Прямая, плоскость, их уравнения

Проекция точки на прямую, координаты проекции точки на прямую.


В этой статье сначала дано определение проекции точки на прямую (на ось) и приведен поясняющий рисунок. Далее разобран способ нахождения координат проекции точки на прямую во введенной прямоугольной системе координат на плоскости и в трехмерном пространстве, показаны решения примеров с подробными пояснениями.


Проекция точки на прямую – определение.

Вообще проецирование некоторой фигуры на прямую является обобщением понятия ортогонального проецирования фигуры на плоскость (смотрите статью проекция точки на плоскость).

Так как все геометрические фигуры состоят из точек, а проекция фигуры представляет собой множество проекций всех точек этой фигуры, то для проецирования фигуры на прямую необходимо уметь проецировать точки этой фигуры на данную прямую.

Так что же называют проекцией точки на прямую?

Определение.

Проекция точки на прямую – это либо сама точка, если она лежит на данной прямой, либо основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на заданную прямую.

На приведенном ниже рисунке точка H1 является проекцией точки M1 на прямую a, а точка M2 есть проекция самой точки М2 на прямую a, так как М2 лежит на прямой a.

изображение

Это определение проекции точки на прямую справедливо как для случая на плоскости, так и для случая в трехмерном пространстве.

На плоскости, чтобы построить проекцию точки М1 на прямую a нужно провести прямую b, которая проходит через точку М1 и перпендикулярна прямой a. Тогда точка пересечения прямых a и b является проекцией точки М1 на прямую a.

изображение

В трехмерном пространстве проекцией точки М1 на прямую a является точка пересечения прямой a и плоскости формула, проходящей через точку М1 перпендикулярно к прямой a.

изображение

Нахождение координат проекции точки на прямую – теория и примеры.


Начнем с нахождения координат проекции точки на прямую, когда проецируемая точка и прямая заданы в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости. После этого покажем, как находятся координаты проекции точки на прямую в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве.

Координаты проекции точки на прямую на плоскости.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная система координат Oxy, задана точка формула, прямая a и требуется определить координаты проекции точки М1 на прямую a.

Решим эту задачу.

Проведем через точку М1 прямую b, перпендикулярную прямой a, и обозначим точку пересечения прямых a и b как H1. Тогда H1 – проекция точки М1 на прямую a.

Из проведенного построения логически следует алгоритм, позволяющий найти координаты проекции точки формула на прямую a:

Разберемся с нахождением координат проекции точки на прямую при решении примера.

Пример.

На плоскости относительно прямоугольной системы координат Oxy заданы точка формула и прямая a, которой соответствует общее уравнение прямой вида формула. Найдите координаты проекции точки М1 на прямую a.

Решение.

Уравнение прямой a нам известно из условия, так что можно переходить ко второму шагу алгоритма.

Получим уравнение прямой b, которая проходит через точку М1 и перпендикулярна прямой a. Для этого нам потребуются координаты направляющего вектора прямой b.Так как прямая b перпендикулярна прямой a, то нормальный вектор прямой a является направляющим вектором прямой b. Очевидно, нормальным вектором прямой формула является вектор с координатами формула, следовательно, направляющим вектором прямой b является вектор формула. Теперь мы можем написать каноническое уравнение прямой b, так как знаем координаты точки формула, через которую она проходит, и координаты ее направляющего вектора: формула.

Осталось найти координаты точки пересечения прямых a и b, которые дадут искомые координаты проекции точки М1 на прямую a. Для этого сначала перейдем от канонических уравнений прямой b к ее общему уравнению: формула. Теперь составим систему уравнений из общих уравнений прямых a и b, после чего найдем ее решение (при необходимости обращайтесь к статье решение систем линейных уравнений):
формула

Таким образом, проекция точки формула на прямую формула имеет координаты формула.

Ответ:

формула.

Пример.

На плоскости в прямоугольной системе координат Oxy заданы три точки формула. Найдите координаты проекции точки М1 на прямую АВ.

Решение.

Для нахождения координат проекции точки М1 на прямую АВ будем действовать по полученному алгоритму.

Напишем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки формула и формула:
формула.

Теперь можно от полученного канонического уравнения прямой АВ перейти к общему уравнению прямой АВ и продолжить решение по аналогии с предыдущим примером. Но давайте рассмотрим другой способ нахождения уравнения прямой b, проходящей через точку М1 перпендикулярно прямой АВ.

Из канонического уравнения прямой АВ получим уравнение прямой с угловым коэффициентом: формула. Угловой коэффициент прямой АВ равен формула, а угловой коэффициент прямой b, которая перпендикулярна прямой АВ, равен формула (смотрите условие перпендикулярности прямых). Тогда уравнение прямой b, проходящей через точку формула и имеющей угловой коэффициент формула, имеет вид формула.

Чтобы определить координаты проекции точки формула на прямую АВ осталось решить систему уравнений формула:
формула

Ответ:

формула.

Давайте еще отдельно остановимся на нахождении координат проекции точки формула на координатные прямые Ox и Oy, а также на прямые, им параллельные.

Очевидно, что проекцией точки формула на координатную прямую Ox, которой соответствует неполное общее уравнение прямой вида формула, является точка с координатами формула. Аналогично, проекция точки формула на координатную прямую Oy имеет координаты формула.

Любая прямая, параллельная оси абсцисс, может быть задана неполным общим уравнением вида формула, а прямая, параллельная оси ординат, - уравнением вида формула. Проекциями точки формула на прямые формула и формула являются точки с координатами формула и формула соответственно.

Пример.

Какие координаты имеют проекции точки формула на координатную прямую Oy и на прямую формула.

Решение.

Проекцией точки формула на прямую Oy является точка с координатами формула.

Перепишем уравнение прямой формула как формула. Теперь хорошо видно, что проекция точки формула на прямую формула имеет координаты формула.

Ответ:

формула и формула.

Координаты проекции точки на прямую в трехмерном пространстве.

Теперь переходим к нахождению координат проекции точки на прямую относительно прямоугольной системы координат Oxyz, введенной в трехмерном пространстве.

Пусть в пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, задана точка формула, прямая a и требуется найти координаты проекции точки М1 на прямую a.

Решим эту задачу.

Построим плоскость формула, которая проходит через точку М1 перпендикулярно к прямой a. Проекцией точки М1 на прямую a является точка пересечения прямой a и плоскости формула. Таким образом, получаем алгоритм, позволяющий найти координаты проекции точки формула на прямую a:

Рассмотрим решение примера.

Пример.

В прямоугольной системе координат Oxyz задана точка формула и прямая a, причем прямую a определяют канонические уравнения прямой в пространстве вида формула. Найдите координаты проекции точки М1 на прямую a.

Решение.

Для определения координат проекции точки М1 на прямую a воспользуемся полученным алгоритмом.

Уравнения прямой a нам сразу известны из условия, так что переходим ко второму шагу.

Получим уравнение плоскости формула, которая перпендикулярна к прямой a и проходит через точку формула. Для этого нам нужно знать координаты нормального вектора плоскости формула. Найдем их. Из канонических уравнений прямой a видны координаты направляющего вектора этой прямой: формула. Направляющий вектор прямой a является нормальным вектором плоскости, которая перпендикулярна к прямой a. То есть, формула - нормальный вектор плоскости формула. Тогда уравнение плоскости формула, проходящей через точку формула и имеющей нормальный вектор формула, имеет вид формула.

Осталось найти координаты точки пересечения прямой a и плоскости формула - они являются искомыми координатами проекции точки формула на прямую a. Покажем два способа их нахождения.

Первый способ.

Из канонических уравнений прямой a получим уравнения двух пересекающихся плоскостей, которые определяют прямую a:
формула

Координаты точки пересечения прямой формула и плоскости формула мы получим, решив систему линейных уравнений вида формула. Применим метод Крамера (если Вам больше нравиться метод Гаусса или какой-нибудь другой метод решения систем линейных уравнений, то применяйте его):
формула

Таким образом, точка с координатами формула является проекцией точки М1 на прямую a.

Второй способ.

Зная канонические уравнения прямой a, легко записать ее параметрические уравнения прямой в пространстве: формула. Подставим в уравнение плоскости формула вида формула вместо x, y и z их выражения через параметр:
формула

Теперь мы можем вычислить искомые координаты точки пересечения прямой a и плоскости формула по параметрическим уравнениям прямой a при формула:
формула.

То есть, проекция точки М1 на прямую a имеет координаты формула.

Ответ:

формула.

В заключении заметим, что проекциями точки формула на координатные прямые Ox, Oy и Oz являются точки с координатами формула и формула соответственно.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
  • Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике.

Профиль автора статьи в Google+