Прямая, плоскость, их уравнения

Нормальное (нормированное) уравнение прямой - описание, примеры, решение задач.


В этой статье всесторонне разобрано нормальное уравнение прямой на плоскости. Сначала получено нормальное уравнение прямой, приведен пример нормального уравнения прямой. Далее дано определение нормирующего множителя и разобрано приведение общего уравнения прямой к нормальному виду. В заключении на примерах показано основное приложение нормального уравнения прямой - нахождение расстояния от точки до прямой на плоскости.


Нормальное уравнение прямой – описание и пример.

Выведем нормальное уравнение прямой.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. Зададим прямую в этой системе координат, указав точку, через которую она проходит, и нормальный вектор прямой. В качестве нормального вектора нашей прямой возьмем вектор единичной длины формула, с началом в точке O. Его координаты равны соответственно формула и формула, где формула и формула - углы между вектором формула и положительными направлениями координатных осей Ox и Oy соответственно, то есть, формула. В качестве точки, через которую проходит прямая, возьмем точку А и будем считать, что она находится на расстоянии p единиц (формула) от точки O в положительном направлении вектора формула (при p = 0 точка А совпадает с началом координат), то есть, формула.

Получим уравнение, которое задает эту прямую линию.

Очевидно, что точка формула лежит на рассматриваемой прямой тогда и только тогда, когда числовая проекция вектора формула на направление вектора формула равна p, то есть, при условии формула.

изображение

формула - радиус-вектор точки формула, следовательно, формула, что было показано в разделе координаты радиус-вектора точки. Тогда из определения скалярного произведения векторов мы получаем равенство формула, а это же скалярное произведение в координатной форме имеет вид формула. Следовательно, формула или формула. На этом вывод нормального уравнения прямой закончен.

Полученное уравнение вида формула называют нормальным уравнением прямой или нормированным уравнением прямой. Уравнение формула также называют уравнением прямой в нормальном виде.

Очевидно, нормальное уравнение прямой представляет собой общее уравнение прямой вида формула, в котором числа A и B таковы, что длина вектора формула равна единице, а число C неотрицательно.

Из вывода нормального уравнения прямой виден его геометрический смысл: нормальное уравнение прямой вида формула задает в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости прямую с нормальным вектором единичной длины формула расположенную на расстоянии p единиц от начала координат в положительном направлении вектора формула.

Для примера приведем нормальное уравнение прямой формула. Оно в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задает прямую линию, нормальный вектор которой имеет координаты формула, и эта прямая удаленна от начала координат на 3 единицы в направлении, совпадающем с направлением нормального вектора формула.

изображение

Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду.


Очень часто в условиях задач, решение которых подразумевает использование нормального уравнения прямой, уравнение прямой линии дается не в нормальном виде, а в каком-либо другом. Поэтому встает новая задача: привести заданное уравнение прямой к нормальному виду. Сейчас мы с ней и разберемся.

Сразу отметим, что нормальное уравнение прямой можно получить из общего уравнения прямой. Если прямая на плоскости задана иным уравнением прямой, то это уравнение следует сначала привести к общему уравнению прямой, а уже после этого приводить общее уравнение прямой к нормальному виду.

Итак, покажем приведение общего уравнения прямой формула к нормальному уравнению прямой.

Чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду нужно обе части равенства формула умножить на так называемый нормирующий множитель, который равен формула. Знак нормирующего множителя берется противоположным знаку слагаемого С. Если C = 0, то знак нормирующего множителя не имеет значения и может быть выбран произвольно.

Рассмотрим решения нескольких примеров.

Пример.

Приведите уравнение прямой формула к нормальному виду.

Решение.

Нам дано общее уравнение прямой, в котором А = 3, В = -4, С = -16. Таким образом, нормирующий множитель следует брать со знаком «+», так как С – отрицательное число. Вычислим значение нормирующего множителя: формула. Умножаем на одну пятую обе части исходного уравнения: формула. Последнее равенство является нормальным уравнением заданной прямой.

Ответ:

формула

Пример.

Получите нормальное уравнение прямой формула.

Решение.

Общее уравнение заданной прямой имеет вид формула. Так как С = 0, то знак нормирующего множителя значения не имеет. Возьмем нормирующий множитель со знаком «+»: формула. После умножения на нормирующий множитель обеих частей равенства формула получаем нормальное уравнение прямой формула.

Ответ:

формула

Нахождение расстояния от точки до прямой на плоскости.

Этот пункт статьи посвящен самому важному приложению нормального уравнения прямой – нахождению расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости.

Обозначим расстояние от точки формула до прямой, заданной нормальным уравнением формула, буквой формула. Тогда расстояние формула может быть вычислено по формуле формула. То есть, для нахождения расстояния от точки до прямой следует подставить координаты заданной точки в левую часть нормального уравнения заданной прямой и взять абсолютную величину полученного значения. Вывод этой формулы показан в статье нахождение расстояния от точки до прямой. Там же дан альтернативный способ вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости.

Приведем подробное решение примера.

Пример.

Найдите расстояние от точки формула до прямой, нормальное уравнение которой имеет вид формула.

Решение.

Из условия имеем формула. Воспользуемся формулой для вычисления расстояния от точки до прямой:
формула

Ответ:

формула

Пример.

Вычислите расстояние от точки формула до прямой формула.

Решение.

Приведем уравнение заданной прямой к нормальному виду. Для этого сначала получим общее уравнение прямой: формула. Вычислим нормирующий множитель формула. Умножим обе части общего уравнения прямой формула на нормирующий множитель: формула. Так мы получили нормальное уравнение прямой. Осталось для нахождения искомого расстояния подставить координаты заданной точки в левую часть нормального уравнения прямой и взять абсолютную величину: формула.

Ответ:

формула



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+