Уравнение прямой с угловым коэффициентом - теория, примеры, решение задач.
Продолжаем изучение темы уравнение прямой на плоскости. Знакомство с уравнением прямой линии начинается на уроках алгебры в средней школе. Там мы изучаем так называемое уравнение прямой с угловым коэффициентом. В этой статье обобщена информация по этой теме. Сначала даны определения, необходимые для описания уравнения прямой с угловым коэффициентом. Далее получен вид уравнения прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку на плоскости. После этого показана связь между уравнением прямой с угловым коэффициентом и другими видами уравнения этой прямой. В заключении подробно разобраны решения характерных задач.
Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой.
Прежде чем записать уравнение прямой с угловым коэффициентом дадим определения угла наклона прямой к оси Ox и углового коэффициента. Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Oxy.
Определение.
Угол наклона прямой к оси Ox в фиксированной прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости - это угол, отсчитываемый от положительного направления оси Ох до прямой против хода часовой стрелки.
Если прямая параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, то угол ее наклона считают равным нулю. Таким образом, угол наклона прямой 
может принимать значения из интервала 
.
Определение.
Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой.
Угловой коэффициент прямой обычно обозначают буквой k. Тогда по определению 
.
Если прямая параллельна оси ординат, то угловой коэффициент не существует (в этом случае также говорят, что угловой коэффициент обращается в бесконечность).
Положительный угловой коэффициент прямой указывает на возрастание ее графика функции, отрицательный угловой коэффициент – на убывание. Этой теме посвящена статья нахождение промежутков возрастания и убывания функции.
На рисунке показан угол наклона прямой и указано значение углового коэффициента при различных вариантах расположения прямой относительно прямоугольной системы координат.
Нахождение углового коэффициента прямой при известном угле наклона к оси Ox не представляет никаких сложностей. Для этого достаточно вспомнить определение углового коэффициента и вычислить тангенс угла наклона.
Пример.
Найдите угловой коэффициент прямой, если угол ее наклона к оси абсцисс равен 
.
Решение.
По условию 
. Тогда по определению углового коэффициента прямой вычисляем 
.
Ответ:
Задача нахождения угла наклона прямой к оси абсцисс при известном угловом коэффициенте немного сложнее. Здесь необходимо учитывать знак углового коэффициента. При 
угол наклона прямой является острым и находится как 
. При 
угол наклона прямой является тупым и его можно определить по формуле 
.
Пример.
Определите угол наклона прямой к оси абсцисс, если ее угловой коэффициент равен 3.
Решение.
Так как по условию угловой коэффициент положителен, то угол наклона прямой к оси Ox острый. Его вычисляем по формуле 
.
Ответ:
Пример.
Угловой коэффициент прямой равен 
. Определите угол наклона прямой к оси Ox.
Решение.
Обозначим k – угловой коэффициент прямой, - угол наклона этой прямой к положительному направлению оси Ox. Так как 
, то используем формулу для нахождения угла наклона прямой следующего вида . Подставляем в нее данные из условия: 
.
Ответ:
Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид 
, где k - угловой коэффициент прямой, b – некоторое действительное число. Уравнением прямой с угловым коэффициентом можно задать любую прямую, не параллельную оси Oy (для прямой параллельно оси ординат угловой коэффициент не определен).
Давайте разберемся со смыслом фразы: «прямая на плоскости в фиксированной системе координат задана уравнением с угловым коэффициентом вида ». Это означает, что уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой и не удовлетворяют координаты никаких других точкек плоскости. Таким образом, если при подстановке координат точки 
в уравнение прямой с угловым коэффициентом получается верное равенство, то прямая проходит через эту точку. В противном случае точка не лежит на прямой.
Пример.
Прямая задана уравнением с угловым коэффициентом 
. Принадлежат ли точки 
и 
этой прямой?
Решение.
Подставим координаты точки в исходное уравнение прямой с угловым коэффициентом: 
. Мы получили верное равенство, следовательно, точка М1 лежит на прямой.
При подстановке координат точки получаем неверное равенство: 
. Таким образом, точка М2 не лежит на прямой.
Ответ:
точка М1 принадлежит прямой, М2 – не принадлежит.
Следует отметить, что прямая, определенная уравнением прямой с угловым коэффициентом , проходит через точку 
, так как при подстановке ее координат в уравнение мы получаем верное равенство: 
.
Таким образом, уравнение прямой с угловым коэффициентом определяет на плоскости прямую, проходящую через точку 
и образующую угол с положительным направлением оси абсцисс, причем .
В качестве примера изобразим прямую, определяемую уравнением прямой с угловым коэффициентом вида 
. Эта прямая проходит через точку 
и имеет наклон 
радиан (60 градусов) к положительному направлению оси Ox. Ее угловой коэффициент равен 
.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку.
Сейчас решим очень важную задачу: получим уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k и проходящую через точку .
Так как прямая проходит через точку , то справедливо равенство 
. Число b нам неизвестно. Чтобы избавиться от него, вычтем из левой и правой частей уравнения прямой с угловым коэффициентом соответственно левую и правую части последнего равенства. При этом получим 
. Это равенство представляет собой уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k, которая проходит через заданную точку .
Рассмотрим пример.
Пример.
Напишите уравнение прямой, проходящей через точку 
, угловой коэффициент этой прямой равен -2.
Решение.
Из условия имеем 
. Тогда уравнение прямой с угловым коэффициентом примет вид 
.
Ответ:
Пример.
Напишите уравнение прямой, если известно, что она проходит через точку 
и угол наклона к положительному направлению оси Ox равен 
.
Решение.
Сначала вычислим угловой коэффициент прямой, уравнение которой мы ищем (такую задачу мы решали в предыдущем пункте этой статьи). По определению 
. Теперь мы располагаем всеми данными, чтобы записать уравнение прямой с угловым коэффициентом:
Ответ:
Пример.
Напишите уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящую через точку 
параллельно прямой 
.
Решение.
Очевидно, что углы наклона параллельных прямых к оси Ox совпадают (при необходимости смотрите статью параллельность прямых), следовательно, угловые коэффициенты у параллельных прямых равны. Тогда угловой коэффициент прямой, уравнение которой нам нужно получить, равен 2, так как угловой коэффициент прямой равен 2. Теперь мы можем составить требуемое уравнение прямой с угловым коэффициентом:
Ответ:
Переход от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнения прямой и обратно.
При всей привычности уравнение прямой с угловым коэффициентом далеко не всегда удобно использовать при решении задач. В некоторых случаях задачи проще решаются, когда уравнение прямой представлено в другом виде. К примеру, уравнение прямой с угловым коэффициентом не позволяет сразу записать координаты направляющего вектора прямой или координаты нормального вектора прямой. Поэтому следует научиться переходить от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнения этой прямой.
Из уравнения прямой с угловым коэффициентом легко получить каноническое уравнение прямой на плоскости вида 
. Для этого из правой части уравнения переносим слагаемое b в левую часть с противоположным знаком, затем делим обе части полученного равенства на угловой коэффициент k: 
. Эти действия приводят нас от уравнения прямой с угловым коэффициентом к каноническому уравнению прямой.
Пример.
Приведите уравнение прямой с угловым коэффициентом 
к каноническому виду.
Решение.
Выполним необходимые преобразования: 
.
Ответ:
Хорошо видно, что общее уравнение прямой легко получить из уравнения прямой с угловым коэффициентом вида . Для этого нужно выполнить следующее действие 
. Далее от общего уравнения прямой можно перейти к уравнениям прямой другого вида. Эту процедуру Вы можете посмотреть в разделе теории приведение общего уравнения прямой к уравнениям этой прямой другого вида.
Пример.
Прямая задана уравнением прямой с угловым коэффициентом 
. Является ли вектор 
нормальным вектором этой прямой?
Решение.
Для решения этой задачи перейдем от уравнения прямой с угловым коэффициентом к общему уравнению этой прямой: 
. Нам известно, что коэффициенты перед переменными x и y в общем уравнении прямой являются соответствующими координатами нормального вектора этой прямой, то есть, 
- нормальный вектор прямой 
. Очевидно, что вектор коллинеарен вектору , так как справедливо соотношение 
(при необходимости смотрите статью условие коллинеарности векторов). Таким образом, исходный вектор также является нормальным вектором прямой , а, следовательно, является нормальным вектором и исходной прямой .
Ответ:
да, является.
А сейчас будем решать обратную задачу – задачу приведения уравнения прямой на плоскости к уравнению прямой с угловым коэффициентом.
От общего уравнения прямой вида 
, в котором 
, очень легко перейти к уравнению с угловым коэффициентом. Для этого нужно общее уравнение прямой разрешить относительно y. При этом получаем 
. Полученное равенство представляет собой уравнение прямой с угловым коэффициентом, равным 
.
Пример.
Дано уравнение прямой 
. Получите уравнение этой прямой с угловым коэффициентом.
Решение.
Разрешим исходное уравнение относительно y, тем самым получим уравнение прямой с угловым коэффициентом: 
.
Ответ:
Аналогично, разрешив уравнение прямой в отрезках 
или каноническое уравнение прямой относительно переменной y, мы получим уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Вот схема необходимых действий для приведения уравнения прямой в отрезках к уравнению прямой с угловым коэффициентом
.
А следующая схема поясняет приведение канонического уравнения прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом
Пример.
На плоскости задана прямая уравнением 
. Приведите это уравнение к уравнению прямой с угловым коэффициентом.
Решение.
Оставим в левой части исходного уравнения только слагаемое с переменной y, остальные перенесем в правую часть с противоположным знаком: 
. Умножив обе части полученного равенства на -3 получаем требуемое уравнение прямой с угловым коэффициентом: 
.
Ответ:
Пример.
Приведите уравнение прямой 
к уравнению с угловым коэффициентом.
Решение.
Пропорция представляет собой равенство 
. Разрешим его относительно y, тем самым получим искомое уравнение прямой с угловым коэффициентом: 
.
Ответ:
Параметрические уравнения прямой вида 
сначала следует привести к каноническому уравнению прямой (подобный пример показан в разделе переход от параметрических уравнений прямой к другим видам уравнения этой прямой), а уже потом можно переходить к уравнению этой прямой с угловым коэффициентом.
Пример.
Найдите угловой коэффициент прямой, заданной параметрическими уравнениями 
.
Решение.
Если перейти от заданный параметрических уравнений прямой к уравнению этой прямой с угловым коэффициентом, то мы сразу получим значение углового коэффициента.
Выполним переход.
Для этого получим сначала каноническое уравнение исходной прямой: 
.
Теперь разрешим полученное равенство относительно y и получим нужное уравнение прямой с угловым коэффициентом:
Таким образом, угловой коэффициент прямой равен двум.
Ответ:
k = 2.
Список литературы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Некогда разбираться?