Прямая, плоскость, их уравнения

Проекция точки на плоскость, координаты проекции точки на плоскость.


Эта статья является ответом на два вопроса: «Что такое проекция точки на плоскость» и «Как найти координаты проекции точки на плоскость»? Сначала дана необходимая информация о проецировании и его видах. Далее приведено определение проекции точки на плоскость и дана графическая иллюстрация. После этого получен метод нахождения координат проекции точки на плоскость. В заключении разобраны решения примеров, в которых вычисляются координаты проекции заданной точки на заданную плоскость.


Проецирование, виды проецирования – необходимая информация.

При изучении пространственных фигур удобно пользоваться их изображениями на чертеже. Чертеж пространственной фигуры представляет собой так называемую проекцию этой фигуры на плоскость. Процесс построения изображения пространственной фигуры на плоскости происходит по определенным правилам. Так вот процесс построения изображения пространственной фигуры на плоскости вместе с набором правил, по которым осуществляется этот процесс, называется проецированием фигуры на данную плоскость. Плоскость, в которой строится изображение, называют плоскостью проекции.

В зависимости от правил, по которым осуществляется проецирование, различают центральное и параллельное проецирование. Вдаваться в подробности не станем, так как это выходит за рамки этой статьи.

В геометрии в основном используется частный случай параллельного проецирования - перпендикулярное проецирование, которое также называют ортогональным. В названии этого вида проецирования прилагательное «перпендикулярное» часто опускается. То есть, когда в геометрии говорят о проекции фигуры на плоскость, то обычно подразумевают, что эта проекция была получена с помощью перпендикулярного проецирования (если, конечно, не оговорено другое).

Следует отметить, что проекция фигуры на плоскость представляет собой совокупность проекций всех точек этой фигуры на плоскость проекции. Иными словами, чтобы получить проекцию некоторой фигуры необходимо уметь находить проекции точек этой фигуры на плоскость. В следующем пункте статьи как раз показано, как найти проекцию точки на плоскость.

Проекция точки на плоскость – определение и иллюстрация.


Еще раз подчеркнем, что мы будем говорить о перпендикулярной проекции точки на плоскость.

Выполним построения, которые помогут нам дать определение проекции точки на плоскость.

Пусть в трехмерном пространстве нам задана точка М1 и плоскость формула. Проведем через точку М1 прямую a, перпендикулярную к плоскости формула. Если точка М1 не лежит в плоскости формула, то обозначим точку пересечения прямой a и плоскости формула как H1. Таким образом, точка H1 по построению является основанием перпендикуляра, опущенного из точки M1 на плоскость формула.

изображение

Определение.

Проекция точки М1 на плоскость формула - это сама точка М1, если формула, или точка H1, если формула.

Данному определению проекции точки на плоскость эквивалентно следующее определение.

Определение.

Проекция точки на плоскость – это либо сама точка, если она лежит в заданной плоскости, либо основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на заданную плоскость.

На приведенном ниже чертеже точка H1 есть проекция точки М1 на плоскость формула; точка М2 лежит в плоскости формула, поэтому М2 – проекция самой точки М2 на плоскость формула.

изображение

Нахождение координат проекции точки на плоскость – решения примеров.

Пусть в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz, задана точка формула и плоскость формула. Поставим перед собой задачу: определить координаты проекции точки М1 на плоскость формула.

Решение задачи логически следует из определения проекции точки на плоскость.

Обозначим проекцию точки М1 на плоскость формула как H1. По определению проекции точки на плоскость, H1 – это точка пересечения заданной плоскости формула и прямой a, проходящей через точку М1 перпендикулярно к плоскости формула. Таким образом, искомые координаты проекции точки М1 на плоскость формула - это координаты точки пересечения прямой a и плоскости формула.

Следовательно, чтобы найти координаты проекции точки формула на плоскость формула нужно:

Рассмотрим решения примеров.

Пример.

Найдите координаты проекции точки формула на плоскость формула.

Решение.

В условии задачи нам дано общее уравнение плоскости вида формула, так что его составлять не нужно.

Напишем канонические уравнения прямой a, которая проходит через точку М1 перпендикулярно к заданной плоскости. Для этого получим координаты направляющего вектора прямой a. Так как прямая a перпендикулярна к заданной плоскости, то направляющим вектором прямой a является нормальный вектор плоскости формула. То есть, формула - направляющий вектор прямой a. Теперь мы можем написать канонические уравнения прямой в пространстве, которая проходит через точку формула и имеет направляющий вектор формула:
формула.

Чтобы получить требуемые координаты проекции точки на плоскость, осталось определить координаты точки пересечения прямой формула и плоскости формула. Для этого от канонических уравнений прямой переходим к уравнениям двух пересекающихся плоскостей формула, составляем систему уравнений формула и находим ее решение. Используем метод Крамера:
формула

Таким образом, проекция точки формула на плоскость формула имеет координаты формула.

Ответ:

формула.

Пример.

В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве заданы точки формула и формула. Определите координаты проекции точки М1 на плоскость АВС.

Решение.

Напишем сначала уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки формула:
формула

Дальше для нахождения координат проекции точки М1 на плоскость АВС можно действовать как в предыдущем примере.

Но давайте рассмотрим альтернативный подход.

Получим параметрические уравнения прямой a, которая проходит через точку формула и перпендикулярна к плоскости АВС. Нормальный вектор плоскости формула имеет координаты формула, следовательно, вектор формула является направляющим вектором прямой a. Теперь мы можем написать параметрические уравнения прямой в пространстве, так как знаем координаты точки прямой (формула) и координаты ее направляющего вектора (формула):
формула

Осталось определить координаты точки пересечения прямой формула и плоскости формула. Для этого в уравнение плоскости формула подставим формула:
формула.

Теперь по параметрическим уравнениям формула вычислим значения переменных x, y и z при формула:
формула.

Таким образом, проекция точки М1 на плоскость АВС имеет координаты формула.

Ответ:

формула.

В заключении давайте обсудим нахождение координат проекции некоторой точки на координатные плоскости и плоскости, параллельные координатным плоскостям.

Проекциями точки формула на координатные плоскости Oxy, Oxz и Oyz являются точки с координатами формула и формула соответственно. А проекциями точки формула на плоскости формула и формула, которые параллельны координатным плоскостям Oxy, Oxz и Oyz соответственно, являются точки с координатами формула и формула.

Покажем, как были получены эти результаты.

Для примера найдем проекцию точки формула на плоскость формула (остальные случаи аналогичны этому).

Эта плоскость параллельна координатной плоскости Oyz и формула - ее нормальный вектор. Вектор формула является направляющим вектором прямой, перпендикулярной к плоскости Oyz. Тогда параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М1 перпендикулярно к заданной плоскости, имеют вид формула.

Найдем координаты точки пересечения прямой формула и плоскости формула. Для этого сначала подставляем в уравнение формула равенства формула: формула. Теперь вычисляем искомые координаты по параметрическим уравнениям прямой при формула:
формула

Таким образом, проекцией точки формула на плоскость формула является точка с координатами формула, что и требовалось показать.

Пример.

Найдите координаты проекций точки формула на координатную плоскость Oxy и на плоскость формула.

Решение.

Координатной плоскости Oxy соответствует неполное общее уравнение плоскости вида формула, и проекция точки формула на плоскость формула имеет координаты формула.

Уравнение плоскости вида формула можно переписать как формула. Теперь легко записать координаты проекции точки формула на плоскость формула: формула.

Ответ:

формула и формула.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+