Прямая, плоскость, их уравнения

Параллельные прямая и плоскость, признак и условия параллельности прямой и плоскости.


В этой статье всесторонне раскрыта тема «параллельность прямой и плоскости». Сначала дано определение параллельных прямой и плоскости, приведена графическая иллюстрация и пример. Далее сформулирован признак параллельности прямой и плоскости, а также озвучены необходимые и достаточные условия параллельности прямой и плоскости. В заключении приведены развернутые решения задач, в которых доказывается параллельность прямой и плоскости.


Параллельные прямая и плоскость – основные сведения.

Начнем с определения параллельных прямой и плоскости.

Определение.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Для обозначения параллельности используется символ «значок параллельности». То есть, если прямая a и плоскость формула параллельны, то можно кратко записать aформулаформула.

изображение

Заметим, что выражения «прямая a и плоскость формула параллельны», «прямая a параллельна плоскости формула» и «плоскость формула параллельна прямой a» одинаково употребимы.

В качестве примера параллельных прямой и плоскости приведем натянутую гитарную струну и плоскость грифа этой гитары.

Параллельность прямой и плоскости - признак и условия параллельности.


Параллельность прямой и плоскости далеко не всегда является очевидным фактом. Другими словами, параллельность прямой и плоскости приходится доказывать. Существует достаточное условие, выполнение которого гарантирует параллельность прямой и плоскости. Это условие называют признаком параллельности прямой и плоскости. Прежде чем ознакомиться с формулировкой этого признака, рекомендуем повторить определение параллельных прямых.

Теорема.

Если прямая a, не лежащая в плоскости формула, параллельна некоторой прямой b, которая лежит в плоскости формула, то прямая a параллельна плоскости формула.

Озвучим еще одну теорему, которую можно использовать для установления параллельности прямой и плоскости.

Теорема.

Если одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости, то вторая прямая либо также параллельна этой плоскости, либо лежит в ней.

Доказательство признака параллельности прямой и плоскости и доказательство озвученной теоремы приводятся в учебнике геометрии за 10-11 классы, который указан в конце статьи в списке рекомендованной литературы.

Определение направляющего вектора прямой и определение нормального вектора плоскости позволяют записать необходимое и достаточное условие параллельности прямой и плоскости.

Теорема.

Для параллельности прямой a, не лежащей в плоскости формула, и плоскости формула необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой a был перпендикулярен нормальному вектору плоскости формула.

Это условие удобно использовать для доказательства параллельности прямой и плоскости, которые заданы в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве некоторыми уравнениями.

Пусть прямую a в прямоугольной системе координат Oxyz задают канонические уравнения прямой в пространстве вида формула или параметрические уравнения прямой в пространстве вида формула, а плоскости формула соответствует общее уравнение плоскости формула. Тогда формула - направляющий вектор прямой a, а формула - нормальный вектор плоскости формула. Для перпендикулярности векторов формула и формула необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение формула равнялось нулю (об этом написано в статье условие перпендикулярности двух векторов).

Следовательно, необходимое и достаточное условие параллельности прямой a и плоскости формула (a не лежит в плоскости формула) примет вид формула, где формула - направляющий вектор прямой a, формула - нормальный вектор плоскости формула.

Разберем решения нескольких примеров.

Пример.

Являются ли прямая формула и плоскость формула параллельными?

Решение.

Заданная прямая не лежит в плоскости, так как координаты точки прямой формула не удовлетворяют уравнению плоскости: формула. Проверим выполнение необходимого и достаточного условия параллельности прямой и плоскости. Очевидно, формула - направляющий вектор прямой формула, формула - нормальный вектор плоскости формула. Вычислим скалярное произведение векторов формула и формула: формула. Таким образом, векторы формула и формула перпендикулярны. Следовательно, заданные прямая и плоскость параллельны.

Ответ:

да, прямая и плоскость параллельны.

Пример.

Параллельна ли прямая АВ координатной плоскости Oyz, если формула.

Решение.

Точка формула не лежит в координатной плоскости Oyz, так как абсцисса этой точки отлична от нуля.

Нормальным вектором плоскости Oyz является вектор формула. В качестве направляющего вектора прямой AB возьмем вектор формула. Координаты точек начала и конца вектора позволяют вычислить координаты этого вектора, тогда формула. Проверим выполнение необходимого и достаточного условия перпендикулярности векторов формула и формула: формула. Следовательно, прямая AB и координатная плоскость Oyz не параллельны.

Ответ:

нет, не параллельны.

Разобранное условие не совсем удобно для доказательства параллельности прямой a и плоскости формула, так как отдельно приходится проверять, что прямая a не лежит в плоскости формула. Поэтому, доказывать параллельность прямой a и плоскости формула удобнее с помощью следующего необходимого и достаточного условия.

Пусть прямая a задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей формула,
а плоскость формула - общим уравнением плоскости формула.

Теорема.

Для параллельности прямой a и плоскости формула необходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений вида формула не имела решений.

Доказательство.

Действительно, если прямая a параллельна плоскости формула, то они по определению не имеют общих точек. Следовательно, не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz, координаты которой удовлетворяли бы одновременно и уравнениям прямой формула и уравнению плоскости формула. Значит, система уравнений вида формула несовместна.

И обратно: если система уравнений вида формула не имеет решений, то не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz, координаты которой удовлетворяли бы одновременно всем уравнениям системы. Тогда, не существует точки, координаты которой одновременно удовлетворяют и уравнениям прямой формула и уравнению плоскости формула. Следовательно, прямая a и плоскость формула не имеют общих точек, то есть, они параллельны.

В свою очередь система уравнений формула не имеет решений, когда ранг основной матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы (это следует из теоремы Кронекера-Капелли, при необходимости смотрите статью решение систем линейных уравнений). Несовместность этой системы уравнений можно также показать, используя метод Гаусса для решения систем линейных уравнений.

Пример.

Докажите параллельность прямой формула и плоскости формула.

Решение.

Перейдем от канонических уравнений прямой к уравнениям двух пересекающихся плоскостей:
формула

Для доказательства параллельности прямой формула и плоскости формула покажем, что система уравнений формула не имеет решения. Воспользуемся методом Гаусса:
формула

Действительно, система уравнений несовместна, следовательно, заданные прямая и плоскость не имеют общих точек. Этим доказана параллельность прямой формула и плоскости формула.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+