Проекция точки на прямую, координаты проекции точки на прямую.
В этой статье сначала дано определение проекции точки на прямую (на ось) и приведен поясняющий рисунок. Далее разобран способ нахождения координат проекции точки на прямую во введенной прямоугольной системе координат на плоскости и в трехмерном пространстве, показаны решения примеров с подробными пояснениями.
Проекция точки на прямую – определение.
Вообще проецирование некоторой фигуры на прямую является обобщением понятия ортогонального проецирования фигуры на плоскость (смотрите статью проекция точки на плоскость).
Так как все геометрические фигуры состоят из точек, а проекция фигуры представляет собой множество проекций всех точек этой фигуры, то для проецирования фигуры на прямую необходимо уметь проецировать точки этой фигуры на данную прямую.
Так что же называют проекцией точки на прямую?
Определение.
Проекция точки на прямую – это либо сама точка, если она лежит на данной прямой, либо основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на заданную прямую.
На приведенном ниже рисунке точка H1 является проекцией точки M1 на прямую a, а точка M2 есть проекция самой точки М2 на прямую a, так как М2 лежит на прямой a.
Это определение проекции точки на прямую справедливо как для случая на плоскости, так и для случая в трехмерном пространстве.
На плоскости, чтобы построить проекцию точки М1 на прямую a нужно провести прямую b, которая проходит через точку М1 и перпендикулярна прямой a. Тогда точка пересечения прямых a и b является проекцией точки М1 на прямую a.
В трехмерном пространстве проекцией точки М1 на прямую a является точка пересечения прямой a и плоскости 
, проходящей через точку М1 перпендикулярно к прямой a.
Нахождение координат проекции точки на прямую – теория и примеры.
Начнем с нахождения координат проекции точки на прямую, когда проецируемая точка и прямая заданы в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости. После этого покажем, как находятся координаты проекции точки на прямую в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве.
Координаты проекции точки на прямую на плоскости.
Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная система координат Oxy, задана точка 
, прямая a и требуется определить координаты проекции точки М1 на прямую a.
Решим эту задачу.
Проведем через точку М1 прямую b, перпендикулярную прямой a, и обозначим точку пересечения прямых a и b как H1. Тогда H1 – проекция точки М1 на прямую a.
Из проведенного построения логически следует алгоритм, позволяющий найти координаты проекции точки на прямую a:
- составляется уравнение прямой a, если, конечно, оно не дано сразу (это легко сделать, если Вы знаете основные уравнения прямой на плоскости);
-
записывается уравнение прямой b, которая проходит через точку и перпендикулярна прямой a (с этой задачей Вам поможет справиться статья уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой);
- находятся требуемые координаты проекции точки М1 на прямую a как координаты точки пересечения прямых a и b – для этого решается система уравнений, составленная из уравнений прямых a и b.
Разберемся с нахождением координат проекции точки на прямую при решении примера.
Пример.
На плоскости относительно прямоугольной системы координат Oxy заданы точка 
и прямая a, которой соответствует общее уравнение прямой вида 
. Найдите координаты проекции точки М1 на прямую a.
Решение.
Уравнение прямой a нам известно из условия, так что можно переходить ко второму шагу алгоритма.
Получим уравнение прямой b, которая проходит через точку М1 и перпендикулярна прямой a. Для этого нам потребуются координаты направляющего вектора прямой b.Так как прямая b перпендикулярна прямой a, то нормальный вектор прямой a является направляющим вектором прямой b. Очевидно, нормальным вектором прямой является вектор с координатами 
, следовательно, направляющим вектором прямой b является вектор 
. Теперь мы можем написать каноническое уравнение прямой b, так как знаем координаты точки , через которую она проходит, и координаты ее направляющего вектора: 
.
Осталось найти координаты точки пересечения прямых a и b, которые дадут искомые координаты проекции точки М1 на прямую a. Для этого сначала перейдем от канонических уравнений прямой b к ее общему уравнению: 
. Теперь составим систему уравнений из общих уравнений прямых a и b, после чего найдем ее решение (при необходимости обращайтесь к статье решение систем линейных уравнений):
Таким образом, проекция точки на прямую имеет координаты 
.
Ответ:
.
Пример.
На плоскости в прямоугольной системе координат Oxy заданы три точки 
. Найдите координаты проекции точки М1 на прямую АВ.
Решение.
Для нахождения координат проекции точки М1 на прямую АВ будем действовать по полученному алгоритму.
Напишем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки 
и 
:
.
Теперь можно от полученного канонического уравнения прямой АВ перейти к общему уравнению прямой АВ и продолжить решение по аналогии с предыдущим примером. Но давайте рассмотрим другой способ нахождения уравнения прямой b, проходящей через точку М1 перпендикулярно прямой АВ.
Из канонического уравнения прямой АВ получим уравнение прямой с угловым коэффициентом: 
. Угловой коэффициент прямой АВ равен 
, а угловой коэффициент прямой b, которая перпендикулярна прямой АВ, равен 
(смотрите условие перпендикулярности прямых). Тогда уравнение прямой b, проходящей через точку 
и имеющей угловой коэффициент , имеет вид 
.
Чтобы определить координаты проекции точки на прямую АВ осталось решить систему уравнений 
:
Ответ:
.
Давайте еще отдельно остановимся на нахождении координат проекции точки на координатные прямые Ox и Oy, а также на прямые, им параллельные.
Очевидно, что проекцией точки на координатную прямую Ox, которой соответствует неполное общее уравнение прямой вида 
, является точка с координатами 
. Аналогично, проекция точки на координатную прямую Oy имеет координаты 
.
Любая прямая, параллельная оси абсцисс, может быть задана неполным общим уравнением вида 
, а прямая, параллельная оси ординат, - уравнением вида 
. Проекциями точки на прямые 
и 
являются точки с координатами 
и 
соответственно.
Пример.
Какие координаты имеют проекции точки 
на координатную прямую Oy и на прямую 
.
Решение.
Проекцией точки на прямую Oy является точка с координатами 
.
Перепишем уравнение прямой как 
. Теперь хорошо видно, что проекция точки на прямую имеет координаты 
.
Ответ:
и .
Координаты проекции точки на прямую в трехмерном пространстве.
Теперь переходим к нахождению координат проекции точки на прямую относительно прямоугольной системы координат Oxyz, введенной в трехмерном пространстве.
Пусть в пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, задана точка 
, прямая a и требуется найти координаты проекции точки М1 на прямую a.
Решим эту задачу.
Построим плоскость , которая проходит через точку М1 перпендикулярно к прямой a. Проекцией точки М1 на прямую a является точка пересечения прямой a и плоскости . Таким образом, получаем алгоритм, позволяющий найти координаты проекции точки на прямую a:
- записываем уравнения прямой a, если они не заданы в условии задачи (справиться с этой задачей поможет материал статьи уравнения прямой в пространстве);
-
составляем уравнение плоскости , которая проходит через точку М1 перпендикулярно прямой a (об этом написано в статье уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой);
-
находим требуемые координаты проекции точки на прямую a – ими являются координаты точки пересечения прямой a и плоскости (смотрите статью координаты точки пересечения прямой и плоскости).
Рассмотрим решение примера.
Пример.
В прямоугольной системе координат Oxyz задана точка 
и прямая a, причем прямую a определяют канонические уравнения прямой в пространстве вида 
. Найдите координаты проекции точки М1 на прямую a.
Решение.
Для определения координат проекции точки М1 на прямую a воспользуемся полученным алгоритмом.
Уравнения прямой a нам сразу известны из условия, так что переходим ко второму шагу.
Получим уравнение плоскости , которая перпендикулярна к прямой a и проходит через точку . Для этого нам нужно знать координаты нормального вектора плоскости . Найдем их. Из канонических уравнений прямой a видны координаты направляющего вектора этой прямой: 
. Направляющий вектор прямой a является нормальным вектором плоскости, которая перпендикулярна к прямой a. То есть, 
- нормальный вектор плоскости . Тогда уравнение плоскости , проходящей через точку и имеющей нормальный вектор , имеет вид 
.
Осталось найти координаты точки пересечения прямой a и плоскости - они являются искомыми координатами проекции точки на прямую a. Покажем два способа их нахождения.
Первый способ.
Из канонических уравнений прямой a получим уравнения двух пересекающихся плоскостей, которые определяют прямую a:
Координаты точки пересечения прямой 
и плоскости 
мы получим, решив систему линейных уравнений вида 
. Применим метод Крамера (если Вам больше нравиться метод Гаусса или какой-нибудь другой метод решения систем линейных уравнений, то применяйте его):
Таким образом, точка с координатами 
является проекцией точки М1 на прямую a.
Второй способ.
Зная канонические уравнения прямой a, легко записать ее параметрические уравнения прямой в пространстве: 
. Подставим в уравнение плоскости вида вместо x, y и z их выражения через параметр:
Теперь мы можем вычислить искомые координаты точки пересечения прямой a и плоскости по параметрическим уравнениям прямой a при 
:
.
То есть, проекция точки М1 на прямую a имеет координаты .
Ответ:
.
В заключении заметим, что проекциями точки на координатные прямые Ox, Oy и Oz являются точки с координатами 
и 
соответственно.
Список литературы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
- Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике.
Некогда разбираться?