Проекция точки на плоскость, координаты проекции точки на плоскость.
Эта статья является ответом на два вопроса: «Что такое проекция точки на плоскость» и «Как найти координаты проекции точки на плоскость»? Сначала дана необходимая информация о проецировании и его видах. Далее приведено определение проекции точки на плоскость и дана графическая иллюстрация. После этого получен метод нахождения координат проекции точки на плоскость. В заключении разобраны решения примеров, в которых вычисляются координаты проекции заданной точки на заданную плоскость.
Проецирование, виды проецирования – необходимая информация.
При изучении пространственных фигур удобно пользоваться их изображениями на чертеже. Чертеж пространственной фигуры представляет собой так называемую проекцию этой фигуры на плоскость. Процесс построения изображения пространственной фигуры на плоскости происходит по определенным правилам. Так вот процесс построения изображения пространственной фигуры на плоскости вместе с набором правил, по которым осуществляется этот процесс, называется проецированием фигуры на данную плоскость. Плоскость, в которой строится изображение, называют плоскостью проекции.
В зависимости от правил, по которым осуществляется проецирование, различают центральное и параллельное проецирование. Вдаваться в подробности не станем, так как это выходит за рамки этой статьи.
В геометрии в основном используется частный случай параллельного проецирования - перпендикулярное проецирование, которое также называют ортогональным. В названии этого вида проецирования прилагательное «перпендикулярное» часто опускается. То есть, когда в геометрии говорят о проекции фигуры на плоскость, то обычно подразумевают, что эта проекция была получена с помощью перпендикулярного проецирования (если, конечно, не оговорено другое).
Следует отметить, что проекция фигуры на плоскость представляет собой совокупность проекций всех точек этой фигуры на плоскость проекции. Иными словами, чтобы получить проекцию некоторой фигуры необходимо уметь находить проекции точек этой фигуры на плоскость. В следующем пункте статьи как раз показано, как найти проекцию точки на плоскость.
Проекция точки на плоскость – определение и иллюстрация.
Еще раз подчеркнем, что мы будем говорить о перпендикулярной проекции точки на плоскость.
Выполним построения, которые помогут нам дать определение проекции точки на плоскость.
Пусть в трехмерном пространстве нам задана точка М1 и плоскость 
. Проведем через точку М1 прямую a, перпендикулярную к плоскости . Если точка М1 не лежит в плоскости , то обозначим точку пересечения прямой a и плоскости как H1. Таким образом, точка H1 по построению является основанием перпендикуляра, опущенного из точки M1 на плоскость .
Определение.
Проекция точки М1 на плоскость - это сама точка М1, если 
, или точка H1, если 
.
Данному определению проекции точки на плоскость эквивалентно следующее определение.
Определение.
Проекция точки на плоскость – это либо сама точка, если она лежит в заданной плоскости, либо основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на заданную плоскость.
На приведенном ниже чертеже точка H1 есть проекция точки М1 на плоскость ; точка М2 лежит в плоскости , поэтому М2 – проекция самой точки М2 на плоскость .
Нахождение координат проекции точки на плоскость – решения примеров.
Пусть в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz, задана точка 
и плоскость . Поставим перед собой задачу: определить координаты проекции точки М1 на плоскость .
Решение задачи логически следует из определения проекции точки на плоскость.
Обозначим проекцию точки М1 на плоскость как H1. По определению проекции точки на плоскость, H1 – это точка пересечения заданной плоскости и прямой a, проходящей через точку М1 перпендикулярно к плоскости . Таким образом, искомые координаты проекции точки М1 на плоскость - это координаты точки пересечения прямой a и плоскости .
Следовательно, чтобы найти координаты проекции точки на плоскость нужно:
-
получить уравнение плоскости , если оно сразу не дано (в этом Вам поможет статья виды уравнения плоскости);
-
составить уравнение прямой a, которая проходит через точку М1 и перпендикулярна к плоскости (смотрите уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости);
-
определить координаты точки пересечения прямой a и плоскости (при необходимости обращайтесь к статье нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости) – это и есть искомые координаты проекции точки М1 на плоскость .
Рассмотрим решения примеров.
Пример.
Найдите координаты проекции точки 
на плоскость 
.
Решение.
В условии задачи нам дано общее уравнение плоскости вида , так что его составлять не нужно.
Напишем канонические уравнения прямой a, которая проходит через точку М1 перпендикулярно к заданной плоскости. Для этого получим координаты направляющего вектора прямой a. Так как прямая a перпендикулярна к заданной плоскости, то направляющим вектором прямой a является нормальный вектор плоскости . То есть, 
- направляющий вектор прямой a. Теперь мы можем написать канонические уравнения прямой в пространстве, которая проходит через точку 
и имеет направляющий вектор :
.
Чтобы получить требуемые координаты проекции точки на плоскость, осталось определить координаты точки пересечения прямой и плоскости . Для этого от канонических уравнений прямой переходим к уравнениям двух пересекающихся плоскостей 
, составляем систему уравнений 
и находим ее решение. Используем метод Крамера:
Таким образом, проекция точки на плоскость имеет координаты 
.
Ответ:
.
Пример.
В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве заданы точки 
и 
. Определите координаты проекции точки М1 на плоскость АВС.
Решение.
Напишем сначала уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки :
Дальше для нахождения координат проекции точки М1 на плоскость АВС можно действовать как в предыдущем примере.
Но давайте рассмотрим альтернативный подход.
Получим параметрические уравнения прямой a, которая проходит через точку и перпендикулярна к плоскости АВС. Нормальный вектор плоскости 
имеет координаты 
, следовательно, вектор 
является направляющим вектором прямой a. Теперь мы можем написать параметрические уравнения прямой в пространстве, так как знаем координаты точки прямой () и координаты ее направляющего вектора ():
Осталось определить координаты точки пересечения прямой и плоскости . Для этого в уравнение плоскости подставим 
:
.
Теперь по параметрическим уравнениям вычислим значения переменных x, y и z при 
:
.
Таким образом, проекция точки М1 на плоскость АВС имеет координаты 
.
Ответ:
.
В заключении давайте обсудим нахождение координат проекции некоторой точки на координатные плоскости и плоскости, параллельные координатным плоскостям.
Проекциями точки на координатные плоскости Oxy, Oxz и Oyz являются точки с координатами 
и 
соответственно. А проекциями точки на плоскости 
и 
, которые параллельны координатным плоскостям Oxy, Oxz и Oyz соответственно, являются точки с координатами 
и 
.
Покажем, как были получены эти результаты.
Для примера найдем проекцию точки на плоскость 
(остальные случаи аналогичны этому).
Эта плоскость параллельна координатной плоскости Oyz и 
- ее нормальный вектор. Вектор является направляющим вектором прямой, перпендикулярной к плоскости Oyz. Тогда параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М1 перпендикулярно к заданной плоскости, имеют вид 
.
Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости . Для этого сначала подставляем в уравнение равенства 
: 
. Теперь вычисляем искомые координаты по параметрическим уравнениям прямой при 
:
Таким образом, проекцией точки на плоскость является точка с координатами , что и требовалось показать.
Пример.
Найдите координаты проекций точки 
на координатную плоскость Oxy и на плоскость 
.
Решение.
Координатной плоскости Oxy соответствует неполное общее уравнение плоскости вида 
, и проекция точки на плоскость имеет координаты 
.
Уравнение плоскости вида можно переписать как 
. Теперь легко записать координаты проекции точки на плоскость : 
.
Ответ:
и .
Список литературы.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
- Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Некогда разбираться?