Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум заданным пересекающимся плоскостям.
В этой статье содержится ответ на вопрос: «Как написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум заданным плоскостям»? Сначала приведены необходимые теоретические сведения, а также рассуждения, помогающие составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум пересекающимся плоскостям. После этого разобраны решения характерных примеров и задач.
Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к двум заданным плоскостям.
Начнем с постановки задачи.
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, задана точка 
и две пересекающиеся плоскости 
и 
. Требуется написать уравнение плоскости 
, проходящей через точку М1 перпендикулярно к плоскостям и .
Заметим, что плоскость , уравнение которой нам требуется составить, перпендикулярна к прямой, по которой пересекаются плоскости и . Действительно, из признака перпендикулярности двух плоскостей следует, что плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей. Более того, существует только одна плоскость, проходящая через заданную точку пространства перпендикулярно двум пересекающимся плоскостям, так как существует только одна плоскость, проходящая через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.
Теперь приступим именно к решению поставленной задачи.
Из условия нам известны координаты точки , через которую проходит плоскость . Если мы найдем координаты нормального вектора плоскости , то сможем записать общее уравнение плоскости, проходящей через заданную точку с заданным нормальным вектором, в виде 
, где 
- нормальный вектор плоскости .
Итак, наша задача сводится к нахождению координат нормального вектора плоскости . В свою очередь нормальный вектор плоскости есть направляющий вектор прямой, по которой пересекаются две заданные плоскости и , так как плоскость перпендикулярна к пересекающимся плоскостям и . В частности, если плоскости и заданы общими уравнениями плоскостей вида 
и 
соответственно, то направляющим вектором прямой, по которой пересекаются плоскости и , является векторное произведение векторов 
и 
(об этом написано в разделе координаты направляющего вектора прямой, по которой пересекаются две заданные плоскости).
Подведем итог.
Чтобы написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум пересекающимся плоскостям и , нужно
-
найти координаты направляющего вектора прямой, по которой пересекаются заданные плоскости и ;
- принять эти координаты за соответствующие координаты А, В и С нормального вектора плоскости, уравнение которой мы ищем;
-
написать уравнение плоскости вида - это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум пересекающимся плоскостям и .
Чтобы все стало понятно, предлагаем перейти к следующему пункту и ознакомиться с подробным решением примеров, в которых находится уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к двум заданным пересекающимся плоскостям.
Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум заданным плоскостям.
Начнем с задачи на нахождение уравнения плоскости, перпендикулярной к двум координатным плоскостям.
Пример.
Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку 
и перпендикулярной к двум координатным плоскостям Oxy и Oxz.
Решение.
Очевидно, координатные плоскости Oxy и Oxz пересекаются по координатной прямой Ox. Направляющим вектором прямой Ox является координатный вектор 
. Этот вектор есть нормальный вектор плоскости, уравнение которой нам требуется составить. Осталось записать уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор . Оно имеет вид 
. Это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к двум заданным пересекающимся плоскостям Oxy и Oxz.
Ответ:
.
Многие задачи, в которых требуется составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум заданным плоскостям, по сути являются задачами на нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку плоскости перпендикулярно к заданной прямой.
Пример.
В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве заданы три точки 
. Известно, что плоскости и пересекаются по прямой АВ. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку 
перпендикулярно плоскостям и .
Решение.
Направляющим вектором прямой АВ, по которой пересекаются плоскости и , является вектор 
. Вычислим его координаты по координатам точек А и В (смотрите статью вычисление координат вектора по координатам точек): 
. Вектор является нормальным вектором плоскости, уравнение которой нам нужно составить. Теперь мы можем написать уравнение плоскости, которая проходит через точку и имеет нормальный вектор . Оно запишется как 
. Это есть уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно двум заданным плоскостям.
Ответ:
.
В заключении рассмотрим решение задачи, когда пересекающиеся плоскости заданы уравнениями плоскостей некоторого вида.
Пример.
В прямоугольной системе координат Oxyz заданы две пересекающиеся плоскости 
и 
. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку 
и перпендикулярна обеим заданным плоскостям.
Решение.
Очевидно, нормальным вектором плоскости является вектор 
. Если переписать заданное уравнение плоскости в отрезках в виде 
, то видны координаты ее нормального вектора: 
. Направляющим вектором прямой, по которой пересекаются заданные плоскости, является векторное произведение векторов и :
Тогда нормальный вектор плоскости, уравнение которой нам нужно написать, имеет координаты 
. Осталось написать уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор с координатами : 
.
Ответ:
- уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно двум пересекающимся плоскостям и .
Список литературы.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
- Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Некогда разбираться?