Прямая, плоскость, их уравнения

Перпендикулярные прямая и плоскость, признак и условия перпендикулярности прямой и плоскости.


В этой статье мы поговорим о перпендикулярности прямой и плоскости. Сначала дано определение прямой, перпендикулярной к плоскости, приведена графическая иллюстрация и пример, показано обозначение перпендикулярных прямой и плоскости. После этого сформулирован признак перпендикулярности прямой и плоскости. Далее получены условия, позволяющие доказывать перпендикулярность прямой и плоскости, когда прямая и плоскость заданы некоторыми уравнениями в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве. В заключении показаны подробные решения характерных примеров и задач.


Перпендикулярные прямая и плоскость – основные сведения.

Рекомендуем для начала повторить определение перпендикулярных прямых, так как определение прямой, перпендикулярной к плоскости, дается через перпендикулярность прямых.

Определение.

Говорят, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Также можно сказать, что плоскость перпендикулярна к прямой, или прямая и плоскость перпендикулярны.

Для обозначения перпендикулярности используют значок вида «формула». То есть, если прямая c перпендикулярна к плоскости формула, то можно кратко записать формула.

изображение

В качестве примера прямой, перпендикулярной к плоскости, можно привести прямую, по которой пересекаются две смежных стены комнаты. Эта прямая перпендикулярна к плоскости и к плоскости потолка. Канат в спортивном зале можно также рассматривать как отрезок прямой, перпендикулярной к плоскости пола.

В заключении этого пункта статьи отметим, что если прямая перпендикулярна к плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным девяноста градусам.

Перпендикулярность прямой и плоскости - признак и условия перпендикулярности.


На практике часто возникает вопрос: «Перпендикулярны ли заданные прямая и плоскость»? Для ответа на него существует достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости, то есть, такое условие, выполнение которого гарантирует перпендикулярность прямой и плоскости. Это достаточное условие называют признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Сформулируем его в виде теоремы.

Теорема.

Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости Вы можете посмотреть в учебнике геометрии за 10-11 классы.

При решении задач на установление перпендикулярности прямой и плоскости также часто применяется следующая теорема.

Теорема.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна к плоскости.

В школе рассматривается много задач, для решения которых применяется признак перпендикулярности прямой и плоскости, а также последняя теорема. Здесь мы не будем на них останавливаться. В этом пункте статьи основное внимание сосредоточим на применении следующего необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.

Теорема.

Для перпендикулярности прямой a и плоскости формула необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой a и нормальный вектор плоскости формула были коллинеарны.

Это условие можно переписать в следующем виде.

Пусть формула - направляющий вектор прямой a, а формула - нормальный вектор плоскости формула. Для перпендикулярности прямой a и плоскости формула необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие коллинеарности векторов формула и формула: формула, где t – некоторое действительное число.

Доказательство этого необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости основано на определениях направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

Очевидно, это условие удобно использовать для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости, когда легко находятся координаты направляющего вектора прямой и координаты нормального вектора плоскости в зафиксированной прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве. Это справедливо для случаев, когда заданы координаты точек, через которые проходят плоскость и прямая, а также для случаев, когда прямую определяют некоторые уравнения прямой в пространстве, а плоскость задана уравнением плоскости некоторого вида.

Рассмотрим решения нескольких примеров.

Пример.

Докажите перпендикулярность прямой формула и плоскости формула.

Решение.

Нам известно, что числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой в пространстве, являются соответствующими координатами направляющего вектора этой прямой. Таким образом, формула - направляющий вектор прямой формула.

Коэффициенты при переменных x, y и z в общем уравнении плоскости являются координатами нормального вектора этой плоскости, то есть, формула - нормальный вектор плоскости формула.

Проверим выполнение необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.

Так как формула, то векторы формула и формула связаны соотношением формула, то есть, они коллинеарны. Следовательно, прямая формула перпендикулярна плоскости формула.

Пример.

Перпендикулярны ли прямая формула и плоскость формула.

Решение.

Найдем направляющий вектор заданной прямой и нормальный вектор плоскости, чтобы проверить выполнений необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.

Направляющим вектором формула прямой формула является векторное произведение нормальных векторов плоскостей формула и формула. То есть, формула, откуда формула (при необходимости смотрите статью координаты вектора в прямоугольной системе координат).

Заданное уравнение плоскости в отрезках формула эквивалентно общему уравнению плоскости вида формула. Нормальным вектором этой плоскости является вектор формула.

Проверим коллинеарность векторов формула и формула: формула.

Итак, направляющий вектор прямой не коллинеарен нормальному вектору плоскости, следовательно, прямая формула не перпендикулярна к плоскости формула.

Ответ:

нет, прямая и плоскость не перпендикулярны.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+