Перпендикулярные прямые, условие перпендикулярности прямых.
В этой статье подробно рассмотрим перпендикулярные прямые на плоскости и в трехмерном пространстве. Начнем с определения перпендикулярных прямых, покажем обозначения и приведем примеры. После этого приведем необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых и детально разберем решения характерных задач.
Перпендикулярные прямые – основные сведения.
Угол между пересекающимися прямыми на плоскости и в трехмерном пространстве может быть равен девяноста градусам. В этом случае говорят, что прямые пересекаются под прямым углом, а прямые называют перпендикулярными. Если угол между скрещивающимися прямыми в трехмерном пространстве равен 
, то скрещивающиеся прямые также называют перпендикулярными. Таким образом, перпендикулярные прямые на плоскости являются пересекающимися, перпендикулярные прямые в пространстве могут быть как пересекающимися, так и скрещивающимися.
Отметим, что фразы «прямые a и b перпендикулярны» и «прямые b и a перпендикулярны» равноправны. Поэтому можно слышать, что перпендикулярные прямые называют взаимно перпендикулярными.
Учитывая все сказанное, дадим общее определение перпендикулярных прямых.
Определение.
Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен .
Для обозначения перпендикулярных прямых используют знак перпендикулярности вида «
». То есть, если прямые a и b перпендикулярны, то кратко записывают 
. На чертежах угол между перпендикулярными прямыми отмечают значком прямого угла вида «
».
В качестве примера перпендикулярных прямых на плоскости можно привести прямые, на которых лежат стороны квадрата с общей вершиной. В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве координатные прямые Ox и Oz, Ox и Oy, Oy и Oz перпендикулярны.
Перпендикулярность прямых - условия перпендикулярности.
Перпендикулярные прямые фигурируют чуть ли не в каждой геометрической задаче. Иногда перпендикулярность прямых известна из условия, а в других случаях перпендикулярность прямых приходится доказывать. Для доказательства перпендикулярности двух прямых достаточно показать, используя любые геометрические методы, что угол между прямыми равен девяноста градусам.
А как ответить на вопрос «перпендикулярны ли прямые», если известны уравнения, задающие эти прямые в прямоугольной системе координат на плоскости или в трехмерном пространстве?
Для этого следует воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух прямых. Сформулируем его в виде теоремы.
Теорема.
Для перпендикулярности прямых a и b необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой a был перпендикулярен направляющему вектору прямой b.
Доказательство этого условия перпендикулярности прямых основано на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярных прямых.
Добавим конкретики.
Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Oxy и заданы уравнения прямой на плоскости некоторого вида, определяющие прямые a и b. Обозначим направляющие векторы прямых а и b как 
и 
соответственно. По уравнениям прямых a и b можно определить координаты направляющих векторов этих прямых – получаем 
и 
. Тогда, для перпендикулярности прямых a и b необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие перпендикулярности векторов и , то есть, чтобы скалярное произведение векторов и равнялось нулю: 
.
Итак, необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости имеет вид , где и - направляющие векторы прямых a и b соответственно.
Это условие удобно использовать, когда легко находятся координаты направляющих векторов прямых, а также когда прямым a и b соответствуют канонические уравнения прямой на плоскости или параметрические уравнения прямой на плоскости.
Пример.
В прямоугольной системе координат Oxy заданы три точки 
. Перпендикулярны ли прямые АВ и АС?
Решение.
Векторы 
и 
являются направляющими векторами прямых АВ и АС. Обратившись к статье координаты вектора по координатам точек его начала и конца, вычисляем 
. Векторы и перпендикулярны, так как 
. Таким образом, выполняется необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых АВ и АС. Следовательно, прямые АВ и АС перпендикулярны.
Ответ:
да, прямые перпендикулярны.
Пример.
Являются ли прямые 
и 
перпендикулярными?
Решение.
- направляющий вектор прямой 
, а 
- направляющий вектор прямой . Вычислим скалярное произведение векторов и : 
. Оно отлично от нуля, следовательно, направляющие векторы прямых не перпендикулярны. То есть, не выполняется условие перпендикулярности прямых, поэтому, исходные прямые не перпендикулярны.
Ответ:
нет, прямые не перпендикулярны.
Аналогично, необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве имеет вид 
, где 
и 
- направляющие векторы прямых a и b соответственно.
Пример.
Перпендикулярны ли прямые, заданные в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнениями 
и 
?
Решение.
Числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой в пространстве, являются соответствующими координатами направляющего вектора прямой. А координатами направляющего вектора прямой, которая задана параметрическими уравнениями прямой в пространстве, являются коэффициенты при параметре. Таким образом, 
и 
- направляющие векторы заданных прямых. Выясним, перпендикулярны ли они: 
. Так как скалярное произведение равно нулю, то эти векторы перпендикулярны. Значит, выполняется условие перпендикулярности заданных прямых.
Ответ:
прямые перпендикулярны.
Для проверки перпендикулярности двух прямых на плоскости существуют другие необходимые и достаточные условия перпендикулярности.
Теорема.
Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимо и достаточно, чтобы нормальный вектор прямой a был перпендикулярен нормальному вектору прямой b.
Озвученное условие перпендикулярности прямых удобно использовать, если по заданным уравнениям прямых легко находятся координаты нормальных векторов прямых. Этому утверждению отвечает общее уравнение прямой вида 
, уравнение прямой в отрезках 
и уравнение прямой с угловым коэффициентом 
.
Пример.
Убедитесь, что прямые 
и 
перпендикулярны.
Решение.
По заданным уравнениям прямых легко найти координаты нормальных векторов этих прямых. 
– нормальный вектор прямой . Перепишем уравнение в виде 
, откуда видны координаты нормального вектора этой прямой: 
.
Векторы и перпендикулярны, так как их скалярное произведение равно нулю: 
. Таким образом, выполняется необходимое и достаточное условие перпендикулярности заданных прямых, то есть, они действительно перпендикулярны.
В частности, если прямую a на плоскости определяет уравнение прямой с угловым коэффициентом вида 
, а прямую b – вида 
, то нормальные векторы этих прямых имеют координаты 
и 
соответственно, а условие перпендикулярности этих прямых сводится к следующему соотношению между угловыми коэффициентами 
.
Пример.
Перпендикулярны ли прямые 
и 
?
Решение.
Угловой коэффициент прямой равен 
, а угловой коэффициент прямой 
равен 
. Произведение угловых коэффициентов равно минус единице 
, следовательно, прямые перпендикулярны.
Ответ:
заданные прямые перпендикулярны.
Можно озвучить еще одно условие перпендикулярности прямых на плоскости.
Теорема.
Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор одной прямой и нормальный вектор второй прямой были коллинеарны.
Этим условием, очевидно, удобно пользоваться, когда легко находятся координаты направляющего вектора одной прямой и координаты нормального вектора второй прямой, то есть, когда одна прямая задана каноническим уравнением или параметрическими уравнениями прямой на плоскости, а вторая – или общим уравнением прямой, или уравнением прямой в отрезках, или уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Пример.
Являются ли прямые 
и 
перпендикулярными?
Решение.
Очевидно, 
- нормальный вектор прямой , а 
- направляющий вектор прямой . Векторы и не коллинеарны, так как для них не выполняется условие коллинеарности двух векторов (не существует такого действительного числа t, при котором 
). Следовательно, заданные прямые не перпендикулярны.
Ответ:
прямые не перпендикулярны.
Список литературы.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
- Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Некогда разбираться?