Прямая, плоскость, их уравнения

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости.


В этой статье детально разобран процесс нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку трехмерного пространства параллельно заданной плоскости. После изложения необходимых теоретических основ приведены подробные решения характерных задач, в которых находится уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной плоскости.


Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной плоскости.

Задача нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной плоскости, возникает из следующей теоремы: через любую точку пространства, не лежащую в данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной. Доказательство этой теоремы можно найти в учебнике геометрии для 10-11 классов, указанном в конце статьи.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, в ней задана плоскость формула и точка формула, не лежащая в плоскости формула. Поставим перед собой задачу: написать уравнение плоскости формула, проходящей через точку формула параллельно плоскости формула.

Решим ее.

Нам известно, что общее уравнение плоскости, проходящей через точку формула и имеющей нормальный вектор плоскости формула, имеет вид формула. Таким образом, мы сможем записать требуемое уравнение плоскости формула, если определим координаты ее нормального вектора.

При изучении темы «нормальный вектор плоскости» мы отметили, что нормальный вектор одной из двух параллельных плоскостей является нормальным вектором второй плоскости. Следовательно, в силу параллельности плоскостей формула и формула, нормальным вектором плоскости формула является любой нормальный вектор заданной плоскости формула. Таким образом, задача составления уравнения плоскости формула, проходящей через заданную точку М1 параллельно заданной плоскости формула, сводится к определению координат нормального вектора плоскости формула. В свою очередь координаты нормального вектора плоскости формула проще всего получить, если иметь перед глазами общее уравнение плоскости формула вида формула. В этом случае коэффициенты A, B, C перед переменными x, y, z являются соответствующими координатами нормального вектора плоскости формула.

Итак, запишем алгоритм нахождения уравнения плоскости формула, проходящей через заданную точку формула параллельно заданной плоскости формула:

Следует заметить, что если точка М1 лежит в плоскости формула, то, действуя по записанному алгоритму, мы получим уравнение плоскости формула, которая совпадает с плоскостью формула.

Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости.


Разберем решения нескольких примеров, в которых требуется составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной плоскости.

Начнем с самого простого случая, когда координаты нормального вектора плоскости очень легко находятся.

Пример.

Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку формула и параллельна координатной плоскости Oxy.

Решение.

Очевидно, нормальным вектором плоскости Oxy является координатный вектор формула. Этот же вектор является нормальным вектором плоскости, уравнение которой нам требуется составить. Тогда записываем уравнение плоскости, проходящей через точку формула и имеющей нормальный вектор формула: формула.

Это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через точку формула параллельно координатной плоскости Oxy.

Ответ:

формула.

Теперь рассмотрим случай, когда плоскость формула задана общим уравнением плоскости.

Пример.

Составьте уравнение плоскости, если она проходит через точку формула и параллельна плоскости формула.

Решение.

Очевидно, вектор формула есть нормальный вектор плоскости формула. Так как плоскость, уравнение которой мы ищем, параллельна плоскости формула, то ее нормальным вектором является формула. Уравнение плоскости, которая проходит через точку формула и имеет нормальный вектор формула, имеет вид формула. Это искомое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости.

Ответ:

формула.

Итак, основную сложность при нахождении уравнения плоскости формула, проходящей через заданную точку М1 параллельно заданной плоскости формула, представляет нахождение координат нормального вектора плоскости формула. В заключении рассмотрим решение задачи, когда плоскость формула задана тремя точками.

Пример.

Напишите уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и параллельна плоскости АВС, если формула.

Решение.

Чтобы определить координаты нормального вектора плоскости АВС, получим общее уравнение плоскости АВС. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки формула, имеет вид:
формула

Таким образом, нормальный вектор плоскости АВС имеет координаты (2,2,-3). Осталось написать уравнение плоскости, проходящей через точку O(0,0,0) и имеющей нормальный вектор с координатами (2,2,-3). Оно имеет вид формула. Это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через начало координат параллельно плоскости АВС.

Ответ:

формула.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+