Прямая, плоскость, их уравнения

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.


В этой статье мы поговорим о том, как составляется уравнение плоскости, проходящей через заданную точку трехмерного пространства перпендикулярно к заданной прямой. Сначала разберем принцип нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой, после чего подробно разберем решения характерных примеров и задач.


Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой.

Поставим перед собой следующую задачу.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, задана точка формула, прямая a и требуется написать уравнение плоскости формула, проходящей через точку М1 перпендикулярно к прямой a.

Сначала вспомним один важный факт.

На уроках геометрии в средней школе доказывается теорема: через заданную точку трехмерного пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к данной прямой (доказательство этой теоремы Вы можете найти в учебнике геометрии за 10-11 классы, указанном в списке литературы в конце статьи).

Теперь покажем, как находится уравнение этой единственной плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

Мы можем написать общее уравнение плоскости, если нам известны координаты точки, лежащей в этой плоскости, и координаты нормального вектора плоскости.

В условии задачи нам даны координаты x1, y1, z1 точки М1, через которую проходит плоскость формула. Тогда, если мы найдем координаты нормального вектора плоскости формула, то мы сможем составить требуемое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

Любой направляющий вектор прямой a представляет собой нормальный вектор плоскости формула, так как он ненулевой и лежит на прямой a, перпендикулярной к плоскости формула. Таким образом, нахождение координат нормального вектора плоскости формула сводится к нахождению координат направляющего вектора прямой a.

В свою очередь, координаты направляющего вектора прямой a могут определяться различными способами, зависящими от способа задания прямой a в условии задачи. Например, если прямую a в прямоугольной системе координат задают канонические уравнения прямой в пространстве вида формула или параметрические уравнения прямой в пространстве вида формула, то направляющий вектор этой прямой имеет координаты ax, ay и az; если же прямая a проходит через две точки формула и формула, то координаты ее направляющего вектора определяются как формула.

Итак, получаем алгоритм для нахождения уравнения плоскости формула, проходящей через заданную точку формула перпендикулярно к заданной прямой a:

Из найденного общего уравнения плоскости вида формула можно, при необходимости, получить уравнение плоскости в отрезках и нормальное уравнение плоскости.

Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.


Рассмотрим решения нескольких примеров, в которых находится уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой.

Пример.

Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку формула, и перпендикулярна к координатной прямой Oz.

Решение.

Направляющим вектором координатной прямой Oz, очевидно, является координатный вектор формула. Тогда нормальный вектор плоскости, уравнение которой нам требуется составить, имеет координаты формула. Напишем уравнение плоскости, проходящей через точку формула и имеющей нормальный вектор с координатами формула:
формула.

Покажем второй способ решения этой задачи.

Плоскость, перпендикулярную координатной прямой Oz задает неполное общее уравнением плоскости вида формула. Найдем значения С и D, при которых плоскость проходит через точку формула, подставив координаты этой точки в уравнение формула: формула. Таким образом, числа С и D связаны соотношением формула. Приняв C=1, получаем D=-5. Подставляем найденные C=1 и D=-5 в уравнение формула и получаем искомое уравнение плоскости, перпендикулярной к прямой Oz и проходящей через точку формула. Оно имеет вид формула.

Ответ:

формула.

Пример.

Напишите уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и перпендикулярна прямой формула.

Решение.

Так как плоскость, уравнение которой нам требуется получить, перпендикулярна к прямой формула, то нормальным вектором формула плоскости можно принять направляющий вектор заданной прямой. Тогда формула. Осталось написать уравнение плоскости, проходящей через точку формула и имеющей нормальный вектор формула: формула. Это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к заданной прямой.

Ответ:

формула.

Пример.

В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве заданы две точки формула и формула. Плоскость формула проходит через точку А перпендикулярно прямой АВ. Напишите уравнение плоскости формула в отрезках.

Решение.

Так как плоскость формула перпендикулярна к прямой АВ, то вектор формула является нормальным вектором плоскости формула. Координаты вектора формула равны разности соответствующих координат точек формула и формула: формула (смотрите статью координаты вектора по координатам точек его конца и начала).

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку формула и имеющей нормальный вектор плоскости формула, запишется как формула.

Осталось перейти к требуемому уравнению плоскости в отрезках:
формула.

Ответ:

формула.

В заключении отметим, что существуют задачи, в которых требуется написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной к двум заданным пересекающимся плоскостям. По сути, решение этой задачи сводится к составлению уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой, так как две пересекающиеся плоскости задают прямую линию. В этом случае основную сложность представляет процесс поиска координат нормального вектора плоскости, уравнение которой требуется составить.

Пример.

В прямоугольной системе координат Oxyz задана точка формула и уравнения двух плоскостей формула и формула, пересекающихся по прямой a. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку M1 перпендикулярно к прямой a.

Решение.

Сначала найдем координаты направляющего вектора прямой a. Направляющий вектор прямой a перпендикулярен как нормальному вектору формула плоскости формула, так и нормальному вектору формула плоскости формула. Тогда, направляющим вектором формула прямой a примем векторное произведение векторов формула и формула:
формула

Следовательно, вектор формула является нормальным вектором плоскости, перпендикулярной к прямой a. Напишем уравнение плоскости, проходящей через точку формула и имеющей нормальный вектор формула:
формула.

Это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

Ответ:

формула.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+