Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.
В этой статье мы поговорим о том, как составляется уравнение плоскости, проходящей через заданную точку трехмерного пространства перпендикулярно к заданной прямой. Сначала разберем принцип нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой, после чего подробно разберем решения характерных примеров и задач.
Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой.
Поставим перед собой следующую задачу.
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, задана точка 
, прямая a и требуется написать уравнение плоскости 
, проходящей через точку М1 перпендикулярно к прямой a.
Сначала вспомним один важный факт.
На уроках геометрии в средней школе доказывается теорема: через заданную точку трехмерного пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к данной прямой (доказательство этой теоремы Вы можете найти в учебнике геометрии за 10-11 классы, указанном в списке литературы в конце статьи).
Теперь покажем, как находится уравнение этой единственной плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.
Мы можем написать общее уравнение плоскости, если нам известны координаты точки, лежащей в этой плоскости, и координаты нормального вектора плоскости.
В условии задачи нам даны координаты x1, y1, z1 точки М1, через которую проходит плоскость . Тогда, если мы найдем координаты нормального вектора плоскости , то мы сможем составить требуемое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.
Любой направляющий вектор прямой a представляет собой нормальный вектор плоскости , так как он ненулевой и лежит на прямой a, перпендикулярной к плоскости . Таким образом, нахождение координат нормального вектора плоскости сводится к нахождению координат направляющего вектора прямой a.
В свою очередь, координаты направляющего вектора прямой a могут определяться различными способами, зависящими от способа задания прямой a в условии задачи. Например, если прямую a в прямоугольной системе координат задают канонические уравнения прямой в пространстве вида 
или параметрические уравнения прямой в пространстве вида 
, то направляющий вектор этой прямой имеет координаты ax, ay и az; если же прямая a проходит через две точки 
и 
, то координаты ее направляющего вектора определяются как 
.
Итак, получаем алгоритм для нахождения уравнения плоскости , проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой a:
-
находим координаты направляющего вектора прямой a (
);
-
принимаем координаты направляющего вектора прямой a как соответствующие координаты нормального вектора
плоскости (
, где 
);
-
записываем уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор , в виде
- это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой.
Из найденного общего уравнения плоскости вида можно, при необходимости, получить уравнение плоскости в отрезках и нормальное уравнение плоскости.
Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.
Рассмотрим решения нескольких примеров, в которых находится уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой.
Пример.
Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку 
, и перпендикулярна к координатной прямой Oz.
Решение.
Направляющим вектором координатной прямой Oz, очевидно, является координатный вектор 
. Тогда нормальный вектор плоскости, уравнение которой нам требуется составить, имеет координаты 
. Напишем уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор с координатами :
.
Покажем второй способ решения этой задачи.
Плоскость, перпендикулярную координатной прямой Oz задает неполное общее уравнением плоскости вида 
. Найдем значения С и D, при которых плоскость проходит через точку , подставив координаты этой точки в уравнение 
: 
. Таким образом, числа С и D связаны соотношением 
. Приняв C=1, получаем D=-5. Подставляем найденные C=1 и D=-5 в уравнение и получаем искомое уравнение плоскости, перпендикулярной к прямой Oz и проходящей через точку . Оно имеет вид 
.
Ответ:
.
Пример.
Напишите уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и перпендикулярна прямой 
.
Решение.
Так как плоскость, уравнение которой нам требуется получить, перпендикулярна к прямой , то нормальным вектором плоскости можно принять направляющий вектор заданной прямой. Тогда 
. Осталось написать уравнение плоскости, проходящей через точку 
и имеющей нормальный вектор : 
. Это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к заданной прямой.
Ответ:
.
Пример.
В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве заданы две точки 
и 
. Плоскость проходит через точку А перпендикулярно прямой АВ. Напишите уравнение плоскости в отрезках.
Решение.
Так как плоскость перпендикулярна к прямой АВ, то вектор 
является нормальным вектором плоскости . Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек и : 
(смотрите статью координаты вектора по координатам точек его конца и начала).
Общее уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор плоскости 
, запишется как 
.
Осталось перейти к требуемому уравнению плоскости в отрезках:
.
Ответ:
.
В заключении отметим, что существуют задачи, в которых требуется написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной к двум заданным пересекающимся плоскостям. По сути, решение этой задачи сводится к составлению уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой, так как две пересекающиеся плоскости задают прямую линию. В этом случае основную сложность представляет процесс поиска координат нормального вектора плоскости, уравнение которой требуется составить.
Пример.
В прямоугольной системе координат Oxyz задана точка 
и уравнения двух плоскостей 
и 
, пересекающихся по прямой a. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку M1 перпендикулярно к прямой a.
Решение.
Сначала найдем координаты направляющего вектора прямой a. Направляющий вектор прямой a перпендикулярен как нормальному вектору 
плоскости , так и нормальному вектору 
плоскости . Тогда, направляющим вектором 
прямой a примем векторное произведение векторов 
и 
:
Следовательно, вектор 
является нормальным вектором плоскости, перпендикулярной к прямой a. Напишем уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор :
.
Это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.
Ответ:
.
Список литературы.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
- Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Некогда разбираться?