Математика на cleverstudents.ru

Прямая, плоскость, их уравнения

Нормальное (нормированное) уравнение прямой - описание, примеры, решение задач.

В этой статье всесторонне разобрано нормальное уравнение прямой на плоскости. Сначала получено нормальное уравнение прямой, приведен пример нормального уравнения прямой. Далее дано определение нормирующего множителя и разобрано приведение общего уравнения прямой к нормальному виду. В заключении на примерах показано основное приложение нормального уравнения прямой - нахождение расстояния от точки до прямой на плоскости.

Нормальное уравнение прямой – описание и пример.

Выведем нормальное уравнение прямой.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. Зададим прямую в этой системе координат, указав точку, через которую она проходит, и нормальный вектор прямой. В качестве нормального вектора нашей прямой возьмем вектор единичной длины , с началом в точке O. Его координаты равны соответственно и , где и - углы между вектором и положительными направлениями координатных осей Ox и Oy соответственно, то есть, . В качестве точки, через которую проходит прямая, возьмем точку А и будем считать, что она находится на расстоянии p единиц () от точки O в положительном направлении вектора (при p = 0 точка А совпадает с началом координат), то есть, .

Получим уравнение, которое задает эту прямую линию.

Очевидно, что точка лежит на рассматриваемой прямой тогда и только тогда, когда числовая проекция вектора на направление вектора равна p, то есть, при условии .

- радиус-вектор точки , следовательно, , что было показано в разделе координаты радиус-вектора точки. Тогда из определения скалярного произведения векторов мы получаем равенство , а это же скалярное произведение в координатной форме имеет вид . Следовательно, или . На этом вывод нормального уравнения прямой закончен.

Полученное уравнение вида называют нормальным уравнением прямой или нормированным уравнением прямой. Уравнение также называют уравнением прямой в нормальном виде.

Очевидно, нормальное уравнение прямой представляет собой общее уравнение прямой вида , в котором числа A и B таковы, что длина вектора равна единице, а число C неотрицательно.

Из вывода нормального уравнения прямой виден его геометрический смысл: нормальное уравнение прямой вида задает в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости прямую с нормальным вектором единичной длины расположенную на расстоянии p единиц от начала координат в положительном направлении вектора .

Для примера приведем нормальное уравнение прямой . Оно в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задает прямую линию, нормальный вектор которой имеет координаты , и эта прямая удаленна от начала координат на 3 единицы в направлении, совпадающем с направлением нормального вектора .

Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду.

Очень часто в условиях задач, решение которых подразумевает использование нормального уравнения прямой, уравнение прямой линии дается не в нормальном виде, а в каком-либо другом. Поэтому встает новая задача: привести заданное уравнение прямой к нормальному виду. Сейчас мы с ней и разберемся.

Сразу отметим, что нормальное уравнение прямой можно получить из общего уравнения прямой. Если прямая на плоскости задана иным уравнением прямой, то это уравнение следует сначала привести к общему уравнению прямой, а уже после этого приводить общее уравнение прямой к нормальному виду.

Итак, покажем приведение общего уравнения прямой к нормальному уравнению прямой.

Чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду нужно обе части равенства умножить на так называемый нормирующий множитель, который равен . Знак нормирующего множителя берется противоположным знаку слагаемого С. Если C = 0, то знак нормирующего множителя не имеет значения и может быть выбран произвольно.

Рассмотрим решения нескольких примеров.

Нахождение расстояния от точки до прямой на плоскости.

Этот пункт статьи посвящен самому важному приложению нормального уравнения прямой – нахождению расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости.

Обозначим расстояние от точки до прямой, заданной нормальным уравнением , буквой . Тогда расстояние может быть вычислено по формуле . То есть, для нахождения расстояния от точки до прямой следует подставить координаты заданной точки в левую часть нормального уравнения заданной прямой и взять абсолютную величину полученного значения. Вывод этой формулы показан в статье нахождение расстояния от точки до прямой. Там же дан альтернативный способ вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости.

Приведем подробное решение примера.

Некогда разбираться?

Закажите решение