Математика на cleverstudents.ru

Прямая, плоскость, их уравнения

Параметрические уравнения прямой на плоскости - описание, примеры, решение задач.

Продолжим рассматривать тему уравнение прямой на плоскости. В этой статье мы подробно изучим параметрические уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат.

Сначала мы получим вид параметрических уравнений прямой на плоскости. Далее научимся составлять параметрические уравнения прямой на плоскости, когда известны координаты некоторой точки прямой и координаты направляющего вектора прямой, разберем решение примера. Затем покажем, как от параметрических уравнений прямой перейти к уравнениям прямой на плоскости другого вида. В заключении подробно разберем решения характерных задач.

Вывод параметрических уравнений прямой на плоскости.

В разделе способы задания прямой линии на плоскости мы показали, что конкретную прямую можно определить, если указать принадлежащую ей точку и направляющий вектор прямой.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. Зададим прямую a, указав лежащую на прямой a точку и направляющий вектор этой прямой . Опишем прямую a с помощью уравнений.

Возьмем произвольную точку плоскости . Мы можем вычислить координаты вектора по координатам точек его начала и конца: . Очевидно, что множество всех точек задают прямую, проходящую через точку и имеющую направляющий вектор , тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов и записывается в виде уравнения , где - некоторое действительное число. Полученное уравнение называется векторно-параметрическим уравнением прямой. Векторно-параметрическое уравнение прямой в координатной форме имеет вид . Уравнения полученной системы называются параметрическими уравнениями прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy. Смысл такого названия прост: координаты всех точек прямой могут быть вычислены по параметрическим уравнениям прямой на плоскости вида при переборе всех действительных значений параметра .

Составление параметрических уравнений прямой на плоскости.

Итак, параметрические уравнения прямой на плоскости вида определяют в заданной прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, проходящую через точку и имеющую направляющий вектор . Таким образом, если нам известны координаты некоторой точки прямой и координаты ее направляющего вектора в прямоугольной системе координат на плоскости, то мы можем сразу написать параметрические уравнения этой прямой.

Следует также отметить, что если - направляющий вектор прямой a и если точки и лежат на прямой а, то прямую можно определить как параметрическими уравнениями прямой вида , так и параметрическими уравнениями прямой вида . Разберем пример. Пусть - направляющий вектор прямой а, точки и лежат на прямой а. Такой прямой соответствуют параметрические уравнения прямой вида или .

Обратите внимание еще на один факт: если - направляющий вектор прямой a, то направляющим вектором прямой а также является любой из векторов . Следовательно, прямую а на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy определяют параметрические уравнения прямой вида при любом ненулевом значении параметра .

Пусть, к примеру, прямая a задана параметрическими уравнениями . Очевидно, что - направляющий вектор этой прямой. Тогда любой из векторов также является направляющим вектором этой прямой. Для определенности возьмем вектор , соответствующий значению . Тогда, прямую a можно также описать параметрическими уравнениями прямой вида .

Переход от параметрических уравнений прямой на плоскости к другим уравнениям этой прямой и обратно.

Параметрические уравнения прямой на плоскости не всегда удобно использовать при решении задач. Поэтому встает вопрос о переходе от параметрических уравнений прямой к уравнению этой прямой другого вида. Давайте разберемся с этим процессом.

Параметрическим уравнениям прямой на плоскости вида соответствует каноническое уравнение прямой на плоскости вида . Если каждое из параметрических уравнений прямой разрешить относительно параметра и приравнять правые части полученных равенств, то мы получим каноническое уравнение этой прямой: . Пусть Вас при этом не смущает равенство нулю одного из чисел или .

Если нужно записать общее уравнение прямой вида , а известны параметрические уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy, то нужно сначала от параметрических уравнений прямой перейти к каноническому уравнению, а уже потом к общему уравнению прямой. Вот цепочка действий:

Чтобы из известных параметрических уравнений прямой на плоскости получить уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой в отрезках или нормальное уравнение прямой, то нужно сначала получить общее уравнение прямой, а уже от общего уравнения двигаться дальше. Осуществить последний переход Вам поможет информация статьи переход от общего уравнения прямой к другим видам уравнения прямой.

Теперь научимся записывать параметрические уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy, если известен вид какого-нибудь уравнения этой прямой.

Проще всего получить параметрические уравнения прямой не плоскости, если известно каноническое уравнение этой прямой вида . Для этого нужно каждое из отношений и принять равным параметру : , и разрешить полученные уравнения относительно переменных x и y: .

Чтобы написать параметрические уравнения прямой, которая задана общим уравнением прямой, уравнением прямой с угловым коэффициентом или уравнением прямой в отрезках, нужно сначала заданное уравнение прямой привести к каноническому виду, а уже потом от канонического уравнения прямой переходить к параметрическим уравнениям этой прямой.

Примеры и задачи с параметрическими уравнениями прямой на плоскости.

Наиболее часто встречаются три типа задач, в которых фигурируют параметрические уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy. Рассмотрим их по порядку.

Задачи первого типа связаны с координатами точек, которые либо принадлежат, либо не принадлежат прямой, заданной параметрическими уравнениями прямой.

Решение таких задач строится на следующем факте: пара чисел , которая находится из параметрических уравнений прямой при некотором действительном значении параметра , представляет собой координаты точки, которая лежит на прямой, определяемой этими параметрическими уравнениями.

Поставим следующую задачу. Пусть на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy нам дана некоторая точка и требуется выяснить, лежит ли она на прямой, заданной параметрическими уравнениями . Для решения этой задачи нужно подставить координаты точки в параметрические уравнения прямой. Если при этом существует такое значение параметра , при котором верны оба параметрических уравнения, то точка принадлежит заданной прямой. Если же не существует такого значения , при котором верны оба уравнения системы , то точка не лежит на заданной прямой.

Задачи второго типа – это задачи на составление параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy. Простейшую из них (когда известны координаты точки прямой и координаты направляющего вектора прямой) мы рассмотрели во втором пункте этой статьи. Сейчас рассмотрим несколько примеров, когда координаты направляющего вектора прямой сначала нужно найти, а уже после этого составлять параметрические уравнения прямой.

Задачи третьего типа связаны с переходом от параметрических уравнений прямой к другим видам уравнения этой прямой или обратно. Подобными задачами мы занимались в предыдущем пункте этой статьи. Рассмотрим еще один пример.

Некогда разбираться?

Закажите решение