Уравнения прямой, которая проходит через заданную точку и перпендикулярна к заданной плоскости.
В этой статье мы разберемся с нахождением уравнений прямой, которая в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве проходит через заданную точку и перпендикулярна к заданной плоскости. Сначала разберем принцип составления уравнений такой прямой, после чего перейдем к решению задач.
Принцип составления уравнений прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости.
Прежде чем приступить к составлению уравнений прямой, которая проходит через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной плоскости, освежим в памяти один момент.
В 10 классе на уроках геометрии доказывается теорема: через любую точку трехмерного пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная к заданной плоскости. Таким образом, мы можем определить конкретную прямую, указав точку, через которую она проходит, и плоскость, к которой она перпендикулярна.
Сформулируем условие задачи.
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, задана точка 
, плоскость 
и требуется написать уравнения прямой a, проходящей через точку М1 перпендикулярно к заданной плоскости .
Решим эту задачу.
Нам известны координаты точки M1, через которую проходит прямая a, уравнения которой нам требуется найти. Но этого мало, чтобы записать уравнения прямой a. Если мы будем знать еще координаты направляющего вектора прямой a, то сможем записать канонические уравнения прямой a в пространстве и параметрические уравнения прямой a в пространстве.
Как же определить координаты направляющего вектора прямой a? Да очень просто. Так как по условию прямая a перпендикулярна к плоскости , то нормальный вектор плоскости является направляющим вектором прямой a. Таким образом, нам остается отыскать координаты нормального вектора плоскости , принять их за соответствующие координаты направляющего вектора прямой a и записать требуемые уравнения прямой a.
В свою очередь координаты нормального вектора плоскости находятся в зависимости от способа задания плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz. Если плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz отвечает общее уравнение плоскости вида 
, то нормальным вектором плоскости является вектор 
. Если плоскость задается уравнением плоскости в отрезках 
, то от него следует перейти к общему уравнению плоскости 
, откуда станут видны координаты нормального вектора плоскости : 
. Если плоскость задана каким-либо другим способом (например, с помощью трех точек, не лежащих на одной прямой, или с помощью уравнений двух пересекающихся прямых, или с помощью уравнений двух параллельных прямых), то на основании этих данных следует определить общее уравнение плоскости , откуда получить координаты ее нормального вектора.
Итак, задача нахождения уравнений прямой, которая проходит через заданную точку пространства и перпендикулярна к заданной плоскости, решена. Осталось лишь рассмотреть несколько решенных примеров.
Примеры нахождения уравнений прямой, которая проходит через заданную точку пространства и перпендикулярна к заданной плоскости.
В этом пункте статьи мы приведем подробные решения наиболее характерных задач, в которых находятся уравнения прямой, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной плоскости.
Начнем с самого простого случая, когда требуется написать уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к одной из координатных плоскостей.
Пример.
Напишите канонические уравнения прямой a, которая проходит через точку 
и перпендикулярна координатной плоскости Oyz.
Решение.
Нормальным вектором координатной плоскости Oyz является координатный вектор 
. Так как прямая a перпендикулярна плоскости Oyz, то является ее направляющим вектором. Итак, мы знаем координаты точки, лежащей на прямой a, и координаты ее направляющего вектора, то есть, можем написать ее канонические уравнения: 
.
Ответ:
.
Аналогично решается задача, в условии которой даны координаты точки, через которую проходит прямая, и задана плоскость с помощью общего уравнения плоскости.
Пример.
Составьте параметрические уравнения прямой a, проходящей через точку 
перпендикулярно к плоскости 
.
Решение.
Направляющим вектором 
прямой a является нормальный вектор плоскости , то есть, 
. Теперь мы можем записать требуемые уравнения прямой a. Они имеют вид 
.
Ответ:
.
В заключении рассмотрим пример составления уравнений прямой, которая проходит через заданную точку пространства и перпендикулярна к плоскости, заданной тремя не лежащими на одной прямой точками.
Пример.
В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве заданы три точки 
. Напишите уравнения прямой a, проходящей через начало координат перпендикулярно к плоскости ABC.
Решение.
Направляющим вектором прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно к плоскости АВС, является нормальный вектор плоскости АВС. Нормальным вектором плоскости АВС является векторное произведение векторов 
и 
. Найти указанное векторное произведение мы сможем, если будем знать координаты векторов и . Вычислим координаты векторов и по координатам точек А, В и С (при необходимости смотрите статью нахождение координат вектора по координатам точек его конца и начала): 
.
Тогда, 
, а в координатной форме 
(при необходимости обращайтесь к статье координаты вектора).
Теперь мы можем записать требуемые уравнения прямой a, которая проходит через точку 
и перпендикулярна к плоскости ABC: 
.
Приведем второй способ решения этой задачи.
Составим уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки А, В и С, 
, откуда виден нормальный вектор этой плоскости 
. Далее принимаем этот вектор за направляющий вектор прямой a и записываем ее уравнения.
Ответ:
.
Список литературы.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
- Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Некогда разбираться?