Перпендикулярные плоскости, условие перпендикулярности плоскостей.
Эта статья о перпендикулярных плоскостях. Сначала дано определение перпендикулярных плоскостей, показаны обозначения и приведены примеры. После этого сформулирован признак перпендикулярности плоскостей и условие перпендикулярности двух плоскостей. В заключении детально разобраны решения характерных задач.
Перпендикулярные плоскости – основные сведения.
Определение перпендикулярных плоскостей дается через угол между пересекающимися плоскостями.
Определение.
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен девяноста градусам.
Для обозначения перпендикулярности используют символ вида «
». То есть, если плоскости 
и 
перпендикулярны, то можно кратко записать 
.
Если плоскости и 
перпендикулярны, то можно также сказать, что плоскость перпендикулярна к плоскости или плоскость перпендикулярна к плоскости . Поэтому перпендикулярные плоскости и часто называют взаимно перпендикулярными.
В качестве примера перпендикулярных плоскостей можно привести плоскости стены и пола в комнате.
Перпендикулярность плоскостей – признак и условие перпендикулярности.
На практике часто приходится определять, перпендикулярны ли две заданные плоскости. Для этого можно найти угол между заданными плоскостями, и если он будет равен 
, то по определению плоскости будут перпендикулярными.
Также существует признак перпендикулярности двух плоскостей, который часто используется для доказательства перпендикулярности двух плоскостей. В его формулировке участвуют перпендикулярные прямая и плоскость. Сформулируем признак перпендикулярности двух плоскостей в виде теоремы.
Теорема.
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то заданные плоскости перпендикулярны.
Доказательство признака перпендикулярности двух плоскостей Вы можете посмотреть в учебнике по геометрии за 10-11 классы.
Из этого признака напрямую следует, что если плоскость перпендикулярна к линии пересечения двух заданных плоскостей, то она перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.
Теперь рассмотрим необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей, которое удобно применять для проверки перпендикулярности плоскостей, заданных в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве. Определение нормального вектора плоскости позволяет доказать следующее необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей.
Теорема.
Для перпендикулярности двух пересекающихся плоскостей необходимо и достаточно, чтобы нормальные векторы этих плоскостей были перпендикулярны.
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат. Если 
и 
- нормальные векторы плоскостей и соответственно, то необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов 
и 
имеет вид 
. Таким образом, если и - нормальные векторы плоскостей и соответственно, то для перпендикулярности плоскостей и необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение векторов и равнялось нулю, то есть, чтобы выполнялось равенство .
Разберем решения нескольких примеров.
Пример.
Перпендикулярны ли плоскости, заданные в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнениями 
и 
?
Решение.
Чтобы ответить на вопрос о перпендикулярности заданных плоскостей, найдем координаты нормальных векторов этих плоскостей и проверим выполнение условия перпендикулярности этих векторв.
Общее уравнение плоскости позволяет сразу записать координаты нормального вектора: 
.
Чтобы определить координаты нормального вектора плоскости 
, перейдем от уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости: 
. Таким образом, 
- нормальный вектор плоскости .
Вычислим скалярное произведение векторов и : 
. Так как оно отлично от нуля, то векторы и не перпендикулярны, следовательно, заданные плоскости не перпендикулярны.
Ответ:
нет, плоскости не перпендикулярны.
Пример.
В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве заданы координаты четырех точек 
. Проверьте перпендикулярность плоскостей АВС и ABD.
Решение.
Убедимся, что скалярное произведение нормальных векторов указанных плоскостей равно нулю – это будет доказательством перпендикулярности плоскостей. Для этого сначала нам нужно найти координаты нормальных векторов и плоскостей АВС и ABD соответственно.
По известным координатам точек А, В, С и D мы можем вычислить координаты векторов 
, 
и 
(при необходимости смотрите статью вычисление координат вектора по координатам точек его конца и начала): 
.
Нормальным вектором плоскости АВС является векторное произведение векторов и , а нормальным вектором плоскости ABD является векторное произведение векторов и , то есть,
Находим скалярное произведение векторов 
и 
: 
. Оно равно нулю, что указывает на перпендикулярность нормальных векторов плоскостей АВС и ABD. Значит, плоскости АВС и ABD также перпендикулярны.
Заметим, что можно было по координатам заданных точек получить общие уравнения плоскостей АВС и ABD (смотрите статью уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки), из них найти координаты нормальных векторов этих плоскостей, после чего проверить выполнение условия перпендикулярности нормальных векторов плоскостей.
Список литературы.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
- Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Некогда разбираться?