Пучок плоскостей, уравнение пучка плоскостей.
В этой статье мы дадим определение пучка плоскостей, получим уравнение пучка плоскостей относительно заданной прямоугольной системы координат и подробно рассмотрим решения характерных задач, связанных с понятием пучка плоскостей.
Пучок плоскостей – определение.
Из аксиом геометрии следует, что в трехмерном пространстве через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость. А из этого утверждения следует, что существует бесконечно много плоскостей, содержащих заранее заданную прямую. Обоснуем это.
Пусть нам задана прямая a. Возьмем точку М1, не лежащую на прямой a. Тогда через прямую a и точку М1 мы можем провести плоскость, причем только одну. Обозначим ее 
. Теперь возьмем точку М2, не лежащую в плоскости . Через прямую a и точку М2 проходит единственная плоскость 
. Если взять точку М3, не лежащую ни в плоскости , ни в плоскости , то можно построить плоскость 
, проходящую через прямую a и точку М3. Очевидно, этот процесс построения плоскостей, проходящих через заданную прямую a, можно продолжать бесконечно.
Так мы подошли к определению пучка плоскостей.
Определение.
Пучок плоскостей – это множество всех плоскостей в трехмерном пространстве, проходящих через одну данную прямую.
Прямую, которую содержат все плоскости пучка, называют центром этого пучка плоскостей. Таким образом, имеет место выражение «пучок плоскостей с центром a».
Конкретный пучок плоскостей можно определить либо указав его центр, либо указав любые две плоскости этого пучка, что по сути одно и то же. С другой стороны любые две пересекающиеся плоскости задают некоторой пучок плоскостей.
Уравнение пучка плоскостей – решение задач.
Для практических целей представляет интерес не столько пучок плоскостей в его геометрическом образе сколько уравнение пучка плоскостей.
Давайте сразу ответим на логичный вопрос: «Что же такое уравнение пучка плоскостей»?
Для этого будем считать, что в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz и задан пучок плоскостей с помощью указания двух плоскостей и из него. Пусть плоскости отвечает общее уравнение плоскости вида 
, а плоскости - вида 
. Так вот уравнением пучка плоскостей называют уравнение, которое задает уравнения всех плоскостей этого пучка.
Возникает следующий логичный вопрос: «Какой вид имеет уравнение пучка плоскостей в прямоугольной системе координат Oxyz»?
Вид уравнения пучка плоскостей дает следующая теорема.
Теорема.
Плоскость принадлежит пучку плоскостей, который определяют две пересекающиеся плоскости и , заданные уравнениями и соответственно, тогда и только тогда, когда ее общее уравнение имеет вид 
, где 
и 
- произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю (последнее условие эквивалентно неравенству 
).
Доказательство.
Для доказательства достаточности нужно показать:
является уравнением плоскости,
и , лежит в плоскости .
Перепишем уравнение в виде 
. Полученное уравнение является общим уравнением плоскости, если выражения 
и 
одновременно не равны нулю.
Докажем, что они действительно не обращаются в ноль одновременно методом от противного. Предположим, что 
. Тогда, если 
, то 
, если же 
, то 
. Полученные равенства означают, что векторы 
и 
связаны соотношениями 
или 
(при необходимости смотрите статью операции над векторами в координатах), следовательно, выполняется условие коллинеарности векторов 
и 
. Так как - нормальный вектор плоскости , - нормальный вектор плоскости , и векторы и коллинеарны, то плоскости и параллельны или совпадают (смотрите статью условие параллельности двух плоскостей). А этого быть не может, так как плоскости и задают пучок плоскостей, а, значит, пересекаются.
Итак, уравнение действительно является общим уравнением плоскости. Покажем, что плоскость, определяемая этим уравнением, проходит через линию пересечения плоскостей и .
Если это действительно так, то система уравнений вида 
имеет бесконечное множество решений. (Если записанная система уравнений имеет единственное решение, то плоскости, из уравнений которых составлена система, имеют единственную общую точку, следовательно, плоскость пересекает прямую, определяемую пересекающимися плоскостями и . Если записанная система уравнений не имеет решений, то не существует точки, одновременно принадлежащей всем трем плоскостям, следовательно, плоскость параллельна прямой, заданной пересекающимися плоскостями и ).
Так как первое уравнение записанной системы уравнений представляет собой линейную комбинацию второго и третьего уравнений, то оно излишне и его можно без последствий исключить из системы (об этом мы говорили в статье решение систем линейных уравнений). То есть, исходная система уравнений эквивалентна системе уравнений вида 
. А эта система имеет бесконечное множество решений, так как плоскости и имеют бесконечно много общих точек в силу того, что они пересекаются.
Достаточность доказана.
Переходим к доказательству необходимости.
Для доказательства необходимости нужно показать, что, какова бы ни была наперед заданная плоскость, проходящая через линию пересечения плоскостей и , она определяется уравнением при некоторых значениях параметров и .
Возьмем плоскость, которая проходит через точку 
и через линию пересечения плоскостей и (М0 не лежит на линии пересечения этих плоскостей). Покажем, что всегда можно выбрать такие значения 
и 
параметров и , при которых координаты точки М0 будут удовлетворять уравнению , то есть, будет справедливо равенство 
. Этим будет доказана достаточность.
Подставим в уравнение координаты точки М0: 
. Так как плоскости и одновременно не проходят через точку М0 (в противном случае эти плоскости совпадали бы), то хотя бы одно из выражений 
или 
отлично от нуля. Если 
, то уравнение можно можно разрешить относительно параметра как 
и, придав параметру произвольное ненулевое значение , вычисляем 
. Если 
, то придав параметру произвольное ненулевое значение , вычисляем 
.
Теорема полностью доказана.
Итак, уравнение пучка плоскостей имеет вид . Оно задает все плоскости пучка. Если же взять некоторую пару значений 
и подставить их в уравнение пучка плоскостей, то мы получим общее уравнение одной плоскости из этого пучка.
Так как в уравнении пучка плоскостей параметры и одновременно не равны нулю, то его можно записать в виде 
, если 
, и в виде 
, если 
.
Однако эти уравнения не эквивалентны уравнению пучка плоскостей вида , так как ни при каких значениях 
из уравнения 
нельзя получить уравнение плоскости вида , а из уравнения 
ни при каких значениях 
не получить уравнение плоскости вида .
Переходим к решению примеров.
Пример.
Напишите уравнение пучка плоскостей, который в прямоугольной системе координат Oxyz задают две пересекающиеся плоскости 
и 
.
Решение.
Заданное уравнение плоскости в отрезках равносильно общему уравнению плоскости вида 
. Теперь мы можем записать требуемое уравнение пучка плоскостей: 
.
Ответ:
.
Пример.
Принадлежит ли плоскость 
пучку плоскостей с центром 
, 
?
Решение.
Если плоскость принадлежит пучку, то прямая, являющаяся центром пучка, лежит в этой плоскости. Таким образом, можно взять две различные точки прямой и проверить, лежат ли они в плоскости . Если да, то плоскость принадлежит указанному пучку плоскостей, если нет – то не принадлежит.
Параметрические уравнения прямой в пространстве позволяют легко определить координаты точек, лежащих на ней. Возьмем два значения параметра (к примеру, 
и 
) и вычислим координаты двух точек М1 и М2 прямой :
Точка 
не принадлежит плоскости , так как координаты точки М1 не удовлетворяют уравнению этой плоскости (
). Следовательно, заданная плоскость не принадлежит пучку плоскостей с центром .
Ответ:
нет.
Пример.
Принадлежит ли плоскость 
пучку плоскостей, заданному уравнением пучка плоскостей вида 
.
Решение.
Другими словами, нам нужно проверить, существуют ли такие значения параметров и , при которых уравнение есть уравнение плоскости вида .
Перепишем исходное уравнение пучка плоскостей в виде 
. Теперь приравняем соответствующие коэффициенты при переменных x, y, z, а также свободные члены полученного уравнения и уравнения плоскости - при этом получим систему уравнений вида
Решим ее, используя метод Гаусса:
Таким образом, плоскость принадлежит пучку плоскостей (ее уравнение соответствует значениям 
).
Ответ:
да.
Нельзя не отметить, что уравнение пучка плоскостей позволяет легко получить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и прямую, заданную уравнениями двух пересекающихся плоскостей.
Пример.
В прямоугольной системе координат Oxyz заданы две пересекающиеся по прямой a плоскости 
и 
. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку 
и прямую a.
Решение.
Очевидно, плоскость, уравнение которой нам требуется составить, принадлежит пучку прямых 
. Найдем значения параметров и , при которых уравнение задает плоскость, проходящую через точку .
Подставив в уравнение пучка прямых координаты точки М0, получаем 
. Примем 
, тогда 
.
Теперь подставляем найденные значения параметров в уравнение пучка плоскостей и получаем искомое уравнение плоскости: 
.
Ответ:
.
Список литературы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Некогда разбираться?