Прямая, плоскость, их уравнения

Перпендикулярные прямые, условие перпендикулярности прямых.


В этой статье подробно рассмотрим перпендикулярные прямые на плоскости и в трехмерном пространстве. Начнем с определения перпендикулярных прямых, покажем обозначения и приведем примеры. После этого приведем необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых и детально разберем решения характерных задач.


Перпендикулярные прямые – основные сведения.

Угол между пересекающимися прямыми на плоскости и в трехмерном пространстве может быть равен девяноста градусам. В этом случае говорят, что прямые пересекаются под прямым углом, а прямые называют перпендикулярными. Если угол между скрещивающимися прямыми в трехмерном пространстве равен формула, то скрещивающиеся прямые также называют перпендикулярными. Таким образом, перпендикулярные прямые на плоскости являются пересекающимися, перпендикулярные прямые в пространстве могут быть как пересекающимися, так и скрещивающимися.

Отметим, что фразы «прямые a и b перпендикулярны» и «прямые b и a перпендикулярны» равноправны. Поэтому можно слышать, что перпендикулярные прямые называют взаимно перпендикулярными.

Учитывая все сказанное, дадим общее определение перпендикулярных прямых.

Определение.

Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен формула.

Для обозначения перпендикулярных прямых используют знак перпендикулярности вида «значок перпендикулярности». То есть, если прямые a и b перпендикулярны, то кратко записывают формула. На чертежах угол между перпендикулярными прямыми отмечают значком прямого угла вида «формула».

изображение

В качестве примера перпендикулярных прямых на плоскости можно привести прямые, на которых лежат стороны квадрата с общей вершиной. В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве координатные прямые Ox и Oz, Ox и Oy, Oy и Oz перпендикулярны.

Перпендикулярность прямых - условия перпендикулярности.


Перпендикулярные прямые фигурируют чуть ли не в каждой геометрической задаче. Иногда перпендикулярность прямых известна из условия, а в других случаях перпендикулярность прямых приходится доказывать. Для доказательства перпендикулярности двух прямых достаточно показать, используя любые геометрические методы, что угол между прямыми равен девяноста градусам.

А как ответить на вопрос «перпендикулярны ли прямые», если известны уравнения, задающие эти прямые в прямоугольной системе координат на плоскости или в трехмерном пространстве?

Для этого следует воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух прямых. Сформулируем его в виде теоремы.

Теорема.

Для перпендикулярности прямых a и b необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой a был перпендикулярен направляющему вектору прямой b.

Доказательство этого условия перпендикулярности прямых основано на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярных прямых.

Добавим конкретики.

Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Oxy и заданы уравнения прямой на плоскости некоторого вида, определяющие прямые a и b. Обозначим направляющие векторы прямых а и b как формула и формула соответственно. По уравнениям прямых a и b можно определить координаты направляющих векторов этих прямых – получаем формула и формула. Тогда, для перпендикулярности прямых a и b необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие перпендикулярности векторов формула и формула, то есть, чтобы скалярное произведение векторов формула и формула равнялось нулю: формула.

Итак, необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости имеет вид формула, где формула и формула - направляющие векторы прямых a и b соответственно.

Это условие удобно использовать, когда легко находятся координаты направляющих векторов прямых, а также когда прямым a и b соответствуют канонические уравнения прямой на плоскости или параметрические уравнения прямой на плоскости.

Пример.

В прямоугольной системе координат Oxy заданы три точки формула. Перпендикулярны ли прямые АВ и АС?

Решение.

Векторы формула и формула являются направляющими векторами прямых АВ и АС. Обратившись к статье координаты вектора по координатам точек его начала и конца, вычисляем формула. Векторы формула и формула перпендикулярны, так как формула. Таким образом, выполняется необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых АВ и АС. Следовательно, прямые АВ и АС перпендикулярны.

Ответ:

да, прямые перпендикулярны.

Пример.

Являются ли прямые формула и формула перпендикулярными?

Решение.

формула - направляющий вектор прямой формула, а формула - направляющий вектор прямой формула. Вычислим скалярное произведение векторов формула и формула: формула. Оно отлично от нуля, следовательно, направляющие векторы прямых не перпендикулярны. То есть, не выполняется условие перпендикулярности прямых, поэтому, исходные прямые не перпендикулярны.

Ответ:

нет, прямые не перпендикулярны.

Аналогично, необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве имеет вид формула, где формула и формула - направляющие векторы прямых a и b соответственно.

Пример.

Перпендикулярны ли прямые, заданные в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнениями формула и формула?

Решение.

Числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой в пространстве, являются соответствующими координатами направляющего вектора прямой. А координатами направляющего вектора прямой, которая задана параметрическими уравнениями прямой в пространстве, являются коэффициенты при параметре. Таким образом, формула и формула - направляющие векторы заданных прямых. Выясним, перпендикулярны ли они: формула. Так как скалярное произведение равно нулю, то эти векторы перпендикулярны. Значит, выполняется условие перпендикулярности заданных прямых.

Ответ:

прямые перпендикулярны.

Для проверки перпендикулярности двух прямых на плоскости существуют другие необходимые и достаточные условия перпендикулярности.

Теорема.

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимо и достаточно, чтобы нормальный вектор прямой a был перпендикулярен нормальному вектору прямой b.

Озвученное условие перпендикулярности прямых удобно использовать, если по заданным уравнениям прямых легко находятся координаты нормальных векторов прямых. Этому утверждению отвечает общее уравнение прямой вида формула, уравнение прямой в отрезках формула и уравнение прямой с угловым коэффициентом формула.

Пример.

Убедитесь, что прямые формула и формула перпендикулярны.

Решение.

По заданным уравнениям прямых легко найти координаты нормальных векторов этих прямых. формула – нормальный вектор прямой формула. Перепишем уравнение формула в виде формула, откуда видны координаты нормального вектора этой прямой: формула.

Векторы формула и формула перпендикулярны, так как их скалярное произведение равно нулю: формула. Таким образом, выполняется необходимое и достаточное условие перпендикулярности заданных прямых, то есть, они действительно перпендикулярны.

В частности, если прямую a на плоскости определяет уравнение прямой с угловым коэффициентом вида формула, а прямую b – вида формула, то нормальные векторы этих прямых имеют координаты формула и формула соответственно, а условие перпендикулярности этих прямых сводится к следующему соотношению между угловыми коэффициентами формула.

Пример.

Перпендикулярны ли прямые формула и формула?

Решение.

Угловой коэффициент прямой формула равен формула, а угловой коэффициент прямой формула равен формула. Произведение угловых коэффициентов равно минус единице формула, следовательно, прямые перпендикулярны.

Ответ:

заданные прямые перпендикулярны.

Можно озвучить еще одно условие перпендикулярности прямых на плоскости.

Теорема.

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор одной прямой и нормальный вектор второй прямой были коллинеарны.

Этим условием, очевидно, удобно пользоваться, когда легко находятся координаты направляющего вектора одной прямой и координаты нормального вектора второй прямой, то есть, когда одна прямая задана каноническим уравнением или параметрическими уравнениями прямой на плоскости, а вторая – или общим уравнением прямой, или уравнением прямой в отрезках, или уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Пример.

Являются ли прямые формула и формула перпендикулярными?

Решение.

Очевидно, формула - нормальный вектор прямой формула, а формула - направляющий вектор прямой формула. Векторы формула и формула не коллинеарны, так как для них не выполняется условие коллинеарности двух векторов (не существует такого действительного числа t, при котором формула). Следовательно, заданные прямые не перпендикулярны.

Ответ:

прямые не перпендикулярны.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+