Параллельные прямая и плоскость, признак и условия параллельности прямой и плоскости.
В этой статье всесторонне раскрыта тема «параллельность прямой и плоскости». Сначала дано определение параллельных прямой и плоскости, приведена графическая иллюстрация и пример. Далее сформулирован признак параллельности прямой и плоскости, а также озвучены необходимые и достаточные условия параллельности прямой и плоскости. В заключении приведены развернутые решения задач, в которых доказывается параллельность прямой и плоскости.
Параллельные прямая и плоскость – основные сведения.
Начнем с определения параллельных прямой и плоскости.
Определение.
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Для обозначения параллельности используется символ «
». То есть, если прямая a и плоскость 
параллельны, то можно кратко записать a.
Заметим, что выражения «прямая a и плоскость параллельны», «прямая a параллельна плоскости » и «плоскость параллельна прямой a» одинаково употребимы.
В качестве примера параллельных прямой и плоскости приведем натянутую гитарную струну и плоскость грифа этой гитары.
Параллельность прямой и плоскости - признак и условия параллельности.
Параллельность прямой и плоскости далеко не всегда является очевидным фактом. Другими словами, параллельность прямой и плоскости приходится доказывать. Существует достаточное условие, выполнение которого гарантирует параллельность прямой и плоскости. Это условие называют признаком параллельности прямой и плоскости. Прежде чем ознакомиться с формулировкой этого признака, рекомендуем повторить определение параллельных прямых.
Теорема.
Если прямая a, не лежащая в плоскости , параллельна некоторой прямой b, которая лежит в плоскости , то прямая a параллельна плоскости .
Озвучим еще одну теорему, которую можно использовать для установления параллельности прямой и плоскости.
Теорема.
Если одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости, то вторая прямая либо также параллельна этой плоскости, либо лежит в ней.
Доказательство признака параллельности прямой и плоскости и доказательство озвученной теоремы приводятся в учебнике геометрии за 10-11 классы, который указан в конце статьи в списке рекомендованной литературы.
Определение направляющего вектора прямой и определение нормального вектора плоскости позволяют записать необходимое и достаточное условие параллельности прямой и плоскости.
Теорема.
Для параллельности прямой a, не лежащей в плоскости , и плоскости необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой a был перпендикулярен нормальному вектору плоскости .
Это условие удобно использовать для доказательства параллельности прямой и плоскости, которые заданы в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве некоторыми уравнениями.
Пусть прямую a в прямоугольной системе координат Oxyz задают канонические уравнения прямой в пространстве вида 
или параметрические уравнения прямой в пространстве вида 
, а плоскости соответствует общее уравнение плоскости 
. Тогда 
- направляющий вектор прямой a, а 
- нормальный вектор плоскости . Для перпендикулярности векторов и необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение 
равнялось нулю (об этом написано в статье условие перпендикулярности двух векторов).
Следовательно, необходимое и достаточное условие параллельности прямой a и плоскости (a не лежит в плоскости ) примет вид 
, где - направляющий вектор прямой a, - нормальный вектор плоскости .
Разберем решения нескольких примеров.
Пример.
Являются ли прямая 
и плоскость 
параллельными?
Решение.
Заданная прямая не лежит в плоскости, так как координаты точки прямой 
не удовлетворяют уравнению плоскости: 
. Проверим выполнение необходимого и достаточного условия параллельности прямой и плоскости. Очевидно, 
- направляющий вектор прямой , 
- нормальный вектор плоскости . Вычислим скалярное произведение векторов 
и 
: 
. Таким образом, векторы и перпендикулярны. Следовательно, заданные прямая и плоскость параллельны.
Ответ:
да, прямая и плоскость параллельны.
Пример.
Параллельна ли прямая АВ координатной плоскости Oyz, если 
.
Решение.
Точка 
не лежит в координатной плоскости Oyz, так как абсцисса этой точки отлична от нуля.
Нормальным вектором плоскости Oyz является вектор 
. В качестве направляющего вектора прямой AB возьмем вектор 
. Координаты точек начала и конца вектора позволяют вычислить координаты этого вектора, тогда 
. Проверим выполнение необходимого и достаточного условия перпендикулярности векторов и : 
. Следовательно, прямая AB и координатная плоскость Oyz не параллельны.
Ответ:
нет, не параллельны.
Разобранное условие не совсем удобно для доказательства параллельности прямой a и плоскости , так как отдельно приходится проверять, что прямая a не лежит в плоскости . Поэтому, доказывать параллельность прямой a и плоскости удобнее с помощью следующего необходимого и достаточного условия.
Пусть прямая a задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей 
,
а плоскость - общим уравнением плоскости 
.
Теорема.
Для параллельности прямой a и плоскости необходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений вида 
не имела решений.
Доказательство.
Действительно, если прямая a параллельна плоскости , то они по определению не имеют общих точек. Следовательно, не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz, координаты которой удовлетворяли бы одновременно и уравнениям прямой и уравнению плоскости . Значит, система уравнений вида несовместна.
И обратно: если система уравнений вида не имеет решений, то не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz, координаты которой удовлетворяли бы одновременно всем уравнениям системы. Тогда, не существует точки, координаты которой одновременно удовлетворяют и уравнениям прямой и уравнению плоскости . Следовательно, прямая a и плоскость не имеют общих точек, то есть, они параллельны.
В свою очередь система уравнений не имеет решений, когда ранг основной матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы (это следует из теоремы Кронекера-Капелли, при необходимости смотрите статью решение систем линейных уравнений). Несовместность этой системы уравнений можно также показать, используя метод Гаусса для решения систем линейных уравнений.
Пример.
Докажите параллельность прямой 
и плоскости 
.
Решение.
Перейдем от канонических уравнений прямой к уравнениям двух пересекающихся плоскостей:
Для доказательства параллельности прямой 
и плоскости покажем, что система уравнений 
не имеет решения. Воспользуемся методом Гаусса:
Действительно, система уравнений несовместна, следовательно, заданные прямая и плоскость не имеют общих точек. Этим доказана параллельность прямой и плоскости .
Список литературы.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
- Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Некогда разбираться?