Пучок прямых, уравнение пучка прямых.
В этой статье сначала дано определение пучка прямых с центром в заданной точке плоскости. Далее рассматривается уравнение пучка прямых. В заключении подробно разобраны решения разнообразных задач, связанных с понятием пучка прямых, - задачи на составление уравнения пучка прямых, на нахождение координат центра пучка прямых, на нахождение уравнения одной из прямых заданного пучка и т.п.
Пучок прямых – определение.
Сразу заметим, что пучок прямых определяется на плоскости, а в трехмерном пространстве пучки прямых не рассматриваются.
Одна из аксиом геометрии гласит, что через две не совпадающие точки на плоскости можно провести прямую, причем только одну. Тогда, если на плоскости 
задана точка М0, то отметив в рассматриваемой плоскости еще одну точку М1, отличную от заданной, мы можем провести прямую через эти две точки. Если в плоскости взять еще одну точку М2, не лежащую на проведенной прямой М0М1, то через точку М2 и заданную точку М0 можно провести еще одну прямую М0М2. Отметив еще одну точку М3, не лежащую на двух проведенных прямых, мы можем через нее и заданную изначально точку М0 провести еще одну прямую М0М3. И так далее. Таким образом, в плоскости через одну заданную точку можно провести бесконечно много прямых. Эти рассуждения приводят нас к определению пучка прямых с центром в заданной точке.
Определение.
В заданной плоскости пучком прямых с центром в точке М0 называют множество всех прямых, лежащих в плоскости и проходящих через точку М0.
Из определения пучка прямых следует, что любые две прямые заданного пучка прямых пересекаются в точке, которая является центром пучка прямых.
Пучок прямых однозначно определяется, если указан центр этого пучка прямых или две различные прямые этого пучка, что по сути одно и то же.
Уравнение пучка прямых – решение задач.
При решении задач используется не столько сам пучок прямых, сколько уравнение пучка прямых. Другими словами, пучок прямых обычно рассматривается относительно введенной прямоугольной системы координат Oxy на плоскости.
Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная система координат Oxy и указаны две пересекающиеся прямые a1 и a2, которые задают пучок прямых. Будем считать, что первой прямой во введенной прямоугольной системе координат Oxy отвечает общее уравнение прямой вида 
, а второй – вида 
. Обозначим точку пересечения указанных прямых как M0, а ее соответствующие координаты как x0 и y0. Таким образом, центр пучка прямых есть точка 
.
Сформулируем и докажем теорему, которая определяет вид уравнения пучка прямых.
Теорема.
Прямая входит в пучок прямых, который в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задают две пересекающиеся прямые a1 и a2, общие уравнения которых имеют вид и , тогда и только тогда, когда ей соответствует общее уравнение прямой вида 
, где 
и 
- некоторые действительные числа, одновременно не равные нулю (то есть, 
).
Доказательство.
Начнем с доказательства необходимости. Для этого рассмотрим прямую a из указанного пучка прямых и докажем, что она может быть задана уравнением вида 
.
Пусть точка - центр заданного пучка прямых.
Очевидно, 
- нормальный вектор прямой , а 
– нормальный вектор прямой . Векторы 
и 
не коллинеарны, так как прямые a1 и a2 пересекаются. Тогда нормальный вектор прямой a (обозначим его 
) можно разложить по двум неколлинеарным векторам и как 
. Полученное равенство в координатной форме имеет вид 
(при необходимости смотрите статью операции над векторами в координатах).
Теперь мы знаем координаты нормального вектора прямой a () и координаты точки, через которую проходит прямая a (точка - центр пучка прямых), следовательно, можем записать общее уравнение прямой a:
Приняв 
и 
, получаем общее уравнение прямой a вида . Необходимость доказана.
Теперь докажем достаточность. То есть докажем, что уравнение вида , где и некоторые действительные числа, одновременно не равные нулю, есть уравнение прямой из пучка прямых с центром в точке , определенного двумя пересекающимися прямыми и .
Перепишем уравнение как 
. Очевидно, полученное уравнение является общим уравнением некоторой прямой, если выражения 
и 
одновременно не равны нулю. Эти выражения действительно одновременно нулю не равны. В противном случае мы бы имели 
и 
или 
и 
, что означало бы коллинеарность векторов и (смотрите условие коллинеарности векторов). А это невозможно, так как векторы и являются нормальными векторами пересекающихся прямых a1 и a2.
Итак, уравнение - это действительно общее уравнение прямой. Осталось показать, что ему удовлетворяют координаты центра пучка прямых – точки . То есть, осталось показать справедливость равенства 
.
Это сделать очень легко. Так как - центр пучка прямых, то прямые a1 и a2 проходят через эту точку, следовательно, координаты точки М0 удовлетворяют уравнениям прямых a1 и a2. То есть, справедливы равенства 
и 
. Следовательно, 
.
Таким образом, доказана достаточность и вся теорема в целом.
Итак, что же такое уравнение пучка прямых? Это уравнение вида , которое при различном выборе значений параметров и в прямоугольной системе координат Oxy определяет все прямые пучка прямых, заданного двумя пересекающимися прямыми и .
Так как в уравнении пучка прямых хотя бы один из параметров отличен от нуля, то можно разделить на него обе части уравнения пучка прямых. Если 
, то имеем 
, где 
. Если 
, то имеем 
, где 
. Однако, полученные уравнения не эквивалентны уравнению пучка прямых вида . В самом деле, из уравнения ни при каких 
мы не получим уравнения прямой вида , а из уравнения ни при каких 
мы не получим уравнения прямой .
Достаточно теории, пора переходить к решению характерных примеров.
Пример.
Напишите уравнение той прямой пучка прямых с центром в точке 
, угловой коэффициент которой равен 3.
Решение.
Прямая, уравнение которой нам требуется составить, проходит через точку (иначе она не будет принадлежать заданному пучку прямых) и имеет угловой коэффициент 3. Нам достаточно данных, чтобы записать уравнение прямой с угловым коэффициентом: 
.
Ответ:
.
Пример.
Найдите координаты центра пучка прямых, если этот пучок в прямоугольной системе координат Oxy определяют две пересекающиеся прямые 
и 
.
Решение.
Искомые координаты центра заданного пучка прямых представляют собой координаты точки пересечения прямых и .
Каноническое уравнение прямой на плоскости вида эквивалентно неполному общему уравнению прямой 
, а уравнение прямой в отрезках вида - общему уравнению прямой 
. Осталось составить систему уравнений из общих уравнений прямых и решить ее (при необходимости обращайтесь к статье решение систем линейных уравнений):
Таким образом, точка с координатами 
является центром заданного пучка прямых.
Ответ:
.
Пример.
Составьте уравнение пучка прямых, который в прямоугольной системе координат Oxy задают пересекающиеся прямые 
и 
.
Решение.
Получим сначала общее уравнение прямой, которую определяют параметрические уравнения прямой на плоскости вида :
Теперь можно записывать требуемое уравнение пучка прямых: 
, где и - некоторые действительные числа, причем .
Ответ:
.
Пример.
Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку 
и принадлежит пучку прямых, уравнение которого имеет вид 
.
Решение.
Покажем два способа решения этой задачи.
Первый способ.
По заданному уравнению пучка прямых мы можем определить координаты точки М0 - центра этого пучка прямых. Ими являются соответствующие координаты точки пересечения прямых 
и 
. Определим координаты центра заданного пучка прямых:
Таким образом, 
, а искомым уравнением прямой является уравнение прямой, проходящей через две точки и :
Второй способ.
Заданное уравнение пучка прямых задает все прямые этого пучка. Нам нужно определить такие значения параметров и , при которых уравнение будет уравнением прямой, проходящей через заданную точку . Для этого подставим координаты точки М1 в уравнение пучка прямых:
Примем 
(можно взять и другое значение , но при таком значении легко вычисляется ), тогда 
.
Таким образом, подставив найденные значения параметров 
и в заданное уравнение пучка прямых, получим требуемое уравнение прямой:
Несложно проверить, что уравнения, найденные при различных способах решения задачи, эквивалентны. Действительно, 
.
Ответ:
.
Пример.
Принадлежит ли прямая 
пучку прямых 
?
Решение.
Решим задачу двумя способами.
Первый способ.
Найдем координаты центра заданного пучка прямых и проверим, удовлетворяют ли они уравнению прямой вида :
Таким образом, при подстановке координат центра пучка в заданное уравнение прямой вида мы получили неверное равенство, значит, эта прямая не проходит через центр заданного пучка прямых, следовательно, не принадлежит этому пучку прямых.
Второй способ.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в заданном уравнении пучка прямых:
Если прямая принадлежит пучку прямых, то существуют такие значения параметров и , при которых уравнения 
и эквивалентны. То есть, система уравнений вида 
(она получается приравниванием соответствующих коэффициентов при переменных x и y, а также свободных членов уравнений и ) имеет решение.
Проверим, так ли это, воспользовавшись теоремой Кронекера-Капелли. Запишем основную и расширенную матрицы составленной системы уравнений: 
и 
. Ранг матрицы A равен двум, так как 
, а ранг расширенной матрицы системы равен 3, так как 
. Следовательно, система линейных уравнений не имеет решений.
Таким образом, прямая не принадлежит заданному пучку прямых.
Ответ:
нет, прямая не принадлежит пучку прямых .
Список литературы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Некогда разбираться?