Математика на cleverstudents.ru

Прямая, плоскость, их уравнения

Нормальный вектор прямой, координаты нормального вектора прямой.

При изучении уравнений прямой линии на плоскости и в трехмерном пространстве мы опираемся на алгебру векторов. При этом особое значение имеют направляющий вектор прямой и нормальный вектор прямой. В этой статье мы подробно рассмотрим нормальный вектор прямой. Начнем с определения нормального вектора прямой, приведем примеры и графические иллюстрации. Следом перейдем к нахождению координат нормального вектора прямой по известным уравнениям прямой, при этом покажем подробные решения задач.

Нормальный вектор прямой – определение, примеры, иллюстрации.

Для понимания материала Вам необходимо иметь четкое представление о прямой линии, о плоскости, а также знать основные определения, связанные с векторами. Поэтому рекомендуем сначала освежить в памяти материал статей прямая на плоскости, прямая в пространстве, представление о плоскости и векторы – основные определения.

Дадим определение нормального вектора прямой.

Из определения нормального вектора прямой понятно, что существует бесконечное множество нормальных векторов данной прямой.

Так как прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и второй прямой, то можно утверждать, что множества нормальных векторов параллельных прямых совпадают. То есть, если прямые a и a₁ параллельны и - нормальный вектор прямой a, то также является нормальным вектором прямой a₁. Более того, если нормальный вектор прямой a, то любой вектор при некотором ненулевом действительном значении t также является нормальным вектором прямой a (смотрите статью условие коллинеарности векторов).

Определение нормального вектора прямой и определение направляющего вектора прямой позволяют заключить, что любой нормальный вектор данной прямой перпендикулярен любому направляющему вектору этой прямой.

Приведем пример нормального вектора прямой.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Oxy. Одним из множества нормальных векторов координатной прямой Ox является координатный вектор . Действительно, вектор ненулевой и лежит на координатной прямой Oy, которая перпендикулярна оси Ox. Множество всех нормальных векторов координатной прямой Ox в прямоугольной системе координат Oxy можно задать как .

В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве нормальным вектором прямой Oz является вектор . Координатный вектор также является нормальным вектором прямой Oz. Очевидно, что любой ненулевой вектор, лежащий в любой плоскости, перпендикулярной оси Oz, будет нормальным вектором прямой Oz.

Координаты нормального вектора прямой – нахождение координат нормального вектора прямой по известным уравнениям этой прямой.

Если рассматривать прямую в прямоугольной системе координат Oxy, то ей будут соответствовать уравнение прямой на плоскости некоторого вида, а нормальные векторы прямой будут определяться своими координатами (смотрите статью координаты вектора). При этом встает вопрос: «как найти координаты нормального вектора прямой, когда нам известно уравнение этой прямой»?

Найдем ответ на поставленный вопрос для прямых, заданных на плоскости уравнениями различного вида.

Если прямую линию на плоскости определяет общее уравнение прямой вида , то коэффициенты А и B представляют собой соответствующие координаты нормального вектора этой прямой.

Одно из чисел A или B в общем уравнении прямой может равняться нулю. Это не должно Вас смущать. Рассмотрим на примере.

Уравнение прямой в отрезках вида или уравнение прямой с угловым коэффициентом легко приводятся к общему уравнению прямой, откуда и находятся координаты нормального вектора этой прямой.

Если прямую определяет каноническое уравнение прямой на плоскости вида или параметрические уравнения прямой на плоскости вида , то координаты нормального вектора получить немного сложнее. Из этих уравнений сразу видны координаты направляющего вектора прямой - . Найти координаты нормального вектора этой прямой позволяет условие перпендикулярности векторов и .

Также можно получить координаты нормального вектора прямой, если привести каноническое уравнение прямой или параметрические уравнения прямой к общему уравнению. Для этого производят следующие преобразования:

Как способ предпочесть – решать Вам.

Покажем решения примеров.

Осталось рассмотреть способы нахождения координат нормального вектора прямой, которую определяют некоторые уравнения прямой в пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz.

Если прямая задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей и , то ее нормальным вектором является как нормальный вектор плоскости , так и нормальный вектор плоскости , то есть, векторы и .

Если прямую определяют канонические уравнения прямой в пространстве вида или параметрические уравнения прямой в пространстве вида , то числа a_x, a_y и a_z являются координатами направляющего вектора этой прямой. Нормальным вектором такой прямой является любой ненулевой вектор, перпендикулярный вектору . Таким образом, чтобы найти координаты нормального вектора прямой, заданной параметрическими или каноническими уравнениями в пространстве, нужно найти координаты вектора, перпендикулярного заданному вектору .

Некогда разбираться?

Закажите решение