Прямая, плоскость, их уравнения

Пучок плоскостей, уравнение пучка плоскостей.


В этой статье мы дадим определение пучка плоскостей, получим уравнение пучка плоскостей относительно заданной прямоугольной системы координат и подробно рассмотрим решения характерных задач, связанных с понятием пучка плоскостей.


Пучок плоскостей – определение.

Из аксиом геометрии следует, что в трехмерном пространстве через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость. А из этого утверждения следует, что существует бесконечно много плоскостей, содержащих заранее заданную прямую. Обоснуем это.

Пусть нам задана прямая a. Возьмем точку М1, не лежащую на прямой a. Тогда через прямую a и точку М1 мы можем провести плоскость, причем только одну. Обозначим ее формула. Теперь возьмем точку М2, не лежащую в плоскости формула. Через прямую a и точку М2 проходит единственная плоскость формула. Если взять точку М3, не лежащую ни в плоскости формула, ни в плоскости формула, то можно построить плоскость формула, проходящую через прямую a и точку М3. Очевидно, этот процесс построения плоскостей, проходящих через заданную прямую a, можно продолжать бесконечно.

Так мы подошли к определению пучка плоскостей.

Определение.

Пучок плоскостей – это множество всех плоскостей в трехмерном пространстве, проходящих через одну данную прямую.

Прямую, которую содержат все плоскости пучка, называют центром этого пучка плоскостей. Таким образом, имеет место выражение «пучок плоскостей с центром a».

изображение

Конкретный пучок плоскостей можно определить либо указав его центр, либо указав любые две плоскости этого пучка, что по сути одно и то же. С другой стороны любые две пересекающиеся плоскости задают некоторой пучок плоскостей.

Уравнение пучка плоскостей – решение задач.


Для практических целей представляет интерес не столько пучок плоскостей в его геометрическом образе сколько уравнение пучка плоскостей.

Давайте сразу ответим на логичный вопрос: «Что же такое уравнение пучка плоскостей»?

Для этого будем считать, что в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz и задан пучок плоскостей с помощью указания двух плоскостей формула и формула из него. Пусть плоскости формула отвечает общее уравнение плоскости вида формула, а плоскости формула - вида формула. Так вот уравнением пучка плоскостей называют уравнение, которое задает уравнения всех плоскостей этого пучка.

Возникает следующий логичный вопрос: «Какой вид имеет уравнение пучка плоскостей в прямоугольной системе координат Oxyz»?

Вид уравнения пучка плоскостей дает следующая теорема.

Теорема.

Плоскость формула принадлежит пучку плоскостей, который определяют две пересекающиеся плоскости формула и формула, заданные уравнениями формула и формула соответственно, тогда и только тогда, когда ее общее уравнение имеет вид формула, где формула и формула - произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю (последнее условие эквивалентно неравенству формула).

Доказательство.

Для доказательства достаточности нужно показать:

  • во-первых, что уравнение формула является уравнением плоскости,
  • во-вторых, что прямая, по которой пересекаются плоскости формула и формула, лежит в плоскости формула.

Перепишем уравнение формула в виде формула. Полученное уравнение является общим уравнением плоскости, если выражения формула и формула одновременно не равны нулю.

Докажем, что они действительно не обращаются в ноль одновременно методом от противного. Предположим, что формула. Тогда, если формула, то формула, если же формула, то формула. Полученные равенства означают, что векторы формула и формула связаны соотношениями формула или формула (при необходимости смотрите статью операции над векторами в координатах), следовательно, выполняется условие коллинеарности векторов формула и формула. Так как формула - нормальный вектор плоскости формула, формула - нормальный вектор плоскости формула, и векторы формула и формула коллинеарны, то плоскости формула и формула параллельны или совпадают (смотрите статью условие параллельности двух плоскостей). А этого быть не может, так как плоскости формула и формула задают пучок плоскостей, а, значит, пересекаются.

Итак, уравнение формула действительно является общим уравнением плоскости. Покажем, что плоскость, определяемая этим уравнением, проходит через линию пересечения плоскостей формула и формула.

Если это действительно так, то система уравнений вида формула имеет бесконечное множество решений. (Если записанная система уравнений имеет единственное решение, то плоскости, из уравнений которых составлена система, имеют единственную общую точку, следовательно, плоскость формула пересекает прямую, определяемую пересекающимися плоскостями формула и формула. Если записанная система уравнений не имеет решений, то не существует точки, одновременно принадлежащей всем трем плоскостям, следовательно, плоскость формула параллельна прямой, заданной пересекающимися плоскостями формула и формула).

Так как первое уравнение записанной системы уравнений представляет собой линейную комбинацию второго и третьего уравнений, то оно излишне и его можно без последствий исключить из системы (об этом мы говорили в статье решение систем линейных уравнений). То есть, исходная система уравнений эквивалентна системе уравнений вида формула. А эта система имеет бесконечное множество решений, так как плоскости формула и формула имеют бесконечно много общих точек в силу того, что они пересекаются.

Достаточность доказана.

Переходим к доказательству необходимости.

Для доказательства необходимости нужно показать, что, какова бы ни была наперед заданная плоскость, проходящая через линию пересечения плоскостей формула и формула, она определяется уравнением формула при некоторых значениях параметров формула и формула.

Возьмем плоскость, которая проходит через точку формула и через линию пересечения плоскостей формула и формула (М0 не лежит на линии пересечения этих плоскостей). Покажем, что всегда можно выбрать такие значения формула и формула параметров формула и формула, при которых координаты точки М0 будут удовлетворять уравнению формула, то есть, будет справедливо равенство формула. Этим будет доказана достаточность.

Подставим в уравнение формула координаты точки М0: формула. Так как плоскости формула и формула одновременно не проходят через точку М0 (в противном случае эти плоскости совпадали бы), то хотя бы одно из выражений формула или формула отлично от нуля. Если формула, то уравнение формула можно можно разрешить относительно параметра формула как формула и, придав параметру формула произвольное ненулевое значение формула, вычисляем формула. Если формула, то придав параметру формула произвольное ненулевое значение формула, вычисляем формула.

Теорема полностью доказана.

Итак, уравнение пучка плоскостей имеет вид формула. Оно задает все плоскости пучка. Если же взять некоторую пару значений формула и подставить их в уравнение пучка плоскостей, то мы получим общее уравнение одной плоскости из этого пучка.

Так как в уравнении пучка плоскостей параметры формула и формула одновременно не равны нулю, то его можно записать в виде формула, если формула, и в виде формула, если формула.

Однако эти уравнения не эквивалентны уравнению пучка плоскостей вида формула, так как ни при каких значениях формула из уравнения формула нельзя получить уравнение плоскости вида формула, а из уравнения формула ни при каких значениях формула не получить уравнение плоскости вида формула.

Переходим к решению примеров.

Пример.

Напишите уравнение пучка плоскостей, который в прямоугольной системе координат Oxyz задают две пересекающиеся плоскости формула и формула.

Решение.

Заданное уравнение плоскости в отрезках формула равносильно общему уравнению плоскости вида формула. Теперь мы можем записать требуемое уравнение пучка плоскостей: формула.

Ответ:

формула.

Пример.

Принадлежит ли плоскость формула пучку плоскостей с центром формула, формула?

Решение.

Если плоскость принадлежит пучку, то прямая, являющаяся центром пучка, лежит в этой плоскости. Таким образом, можно взять две различные точки прямой формула и проверить, лежат ли они в плоскости формула. Если да, то плоскость принадлежит указанному пучку плоскостей, если нет – то не принадлежит.

Параметрические уравнения прямой в пространстве позволяют легко определить координаты точек, лежащих на ней. Возьмем два значения параметра формула (к примеру, формула и формула) и вычислим координаты двух точек М1 и М2 прямой формула:
формула

Точка формула не принадлежит плоскости формула, так как координаты точки М1 не удовлетворяют уравнению этой плоскости (формула). Следовательно, заданная плоскость не принадлежит пучку плоскостей с центром формула.

Ответ:

нет.

Пример.

Принадлежит ли плоскость формула пучку плоскостей, заданному уравнением пучка плоскостей вида формула.

Решение.

Другими словами, нам нужно проверить, существуют ли такие значения параметров формула и формула, при которых уравнение формула есть уравнение плоскости вида формула.

Перепишем исходное уравнение пучка плоскостей в виде формула. Теперь приравняем соответствующие коэффициенты при переменных x, y, z, а также свободные члены полученного уравнения и уравнения плоскости формула - при этом получим систему уравнений вида
формула

Решим ее, используя метод Гаусса:
формула

Таким образом, плоскость формула принадлежит пучку плоскостей формула (ее уравнение соответствует значениям формула).

Ответ:

да.

Нельзя не отметить, что уравнение пучка плоскостей позволяет легко получить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и прямую, заданную уравнениями двух пересекающихся плоскостей.

Пример.

В прямоугольной системе координат Oxyz заданы две пересекающиеся по прямой a плоскости формула и формула. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку формула и прямую a.

Решение.

Очевидно, плоскость, уравнение которой нам требуется составить, принадлежит пучку прямых формула. Найдем значения параметров формула и формула, при которых уравнение формула задает плоскость, проходящую через точку формула.

Подставив в уравнение пучка прямых координаты точки М0, получаем формула. Примем формула, тогда формула.

Теперь подставляем найденные значения параметров в уравнение пучка плоскостей и получаем искомое уравнение плоскости: формула.

Ответ:

формула.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+