Прямая, плоскость, их уравнения

Пучок прямых, уравнение пучка прямых.


В этой статье сначала дано определение пучка прямых с центром в заданной точке плоскости. Далее рассматривается уравнение пучка прямых. В заключении подробно разобраны решения разнообразных задач, связанных с понятием пучка прямых, - задачи на составление уравнения пучка прямых, на нахождение координат центра пучка прямых, на нахождение уравнения одной из прямых заданного пучка и т.п.


Пучок прямых – определение.

Сразу заметим, что пучок прямых определяется на плоскости, а в трехмерном пространстве пучки прямых не рассматриваются.

Одна из аксиом геометрии гласит, что через две не совпадающие точки на плоскости можно провести прямую, причем только одну. Тогда, если на плоскости формула задана точка М0, то отметив в рассматриваемой плоскости еще одну точку М1, отличную от заданной, мы можем провести прямую через эти две точки. Если в плоскости формула взять еще одну точку М2, не лежащую на проведенной прямой М0М1, то через точку М2 и заданную точку М0 можно провести еще одну прямую М0М2. Отметив еще одну точку М3, не лежащую на двух проведенных прямых, мы можем через нее и заданную изначально точку М0 провести еще одну прямую М0М3. И так далее. Таким образом, в плоскости формула через одну заданную точку можно провести бесконечно много прямых. Эти рассуждения приводят нас к определению пучка прямых с центром в заданной точке.

Определение.

В заданной плоскости формула пучком прямых с центром в точке М0 называют множество всех прямых, лежащих в плоскости формула и проходящих через точку М0.

изображение

Из определения пучка прямых следует, что любые две прямые заданного пучка прямых пересекаются в точке, которая является центром пучка прямых.

Пучок прямых однозначно определяется, если указан центр этого пучка прямых или две различные прямые этого пучка, что по сути одно и то же.

Уравнение пучка прямых – решение задач.


При решении задач используется не столько сам пучок прямых, сколько уравнение пучка прямых. Другими словами, пучок прямых обычно рассматривается относительно введенной прямоугольной системы координат Oxy на плоскости.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная система координат Oxy и указаны две пересекающиеся прямые a1 и a2, которые задают пучок прямых. Будем считать, что первой прямой во введенной прямоугольной системе координат Oxy отвечает общее уравнение прямой вида формула, а второй – вида формула. Обозначим точку пересечения указанных прямых как M0, а ее соответствующие координаты как x0 и y0. Таким образом, центр пучка прямых есть точка формула.

Сформулируем и докажем теорему, которая определяет вид уравнения пучка прямых.

Теорема.

Прямая входит в пучок прямых, который в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задают две пересекающиеся прямые a1 и a2, общие уравнения которых имеют вид формула и формула, тогда и только тогда, когда ей соответствует общее уравнение прямой вида формула, где формула и формула - некоторые действительные числа, одновременно не равные нулю (то есть, формула).

Доказательство.

Начнем с доказательства необходимости. Для этого рассмотрим прямую a из указанного пучка прямых и докажем, что она может быть задана уравнением вида формула.

Пусть точка формула - центр заданного пучка прямых.

Очевидно, формула - нормальный вектор прямой формула, а формула – нормальный вектор прямой формула. Векторы формула и формула не коллинеарны, так как прямые a1 и a2 не пересекаются. Тогда нормальный вектор прямой a (обозначим его формула) можно разложить по двум неколлинеарным векторам формула и формула как формула. Полученное равенство в координатной форме имеет вид формула (при необходимости смотрите статью операции над векторами в координатах).

Теперь мы знаем координаты нормального вектора прямой a (формула) и координаты точки, через которую проходит прямая a (точка формула - центр пучка прямых), следовательно, можем записать общее уравнение прямой a:
формула

Приняв формула и формула, получаем общее уравнение прямой a вида формула. Необходимость доказана.

Теперь докажем достаточность. То есть докажем, что уравнение вида формула, где формула и формула некоторые действительные числа, одновременно не равные нулю, есть уравнение прямой из пучка прямых с центром в точке формула, определенного двумя пересекающимися прямыми формула и формула.

Перепишем уравнение формула как формула. Очевидно, полученное уравнение является общим уравнением некоторой прямой, если выражения формула и формула одновременно не равны нулю. Эти выражения действительно одновременно нулю не равны. В противном случае мы бы имели формула и формула или формула и формула, что означало бы коллинеарность векторов формула и формула (смотрите условие коллинеарности векторов). А это невозможно, так как векторы формула и формула являются нормальными векторами пересекающихся прямых a1 и a2.

Итак, уравнение формула - это действительно общее уравнение прямой. Осталось показать, что ему удовлетворяют координаты центра пучка прямых – точки формула. То есть, осталось показать справедливость равенства формула.

Это сделать очень легко. Так как формула - центр пучка прямых, то прямые a1 и a2 проходят через эту точку, следовательно, координаты точки М0 удовлетворяют уравнениям прямых a1 и a2. То есть, справедливы равенства формула и формула. Следовательно, формула.

Таким образом, доказана достаточность и вся теорема в целом.

Итак, что же такое уравнение пучка прямых? Это уравнение вида формула, которое при различном выборе значений параметров формула и формула в прямоугольной системе координат Oxy определяет все прямые пучка прямых, заданного двумя пересекающимися прямыми формула и формула.

Так как в уравнении пучка прямых хотя бы один из параметров отличен от нуля, то можно разделить на него обе части уравнения пучка прямых. Если формула, то имеем формула, где формула. Если формула, то имеем формула, где формула. Однако, полученные уравнения не эквивалентны уравнению пучка прямых вида формула. В самом деле, из уравнения формула ни при каких формула мы не получим уравнения прямой вида формула, а из уравнения формула ни при каких формула мы не получим уравнения прямой формула.

Достаточно теории, пора переходить к решению характерных примеров.

Пример.

Напишите уравнение той прямой пучка прямых с центром в точке формула, угловой коэффициент которой равен 3.

Решение.

Прямая, уравнение которой нам требуется составить, проходит через точку формула (иначе она не будет принадлежать заданному пучку прямых) и имеет угловой коэффициент 3. Нам достаточно данных, чтобы записать уравнение прямой с угловым коэффициентом: формула.

Ответ:

формула.

Пример.

Найдите координаты центра пучка прямых, если этот пучок в прямоугольной системе координат Oxy определяют две пересекающиеся прямые формула и формула.

Решение.

Искомые координаты центра заданного пучка прямых представляют собой координаты точки пересечения прямых формула и формула.

Каноническое уравнение прямой на плоскости вида формула эквивалентно неполному общему уравнению прямой формула, а уравнение прямой в отрезках вида формула - общему уравнению прямой формула. Осталось составить систему уравнений из общих уравнений прямых и решить ее (при необходимости обращайтесь к статье решение систем линейных уравнений):
формула

Таким образом, точка с координатами формула является центром заданного пучка прямых.

Ответ:

формула.

Пример.

Составьте уравнение пучка прямых, который в прямоугольной системе координат Oxy задают пересекающиеся прямые формула и формула.

Решение.

Получим сначала общее уравнение прямой, которую определяют параметрические уравнения прямой на плоскости вида формула:
формула

Теперь можно записывать требуемое уравнение пучка прямых: формула, где формула и формула - некоторые действительные числа, причем формула.

Ответ:

формула.

Пример.

Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку формула и принадлежит пучку прямых, уравнение которого имеет вид формула.

Решение.

Покажем два способа решения этой задачи.

Первый способ.

По заданному уравнению пучка прямых мы можем определить координаты точки М0 - центра этого пучка прямых. Ими являются соответствующие координаты точки пересечения прямых формула и формула. Определим координаты центра заданного пучка прямых:
формула

Таким образом, формула, а искомым уравнением прямой является уравнение прямой, проходящей через две точки формула и формула:
формула

Второй способ.

Заданное уравнение пучка прямых задает все прямые этого пучка. Нам нужно определить такие значения параметров формула и формула, при которых уравнение формула будет уравнением прямой, проходящей через заданную точку формула. Для этого подставим координаты точки М1 в уравнение пучка прямых:
формула

Примем формула (можно взять и другое значение формула, но при таком значении легко вычисляется формула), тогда формула.

Таким образом, подставив найденные значения параметров формула и формула в заданное уравнение пучка прямых, получим требуемое уравнение прямой:
формула

Несложно проверить, что уравнения, найденные при различных способах решения задачи, эквивалентны. Действительно, формула.

Ответ:

формула.

Пример.

Принадлежит ли прямая формула пучку прямых формула?

Решение.

Решим задачу двумя способами.

Первый способ.

Найдем координаты центра заданного пучка прямых и проверим, удовлетворяют ли они уравнению прямой вида формула:
формула

Таким образом, при подстановке координат центра пучка в заданное уравнение прямой вида формула мы получили неверное равенство, значит, эта прямая не проходит через центр заданного пучка прямых, следовательно, не принадлежит этому пучку прямых.

Второй способ.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в заданном уравнении пучка прямых:
формула

Если прямая формула принадлежит пучку прямых, то существуют такие значения параметров формула и формула, при которых уравнения формула и формула эквивалентны. То есть, система уравнений вида формула (она получается приравниванием соответствующих коэффициентов при переменных x и y, а также свободных членов уравнений формула и формула) имеет решение.

Проверим, так ли это, воспользовавшись теоремой Кронекера-Капелли. Запишем основную и расширенную матрицы составленной системы уравнений: формула и формула. Ранг матрицы A равен двум, так как формула, а ранг расширенной матрицы системы равен 3, так как формула. Следовательно, система линейных уравнений формула не имеет решений.

Таким образом, прямая не принадлежит заданному пучку прямых.

Ответ:

нет, прямая формула не принадлежит пучку прямых формула.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+