Прямая, плоскость, их уравнения

Параллельные плоскости, признак и условия параллельности плоскостей.


Эта статья посвящена параллельным плоскостям и параллельности плоскостей. Сначала дано определение параллельных плоскостей, введены обозначения, приведены примеры и графические иллюстрации. Далее приведен признак параллельности плоскостей и теоремы, позволяющие доказывать параллельность плоскостей. В заключении рассмотрены необходимые и достаточные условия параллельности плоскостей, которые заданы в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, а также подробно разобраны решения примеров.


Параллельные плоскости – основные сведения.

Дадим определение параллельных плоскостей.

Определение.

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Для обозначения параллельности используется символ «значок параллельности». Таким образом, если плоскости формула и формула параллельны, то можно кратко записать формулаформулаформула.

Обычно две параллельные плоскости на чертеже изображаются в виде одинаковых параллелограммов, смещенных относительно друг друга.

изображение

Отметим, что если плоскости формула и формула параллельны, то также можно сказать, что плоскость формула параллельна плоскости формула, или плоскость формула параллельна плоскости формула.

Представление о параллельных плоскостях позволяют получить, к примеру, плоскость потолка и пола. Противоположные грани куба лежат в параллельных плоскостях.

Параллельность плоскостей - признак и условия параллельности.


При решении геометрических задач часто встает вопрос: «параллельны ли две заданные плоскости»? Для ответа на него существует признак параллельности плоскостей, который представляет собой достаточное условие параллельности плоскостей. Сформулируем его в виде теоремы.

Теорема.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

С доказательством этого признака параллельности плоскостей Вы можете ознакомиться на страницах учебника геометрии за 10-11 классы, который указан в конце статьи в списке рекомендованной литературы.

На практике для доказательства параллельности плоскостей также часто используются две следующие теоремы.

Теорема.

Если одна из двух параллельных плоскостей параллельна третьей плоскости, то другая плоскость либо тоже параллельна этой плоскости, либо совпадает с ней.

Теорема.

Если две несовпадающие плоскости перпендикулярны некоторой прямой, то они параллельны.

На основании приведенных теорем и признака параллельности плоскостей доказывается параллельность любых двух плоскостей.

Теперь подробно остановимся на необходимом и достаточном условии параллельности двух плоскостей формула и формула, которые заданы в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz плоскости формула соответствует общее уравнение плоскости вида формула, а плоскости формула - вида формула. (Если плоскости заданы уравнениями плоскостей в отрезках, то от них легко перейти к общим уравнениям плоскостей.)

Теорема.

Для параллельности плоскостей формула и формула необходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений вида формула не имела решений (была несовместна).

Доказательство.

Если плоскости формула и формула параллельны, то по определению они не имеют общих точек. Следовательно, не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, координаты которой удовлетворяли бы одновременно обоим уравнениям плоскостей. Поэтому, система уравнений формула не имеет решений.

Если система линейных уравнений формула не имеет решений, то не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, координаты которой удовлетворяют одновременно обоим уравнениям системы. Следовательно, плоскости формула и формула не имеют ни одной общей точки, то есть, они параллельны.

Рассмотрим применение необходимого и достаточного условия параллельности плоскостей.

Пример.

Параллельны ли плоскости формула и формула?

Решение.

Составим систему уравнений из заданных уравнений плоскостей. Она имеет вид формула. Выясним, имеет ли эта система линейных уравнений решения (при необходимости смотрите статью решение систем линейных алгебраических уравнений).

Ранг матрицы формула равен одному, так как все миноры второго порядка равны нулю. Ранг матрицы формула равен двум, так как минор формула отличен от нуля. Итак, ранг основной матрицы системы уравнений меньше ранга расширенной матрицы системы. При этом из теоремы Кронекера-Капелли следует, что система уравнений формула не имеет решений. Этим доказано, что плоскости формула и формула параллельны.

Заметим, что использование метода Гаусса для решения системы линейных уравнений формула привело бы нас к этому же результату.

Ответ:

плоскости параллельны.

Необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей можно сформулировать иначе.

Теорема.

Для параллельности двух несовпадающих плоскостей формула и формула необходимо и достаточно, чтобы нормальный вектор плоскости формула и нормальный вектор плоскости формула были коллинеарны.

Доказательство этого условия основано на определении нормального вектора плоскости.

Пусть формула и формула - нормальные векторы плоскостей формула и формула соответственно. Условие коллинеарности векторов формула и формула записывается как формула, где t – некоторое действительное число.

Таким образом, для параллельности несовпадающих плоскостей формула и формула, нормальными векторами которых являются векторы формула и формула соответственно, необходимо и достаточно, чтобы существовало действительное число t, для которого справедливо равенство формула.

Пример.

Известно, что в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве плоскость формула проходит через три точки формула, а плоскость формула определяется уравнением формула. Докажите параллельность плоскостей формула и формула.

Решение.

Сначала убедимся, что плоскости формула и формула не совпадают. Это действительно так, так как координаты точки А не удовлетворяют уравнению плоскости формула.

Теперь найдем координаты нормальных векторов формула и формула плоскостей формула и формула и проверим выполнение условия коллинеарности векторов формула и формула.

В качестве вектора формула можно взять векторное произведение векторов формула и формула. Векторы формула и формула имеют координаты формула и формула соответственно (при необходимости смотрите статью нахождение координат вектора по координатам точек его начала и конца). Тогда формула.

Чтобы определить координаты нормального вектора плоскости формула приведем ее уравнение к общему уравнению плоскости: формула. Теперь видно, что формула.

Проверим выполнение условия коллинеарности векторов формула и формула.

Так как формула, то векторы формула и формула связаны равенством формула, то есть, они коллинеарны.

Итак, плоскости формула и формула не совпадают, а их нормальные векторы коллинеарны, следовательно, плоскости формула и формула параллельны.

Замечание: разобранное необходимое и достаточное условие не очень удобно для доказательства параллельности плоскостей, так как отдельно приходится доказывать, что плоскости не совпадают.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+