Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости.
В этой статье детально разобран процесс нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку трехмерного пространства параллельно заданной плоскости. После изложения необходимых теоретических основ приведены подробные решения характерных задач, в которых находится уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной плоскости.
Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной плоскости.
Задача нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной плоскости, возникает из следующей теоремы: через любую точку пространства, не лежащую в данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной. Доказательство этой теоремы можно найти в учебнике геометрии для 10-11 классов, указанном в конце статьи.
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, в ней задана плоскость 
и точка 
, не лежащая в плоскости . Поставим перед собой задачу: написать уравнение плоскости 
, проходящей через точку параллельно плоскости .
Решим ее.
Нам известно, что общее уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор плоскости 
, имеет вид 
. Таким образом, мы сможем записать требуемое уравнение плоскости , если определим координаты ее нормального вектора.
При изучении темы «нормальный вектор плоскости» мы отметили, что нормальный вектор одной из двух параллельных плоскостей является нормальным вектором второй плоскости. Следовательно, в силу параллельности плоскостей и , нормальным вектором плоскости является любой нормальный вектор заданной плоскости . Таким образом, задача составления уравнения плоскости , проходящей через заданную точку М1 параллельно заданной плоскости , сводится к определению координат нормального вектора плоскости . В свою очередь координаты нормального вектора плоскости проще всего получить, если иметь перед глазами общее уравнение плоскости вида 
. В этом случае коэффициенты A, B, C перед переменными x, y, z являются соответствующими координатами нормального вектора плоскости .
Итак, запишем алгоритм нахождения уравнения плоскости , проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости :
-
получаем общее уравнение плоскости в виде (если оно нам уже не дано в условии) и записываем ее нормальный вектор
;
-
принимаем этот вектор в качестве нормального вектора плоскости ;
-
записываем уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор , в виде - это и есть искомое уравнение плоскости , проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости.
Следует заметить, что если точка М1 лежит в плоскости , то, действуя по записанному алгоритму, мы получим уравнение плоскости , которая совпадает с плоскостью .
Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости.
Разберем решения нескольких примеров, в которых требуется составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной плоскости.
Начнем с самого простого случая, когда координаты нормального вектора плоскости очень легко находятся.
Пример.
Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку 
и параллельна координатной плоскости Oxy.
Решение.
Очевидно, нормальным вектором плоскости Oxy является координатный вектор 
. Этот же вектор является нормальным вектором плоскости, уравнение которой нам требуется составить. Тогда записываем уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор : 
.
Это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно координатной плоскости Oxy.
Ответ:
.
Теперь рассмотрим случай, когда плоскость задана общим уравнением плоскости.
Пример.
Составьте уравнение плоскости, если она проходит через точку 
и параллельна плоскости 
.
Решение.
Очевидно, вектор 
есть нормальный вектор плоскости . Так как плоскость, уравнение которой мы ищем, параллельна плоскости , то ее нормальным вектором является 
. Уравнение плоскости, которая проходит через точку и имеет нормальный вектор , имеет вид 
. Это искомое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости.
Ответ:
.
Итак, основную сложность при нахождении уравнения плоскости , проходящей через заданную точку М1 параллельно заданной плоскости , представляет нахождение координат нормального вектора плоскости . В заключении рассмотрим решение задачи, когда плоскость задана тремя точками.
Пример.
Напишите уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и параллельна плоскости АВС, если 
.
Решение.
Чтобы определить координаты нормального вектора плоскости АВС, получим общее уравнение плоскости АВС. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , имеет вид:
Таким образом, нормальный вектор плоскости АВС имеет координаты (2,2,-3). Осталось написать уравнение плоскости, проходящей через точку O(0,0,0) и имеющей нормальный вектор с координатами (2,2,-3). Оно имеет вид 
. Это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через начало координат параллельно плоскости АВС.
Ответ:
.
Список литературы.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
- Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Некогда разбираться?