Параллельные плоскости, признак и условия параллельности плоскостей.
Эта статья посвящена параллельным плоскостям и параллельности плоскостей. Сначала дано определение параллельных плоскостей, введены обозначения, приведены примеры и графические иллюстрации. Далее приведен признак параллельности плоскостей и теоремы, позволяющие доказывать параллельность плоскостей. В заключении рассмотрены необходимые и достаточные условия параллельности плоскостей, которые заданы в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, а также подробно разобраны решения примеров.
Параллельные плоскости – основные сведения.
Дадим определение параллельных плоскостей.
Определение.
Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Для обозначения параллельности используется символ «
». Таким образом, если плоскости 
и 
параллельны, то можно кратко записать .
Обычно две параллельные плоскости на чертеже изображаются в виде одинаковых параллелограммов, смещенных относительно друг друга.
Отметим, что если плоскости и параллельны, то также можно сказать, что плоскость 
параллельна плоскости , или плоскость параллельна плоскости .
Представление о параллельных плоскостях позволяют получить, к примеру, плоскость потолка и пола. Противоположные грани куба лежат в параллельных плоскостях.
Параллельность плоскостей - признак и условия параллельности.
При решении геометрических задач часто встает вопрос: «параллельны ли две заданные плоскости»? Для ответа на него существует признак параллельности плоскостей, который представляет собой достаточное условие параллельности плоскостей. Сформулируем его в виде теоремы.
Теорема.
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
С доказательством этого признака параллельности плоскостей Вы можете ознакомиться на страницах учебника геометрии за 10-11 классы, который указан в конце статьи в списке рекомендованной литературы.
На практике для доказательства параллельности плоскостей также часто используются две следующие теоремы.
Теорема.
Если одна из двух параллельных плоскостей параллельна третьей плоскости, то другая плоскость либо тоже параллельна этой плоскости, либо совпадает с ней.
Теорема.
Если две несовпадающие плоскости перпендикулярны некоторой прямой, то они параллельны.
На основании приведенных теорем и признака параллельности плоскостей доказывается параллельность любых двух плоскостей.
Теперь подробно остановимся на необходимом и достаточном условии параллельности двух плоскостей и , которые заданы в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.
Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz плоскости соответствует общее уравнение плоскости вида 
, а плоскости - вида 
. (Если плоскости заданы уравнениями плоскостей в отрезках, то от них легко перейти к общим уравнениям плоскостей.)
Теорема.
Для параллельности плоскостей и необходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений вида 
не имела решений (была несовместна).
Доказательство.
Если плоскости и параллельны, то по определению они не имеют общих точек. Следовательно, не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, координаты которой удовлетворяли бы одновременно обоим уравнениям плоскостей. Поэтому, система уравнений не имеет решений.
Если система линейных уравнений не имеет решений, то не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, координаты которой удовлетворяют одновременно обоим уравнениям системы. Следовательно, плоскости и не имеют ни одной общей точки, то есть, они параллельны.
Рассмотрим применение необходимого и достаточного условия параллельности плоскостей.
Пример.
Параллельны ли плоскости 
и 
?
Решение.
Составим систему уравнений из заданных уравнений плоскостей. Она имеет вид 
. Выясним, имеет ли эта система линейных уравнений решения (при необходимости смотрите статью решение систем линейных алгебраических уравнений).
Ранг матрицы 
равен одному, так как все миноры второго порядка равны нулю. Ранг матрицы 
равен двум, так как минор 
отличен от нуля. Итак, ранг основной матрицы системы уравнений меньше ранга расширенной матрицы системы. При этом из теоремы Кронекера-Капелли следует, что система уравнений не имеет решений. Этим доказано, что плоскости 
и параллельны.
Заметим, что использование метода Гаусса для решения системы линейных уравнений привело бы нас к этому же результату.
Ответ:
плоскости параллельны.
Необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей можно сформулировать иначе.
Теорема.
Для параллельности двух несовпадающих плоскостей и необходимо и достаточно, чтобы нормальный вектор плоскости и нормальный вектор плоскости были коллинеарны.
Доказательство этого условия основано на определении нормального вектора плоскости.
Пусть 
и 
- нормальные векторы плоскостей и соответственно. Условие коллинеарности векторов и записывается как 
, где t – некоторое действительное число.
Таким образом, для параллельности несовпадающих плоскостей и , нормальными векторами которых являются векторы и соответственно, необходимо и достаточно, чтобы существовало действительное число t, для которого справедливо равенство 
.
Пример.
Известно, что в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве плоскость проходит через три точки 
, а плоскость определяется уравнением 
. Докажите параллельность плоскостей и .
Решение.
Сначала убедимся, что плоскости и не совпадают. Это действительно так, так как координаты точки А не удовлетворяют уравнению плоскости .
Теперь найдем координаты нормальных векторов 
и 
плоскостей и и проверим выполнение условия коллинеарности векторов и .
В качестве вектора можно взять векторное произведение векторов 
и 
. Векторы и имеют координаты 
и 
соответственно (при необходимости смотрите статью нахождение координат вектора по координатам точек его начала и конца). Тогда 
.
Чтобы определить координаты нормального вектора плоскости приведем ее уравнение к общему уравнению плоскости: 
. Теперь видно, что 
.
Проверим выполнение условия коллинеарности векторов 
и .
Так как 
, то векторы и связаны равенством 
, то есть, они коллинеарны.
Итак, плоскости и не совпадают, а их нормальные векторы коллинеарны, следовательно, плоскости и параллельны.
Замечание: разобранное необходимое и достаточное условие не очень удобно для доказательства параллельности плоскостей, так как отдельно приходится доказывать, что плоскости не совпадают.
Список литературы.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
- Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Некогда разбираться?