Перпендикулярные прямая и плоскость, признак и условия перпендикулярности прямой и плоскости.
В этой статье мы поговорим о перпендикулярности прямой и плоскости. Сначала дано определение прямой, перпендикулярной к плоскости, приведена графическая иллюстрация и пример, показано обозначение перпендикулярных прямой и плоскости. После этого сформулирован признак перпендикулярности прямой и плоскости. Далее получены условия, позволяющие доказывать перпендикулярность прямой и плоскости, когда прямая и плоскость заданы некоторыми уравнениями в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве. В заключении показаны подробные решения характерных примеров и задач.
Перпендикулярные прямая и плоскость – основные сведения.
Рекомендуем для начала повторить определение перпендикулярных прямых, так как определение прямой, перпендикулярной к плоскости, дается через перпендикулярность прямых.
Определение.
Говорят, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Также можно сказать, что плоскость перпендикулярна к прямой, или прямая и плоскость перпендикулярны.
Для обозначения перпендикулярности используют значок вида «
». То есть, если прямая c перпендикулярна к плоскости 
, то можно кратко записать 
.
В качестве примера прямой, перпендикулярной к плоскости, можно привести прямую, по которой пересекаются две смежных стены комнаты. Эта прямая перпендикулярна к плоскости и к плоскости потолка. Канат в спортивном зале можно также рассматривать как отрезок прямой, перпендикулярной к плоскости пола.
В заключении этого пункта статьи отметим, что если прямая перпендикулярна к плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным девяноста градусам.
Перпендикулярность прямой и плоскости - признак и условия перпендикулярности.
На практике часто возникает вопрос: «Перпендикулярны ли заданные прямая и плоскость»? Для ответа на него существует достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости, то есть, такое условие, выполнение которого гарантирует перпендикулярность прямой и плоскости. Это достаточное условие называют признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Сформулируем его в виде теоремы.
Теорема.
Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости Вы можете посмотреть в учебнике геометрии за 10-11 классы.
При решении задач на установление перпендикулярности прямой и плоскости также часто применяется следующая теорема.
Теорема.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна к плоскости.
В школе рассматривается много задач, для решения которых применяется признак перпендикулярности прямой и плоскости, а также последняя теорема. Здесь мы не будем на них останавливаться. В этом пункте статьи основное внимание сосредоточим на применении следующего необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.
Теорема.
Для перпендикулярности прямой a и плоскости необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой a и нормальный вектор плоскости были коллинеарны.
Это условие можно переписать в следующем виде.
Пусть 
- направляющий вектор прямой a, а 
- нормальный вектор плоскости . Для перпендикулярности прямой a и плоскости необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие коллинеарности векторов 
и : 
, где t – некоторое действительное число.
Доказательство этого необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости основано на определениях направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.
Очевидно, это условие удобно использовать для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости, когда легко находятся координаты направляющего вектора прямой и координаты нормального вектора плоскости в зафиксированной прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве. Это справедливо для случаев, когда заданы координаты точек, через которые проходят плоскость и прямая, а также для случаев, когда прямую определяют некоторые уравнения прямой в пространстве, а плоскость задана уравнением плоскости некоторого вида.
Рассмотрим решения нескольких примеров.
Пример.
Докажите перпендикулярность прямой 
и плоскости 
.
Решение.
Нам известно, что числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой в пространстве, являются соответствующими координатами направляющего вектора этой прямой. Таким образом, 
- направляющий вектор прямой .
Коэффициенты при переменных x, y и z в общем уравнении плоскости являются координатами нормального вектора этой плоскости, то есть, 
- нормальный вектор плоскости .
Проверим выполнение необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.
Так как 
, то векторы 
и 
связаны соотношением 
, то есть, они коллинеарны. Следовательно, прямая перпендикулярна плоскости .
Пример.
Перпендикулярны ли прямая 
и плоскость 
.
Решение.
Найдем направляющий вектор заданной прямой и нормальный вектор плоскости, чтобы проверить выполнений необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.
Направляющим вектором прямой является векторное произведение нормальных векторов плоскостей 
и 
. То есть, 
, откуда 
(при необходимости смотрите статью координаты вектора в прямоугольной системе координат).
Заданное уравнение плоскости в отрезках эквивалентно общему уравнению плоскости вида 
. Нормальным вектором этой плоскости является вектор 
.
Проверим коллинеарность векторов 
и : 
.
Итак, направляющий вектор прямой не коллинеарен нормальному вектору плоскости, следовательно, прямая не перпендикулярна к плоскости .
Ответ:
нет, прямая и плоскость не перпендикулярны.
Список литературы.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
- Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Некогда разбираться?