Прямая, плоскость, их уравнения

Параметрические уравнения прямой на плоскости - описание, примеры, решение задач.


Продолжим рассматривать тему уравнение прямой на плоскости. В этой статье мы подробно изучим параметрические уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат.

Сначала мы получим вид параметрических уравнений прямой на плоскости. Далее научимся составлять параметрические уравнения прямой на плоскости, когда известны координаты некоторой точки прямой и координаты направляющего вектора прямой, разберем решение примера. Затем покажем, как от параметрических уравнений прямой перейти к уравнениям прямой на плоскости другого вида. В заключении подробно разберем решения характерных задач.


Вывод параметрических уравнений прямой на плоскости.

В разделе способы задания прямой линии на плоскости мы показали, что конкретную прямую можно определить, если указать принадлежащую ей точку и направляющий вектор прямой.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. Зададим прямую a, указав лежащую на прямой a точку формула и направляющий вектор этой прямой формула. Опишем прямую a с помощью уравнений.

Возьмем произвольную точку плоскости формула. Мы можем вычислить координаты вектора формула по координатам точек его начала и конца: формула. Очевидно, что множество всех точек формула задают прямую, проходящую через точку формула и имеющую направляющий вектор формула, тогда и только тогда, когда векторы формула и формула коллинеарны.

изображение

Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов формула и формула записывается в виде уравнения формула, где формула - некоторое действительное число. Полученное уравнение называется векторно-параметрическим уравнением прямой. Векторно-параметрическое уравнение прямой в координатной форме имеет вид формула. Уравнения полученной системы формула называются параметрическими уравнениями прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy. Смысл такого названия прост: координаты всех точек прямой могут быть вычислены по параметрическим уравнениям прямой на плоскости вида формула при переборе всех действительных значений параметра формула.

Составление параметрических уравнений прямой на плоскости.


Итак, параметрические уравнения прямой на плоскости вида формула определяют в заданной прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, проходящую через точку формула и имеющую направляющий вектор формула. Таким образом, если нам известны координаты некоторой точки прямой и координаты ее направляющего вектора в прямоугольной системе координат на плоскости, то мы можем сразу написать параметрические уравнения этой прямой.

Пример.

Составьте параметрические уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy, если она проходит через точку формула, а формула - ее направляющий вектор.

Решение.

Из условия имеем формула. Тогда параметрические уравнения прямой примут вид:
формула

Для наглядности построим прямую на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy, отвечающую найденным параметрическим уравнениям прямой:

изображение

Ответ:

формула

Следует также отметить, что если формула - направляющий вектор прямой a и если точки формула и формула лежат на прямой а, то прямую можно определить как параметрическими уравнениями прямой вида формула, так и параметрическими уравнениями прямой вида формула. Разберем пример. Пусть формула - направляющий вектор прямой а, точки формула и формула лежат на прямой а. Такой прямой соответствуют параметрические уравнения прямой вида формула или формула.

Обратите внимание еще на один факт: если формула - направляющий вектор прямой a, то направляющим вектором прямой а также является любой из векторов формула. Следовательно, прямую а на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy определяют параметрические уравнения прямой вида формула при любом ненулевом значении параметра формула.

Пусть, к примеру, прямая a задана параметрическими уравнениями формула. Очевидно, что формула - направляющий вектор этой прямой. Тогда любой из векторов формула также является направляющим вектором этой прямой. Для определенности возьмем вектор формула, соответствующий значению формула. Тогда, прямую a можно также описать параметрическими уравнениями прямой вида формула.

Переход от параметрических уравнений прямой на плоскости к другим уравнениям этой прямой и обратно.

Параметрические уравнения прямой на плоскости не всегда удобно использовать при решении задач. Поэтому встает вопрос о переходе от параметрических уравнений прямой к уравнению этой прямой другого вида. Давайте разберемся с этим процессом.

Параметрическим уравнениям прямой на плоскости вида формула соответствует каноническое уравнение прямой на плоскости вида формула. Если каждое из параметрических уравнений прямой разрешить относительно параметра формула и приравнять правые части полученных равенств, то мы получим каноническое уравнение этой прямой: формула. Пусть Вас при этом не смущает равенство нулю одного из чисел формула или формула.

Пример.

Перейдите от параметрических уравнений прямой формула к каноническому уравнению этой прямой.

Решение.

Перепишем параметрические уравнения в виде формула. Выражаем параметр в каждом уравнении системы: формула. Приравняв правые части уравнений системы, получаем искомое каноническое уравнение прямой на плоскости. Оно имеет вид формула.

Ответ:

формула

Если нужно записать общее уравнение прямой вида формула, а известны параметрические уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy, то нужно сначала от параметрических уравнений прямой перейти к каноническому уравнению, а уже потом к общему уравнению прямой. Вот цепочка действий:
формула

Пример.

Прямая на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy задана параметрическими уравнениями вида формула. Напишите общее уравнение этой прямой.

Решение.

Сначала переходим от параметрических уравнений прямой к каноническому уравнению прямой: формула.

Пропорция формула эквивалентна равенству формула. После раскрытия скобок получаем общее уравнение прямой: формула.

Ответ:

формула

Чтобы из известных параметрических уравнений прямой на плоскости получить уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой в отрезках или нормальное уравнение прямой, то нужно сначала получить общее уравнение прямой, а уже от общего уравнения двигаться дальше. Осуществить последний переход Вам поможет информация статьи переход от общего уравнения прямой к другим видам уравнения прямой.

Теперь научимся записывать параметрические уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy, если известен вид какого-нибудь уравнения этой прямой.

Проще всего получить параметрические уравнения прямой не плоскости, если известно каноническое уравнение этой прямой вида формула. Для этого нужно каждое из отношений формула и формула принять равным параметру формула: формула, и разрешить полученные уравнения относительно переменных x и y: формула.

Пример.

Перейдите от канонического уравнения прямой на плоскости формула к параметрическим уравнениям этой прямой.

Решение.

Приравниваем обе части заданного уравнения прямой к параметру формула: формула. Отсюда получаем параметрические уравнения прямой: формула.

Ответ:

формула

Чтобы написать параметрические уравнения прямой, которая задана общим уравнением прямой, уравнением прямой с угловым коэффициентом или уравнением прямой в отрезках, нужно сначала заданное уравнение прямой привести к каноническому виду, а уже потом от канонического уравнения прямой переходить к параметрическим уравнениям этой прямой.

Пример.

Прямая на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy задана общим уравнением прямой вида формула. Запишите параметрические уравнения этой прямой.

Решение.

Приведем данное уравнение к каноническому виду:
формула

Приравниваем обе части полученного равенства к параметру формула и получаем параметрические уравнения прямой:
формула

Ответ:

формула

Пример.

Прямая на плоскости определена уравнением формула. Получите параметрические уравнения этой прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy.

Решение.

Сначала приведем уравнение прямой с угловым коэффициентом к каноническому виду:
формула

Теперь переходим к параметрическим уравнениям прямой:
формула

Ответ:

формула

Примеры и задачи с параметрическими уравнениями прямой на плоскости.

Наиболее часто встречаются три типа задач, в которых фигурируют параметрические уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy. Рассмотрим их по порядку.

Задачи первого типа связаны с координатами точек, которые либо принадлежат, либо не принадлежат прямой, заданной параметрическими уравнениями прямой.

Решение таких задач строится на следующем факте: пара чисел формула, которая находится из параметрических уравнений прямой формула при некотором действительном значении параметра формула, представляет собой координаты точки, которая лежит на прямой, определяемой этими параметрическими уравнениями.

Пример.

Какая точка прямой, заданной параметрическими уравнениями прямой на плоскости вида формула, соответствует значению параметра формула.

Решение.

Подставим в параметрические уравнения прямой формула и вычислим координаты точки прямой:
формула

Ответ:

формула

Поставим следующую задачу. Пусть на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy нам дана некоторая точка формула и требуется выяснить, лежит ли она на прямой, заданной параметрическими уравнениями формула. Для решения этой задачи нужно подставить координаты точки формула в параметрические уравнения прямой. Если при этом существует такое значение параметра формула, при котором верны оба параметрических уравнения, то точка формула принадлежит заданной прямой. Если же не существует такого значения формула, при котором верны оба уравнения системы формула, то точка не лежит на заданной прямой.

Пример.

Лежат ли точки формула и формула на прямой, определенной в прямоугольной системе координат Oxy параметрическими уравнениями прямой формула.

Решение.

Подставляем координаты точки формула в параметрические уравнения прямой: формула. Следовательно, точка М0 лежит на заданной прямой, эта точка соответствует значению параметра формула.

Теперь подставляем в параметрические уравнения прямой координаты точки формула: формула. Следовательно, не существует значения параметра формула, которому бы соответствовала точка формула. Иными словами, прямая не проходит через точку N0.

Ответ:

точка М0 лежит на прямой, точка N0 не принадлежит прямой.

Задачи второго типа – это задачи на составление параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy. Простейшую из них (когда известны координаты точки прямой и координаты направляющего вектора прямой) мы рассмотрели во втором пункте этой статьи. Сейчас рассмотрим несколько примеров, когда координаты направляющего вектора прямой сначала нужно найти, а уже после этого составлять параметрические уравнения прямой.

Пример.

Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через точку формула параллельно прямой формула.

Решение.

Так как прямая, уравнение которой мы ищем, параллельна прямой формула, то в качестве ее направляющего вектора можно взять направляющий вектор прямой формула. Направляющим вектором прямой формула является вектор формула. Тогда у нас есть все данные, чтобы написать требуемые параметрические уравнения прямой формула.

Ответ:

формула

Пример.

Напишите параметрические уравнения прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости проходит через точку формула перпендикулярно прямой формула.

Решение.

Направляющим вектором прямой, параметрические уравнения которой нам требуется составить, является нормальный вектор прямой формула. Он имеет координаты формула. Теперь мы можем записать нужные параметрические уравнения прямой формула.

Ответ:

формула

Задачи третьего типа связаны с переходом от параметрических уравнений прямой к другим видам уравнения этой прямой или обратно. Подобными задачами мы занимались в предыдущем пункте этой статьи. Рассмотрим еще один пример.

Пример.

Найдите координаты какого-либо нормального вектора прямой, заданной в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости параметрическими уравнениями прямой вида формула.

Решение.

Если от параметрических уравнений прямой перейти к общему уравнению этой прямой, то сразу станут видны координаты нормального вектора прямой. Осуществим этот переход:
формула

Коэффициенты при переменных x и y дают искомые координаты нормального вектора. То есть, нормальный вектор прямой формула имеет координаты формула.

Ответ:

формула



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+