к уравнению с угловым коэффициентом. Для этого нужно общее уравнение прямой разрешить относительно y. При этом получаем формула. Полученное равенство представляет собой уравнение прямой с угловым коэффициентом, равным формула.

Пример.

Дано уравнение прямой формула. Получите уравнение этой прямой с угловым коэффициентом.

Решение.

Разрешим исходное уравнение относительно y, тем самым получим уравнение прямой с угловым коэффициентом: формула.

Ответ:

формула

Аналогично, разрешив уравнение прямой в отрезках формула или каноническое уравнение прямой формула относительно переменной y, мы получим уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Вот схема необходимых действий для приведения уравнения прямой в отрезках к уравнению прямой с угловым коэффициентом
формула.

А следующая схема поясняет приведение канонического уравнения прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом
формула

Пример.

На плоскости задана прямая уравнением формула. Приведите это уравнение к уравнению прямой с угловым коэффициентом.

Решение.

Оставим в левой части исходного уравнения только слагаемое с переменной y, остальные перенесем в правую часть с противоположным знаком: формула. Умножив обе части полученного равенства на -3 получаем требуемое уравнение прямой с угловым коэффициентом: формула.

Ответ:

формула

Пример.

Приведите уравнение прямой формула к уравнению с угловым коэффициентом.

Решение.

Пропорция формула представляет собой равенство формула. Разрешим его относительно y, тем самым получим искомое уравнение прямой с угловым коэффициентом: формула.

Ответ:

формула

Параметрические уравнения прямой вида формула сначала следует привести к каноническому уравнению прямой (подобный пример показан в разделе переход от параметрических уравнений прямой к другим видам уравнения этой прямой), а уже потом можно переходить к уравнению этой прямой с угловым коэффициентом.

Пример.

Найдите угловой коэффициент прямой, заданной параметрическими уравнениями формула.

Решение.

Если перейти от заданный параметрических уравнений прямой к уравнению этой прямой с угловым коэффициентом, то мы сразу получим значение углового коэффициента.

Выполним переход.

Для этого получим сначала каноническое уравнение исходной прямой: формула.

Теперь разрешим полученное равенство относительно y и получим нужное уравнение прямой с угловым коэффициентом:
формула

Таким образом, угловой коэффициент прямой равен двум.

Ответ:

k = 2.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+