Прямая, плоскость, их уравнения

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум заданным пересекающимся плоскостям.


В этой статье содержится ответ на вопрос: «Как написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум заданным плоскостям»? Сначала приведены необходимые теоретические сведения, а также рассуждения, помогающие составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум пересекающимся плоскостям. После этого разобраны решения характерных примеров и задач.


Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к двум заданным плоскостям.

Начнем с постановки задачи.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, задана точка формула и две пересекающиеся плоскости формула и формула. Требуется написать уравнение плоскости формула, проходящей через точку М1 перпендикулярно к плоскостям формула и формула.

Заметим, что плоскость формула, уравнение которой нам требуется составить, перпендикулярна к прямой, по которой пересекаются плоскости формула и формула. Действительно, из признака перпендикулярности двух плоскостей следует, что плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей. Более того, существует только одна плоскость, проходящая через заданную точку пространства перпендикулярно двум пересекающимся плоскостям, так как существует только одна плоскость, проходящая через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

Теперь приступим именно к решению поставленной задачи.

Из условия нам известны координаты точки формула, через которую проходит плоскость формула. Если мы найдем координаты нормального вектора плоскости формула, то сможем записать общее уравнение плоскости, проходящей через заданную точку с заданным нормальным вектором, в виде формула, где формула - нормальный вектор плоскости формула.

Итак, наша задача сводится к нахождению координат нормального вектора плоскости формула. В свою очередь нормальный вектор плоскости формула есть направляющий вектор прямой, по которой пересекаются две заданные плоскости формула и формула, так как плоскость формула перпендикулярна к пересекающимся плоскостям формула и формула. В частности, если плоскости формула и формула заданы общими уравнениями плоскостей вида формула и формула соответственно, то направляющим вектором прямой, по которой пересекаются плоскости формула и формула, является векторное произведение векторов формула и формула (об этом написано в разделе координаты направляющего вектора прямой, по которой пересекаются две заданные плоскости).

Подведем итог.

Чтобы написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку формула перпендикулярно к двум пересекающимся плоскостям формула и формула, нужно

Чтобы все стало понятно, предлагаем перейти к следующему пункту и ознакомиться с подробным решением примеров, в которых находится уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к двум заданным пересекающимся плоскостям.

Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум заданным плоскостям.


Начнем с задачи на нахождение уравнения плоскости, перпендикулярной к двум координатным плоскостям.

Пример.

Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку формула и перпендикулярной к двум координатным плоскостям Oxy и Oxz.

Решение.

Очевидно, координатные плоскости Oxy и Oxz пересекаются по координатной прямой Ox. Направляющим вектором прямой Ox является координатный вектор формула. Этот вектор есть нормальный вектор плоскости, уравнение которой нам требуется составить. Осталось записать уравнение плоскости, проходящей через точку формула и имеющей нормальный вектор формула. Оно имеет вид формула. Это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через точку формула перпендикулярно к двум заданным пересекающимся плоскостям Oxy и Oxz.

Ответ:

формула.

Многие задачи, в которых требуется составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум заданным плоскостям, по сути являются задачами на нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку плоскости перпендикулярно к заданной прямой.

Пример.

В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве заданы три точки формула. Известно, что плоскости формула и формула пересекаются по прямой АВ. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку формула перпендикулярно плоскостям формула и формула.

Решение.

Направляющим вектором прямой АВ, по которой пересекаются плоскости формула и формула, является вектор формула. Вычислим его координаты по координатам точек А и В (смотрите статью вычисление координат вектора по координатам точек): формула. Вектор формула является нормальным вектором плоскости, уравнение которой нам нужно составить. Теперь мы можем написать уравнение плоскости, которая проходит через точку формула и имеет нормальный вектор формула. Оно запишется как формула. Это есть уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно двум заданным плоскостям.

Ответ:

формула.

В заключении рассмотрим решение задачи, когда пересекающиеся плоскости заданы уравнениями плоскостей некоторого вида.

Пример.

В прямоугольной системе координат Oxyz заданы две пересекающиеся плоскости формула и формула. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку формула и перпендикулярна обеим заданным плоскостям.

Решение.

Очевидно, нормальным вектором плоскости формула является вектор формула. Если переписать заданное уравнение плоскости в отрезках формула в виде формула, то видны координаты ее нормального вектора: формула. Направляющим вектором прямой, по которой пересекаются заданные плоскости, является векторное произведение векторов формула и формула:
формула

Тогда нормальный вектор плоскости, уравнение которой нам нужно написать, имеет координаты формула. Осталось написать уравнение плоскости, проходящей через точку формула и имеющей нормальный вектор с координатами формула: формула.

Ответ:

формула - уравнение плоскости, проходящей через точку формула перпендикулярно двум пересекающимся плоскостям формула и формула.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+