Прямая, плоскость, их уравнения

Нормальный вектор прямой, координаты нормального вектора прямой.


При изучении уравнений прямой линии на плоскости и в трехмерном пространстве мы опираемся на алгебру векторов. При этом особое значение имеют направляющий вектор прямой и нормальный вектор прямой. В этой статье мы подробно рассмотрим нормальный вектор прямой. Начнем с определения нормального вектора прямой, приведем примеры и графические иллюстрации. Следом перейдем к нахождению координат нормального вектора прямой по известным уравнениям прямой, при этом покажем подробные решения задач.


Нормальный вектор прямой – определение, примеры, иллюстрации.

Для понимания материала Вам необходимо иметь четкое представление о прямой линии, о плоскости, а также знать основные определения, связанные с векторами. Поэтому рекомендуем сначала освежить в памяти материал статей прямая на плоскости, прямая в пространстве, представление о плоскости и векторы – основные определения.

Дадим определение нормального вектора прямой.

Определение.

Нормальный вектор прямой - это любой ненулевой вектор, лежащий на любой прямой перпендикулярной данной.

Из определения нормального вектора прямой понятно, что существует бесконечное множество нормальных векторов данной прямой.

изображение

Так как прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и второй прямой, то можно утверждать, что множества нормальных векторов параллельных прямых совпадают. То есть, если прямые a и a1 параллельны и формула - нормальный вектор прямой a, то формула также является нормальным вектором прямой a1. Более того, если формула нормальный вектор прямой a, то любой вектор формула при некотором ненулевом действительном значении t также является нормальным вектором прямой a (смотрите статью условие коллинеарности векторов).

Определение нормального вектора прямой и определение направляющего вектора прямой позволяют заключить, что любой нормальный вектор данной прямой перпендикулярен любому направляющему вектору этой прямой.

Приведем пример нормального вектора прямой.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Oxy. Одним из множества нормальных векторов координатной прямой Ox является координатный вектор формула. Действительно, вектор формула ненулевой и лежит на координатной прямой Oy, которая перпендикулярна оси Ox. Множество всех нормальных векторов координатной прямой Ox в прямоугольной системе координат Oxy можно задать как формула.

В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве нормальным вектором прямой Oz является вектор формула. Координатный вектор формула также является нормальным вектором прямой Oz. Очевидно, что любой ненулевой вектор, лежащий в любой плоскости, перпендикулярной оси Oz, будет нормальным вектором прямой Oz.

Координаты нормального вектора прямой – нахождение координат нормального вектора прямой по известным уравнениям этой прямой.


Если рассматривать прямую в прямоугольной системе координат Oxy, то ей будут соответствовать уравнение прямой на плоскости некоторого вида, а нормальные векторы прямой будут определяться своими координатами (смотрите статью координаты вектора). При этом встает вопрос: «как найти координаты нормального вектора прямой, когда нам известно уравнение этой прямой»?

Найдем ответ на поставленный вопрос для прямых, заданных на плоскости уравнениями различного вида.

Если прямую линию на плоскости определяет общее уравнение прямой вида формула, то коэффициенты А и B представляют собой соответствующие координаты нормального вектора этой прямой.

Пример.

Найдите координаты какого-нибудь нормального вектора прямой формула.

Решение.

Так как прямая задана общим уравнением, то мы сразу можем записать координаты ее нормального вектора – ими являются соответствующие коэффициенты перед переменными x и y. То есть, нормальный вектор прямой имеет координаты формула.

Ответ:

формула

Одно из чисел A или B в общем уравнении прямой может равняться нулю. Это не должно Вас смущать. Рассмотрим на примере.

Пример.

Укажите любой нормальный вектор прямой формула.

Решение.

Нам дано неполное общее уравнение прямой. Его можно переписать в виде формула, откуда сразу видны координаты нормального вектора этой прямой: формула.

Ответ:

формула

Уравнение прямой в отрезках вида формула или уравнение прямой с угловым коэффициентом формула легко приводятся к общему уравнению прямой, откуда и находятся координаты нормального вектора этой прямой.

Пример.

Найдите координаты нормального вектора прямой формула.

Решение.

От уравнения прямой в отрезках очень легко перейти к общему уравнению прямой: формула. Следовательно, нормальный вектор этой прямой имеет координаты формула.

Ответ:

формула

Если прямую определяет каноническое уравнение прямой на плоскости вида формула или параметрические уравнения прямой на плоскости вида формула, то координаты нормального вектора получить немного сложнее. Из этих уравнений сразу видны координаты направляющего вектора прямой - формула. Найти координаты нормального вектора формула этой прямой позволяет условие перпендикулярности векторов формула и формула.

Также можно получить координаты нормального вектора прямой, если привести каноническое уравнение прямой или параметрические уравнения прямой к общему уравнению. Для этого производят следующие преобразования:
формула

Как способ предпочесть – решать Вам.

Покажем решения примеров.

Пример.

Найдите какой-нибудь нормальный вектор прямой формула.

Решение.

Направляющим вектором прямой формула является вектор формула. Нормальный вектор формула прямой формула перпендикулярен вектору формула, тогда скалярное произведение векторов формула и формула равно нулю: формула. Из этого равенства, придав nx произвольное ненулевое действительное значение, найдем ny. Пусть nx=1, тогда формула, следовательно, нормальный вектор исходной прямой имеет координаты формула.

Второй способ решения.

Перейдем от канонического уравнения прямой к общему уравнению: формула. Теперь стали видны координаты нормального вектора этой прямой формула.

Ответ:

формула или формула

Пример.

Укажите координаты какого-либо нормального вектора прямой, заданной параметрическими уравнениями формула.

Решение.

Перейдем к общему уравнению этой прямой. Для этого выполним следующие действия:
формула

Теперь видны координаты нормального вектора прямой: формула.

Ответ:

формула

Осталось рассмотреть способы нахождения координат нормального вектора прямой, которую определяют некоторые уравнения прямой в пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz.

Если прямая задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей формула и формула, то ее нормальным вектором является как нормальный вектор плоскости формула, так и нормальный вектор плоскости формула, то есть, векторы формула и формула.

Если прямую определяют канонические уравнения прямой в пространстве вида формула или параметрические уравнения прямой в пространстве вида формула, то числа ax, ay и az являются координатами направляющего вектора этой прямой. Нормальным вектором такой прямой является любой ненулевой вектор, перпендикулярный вектору формула. Таким образом, чтобы найти координаты нормального вектора прямой, заданной параметрическими или каноническими уравнениями в пространстве, нужно найти координаты вектора, перпендикулярного заданному вектору формула.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+