Прямая, плоскость, их уравнения

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.


Эта статья о составлении уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной прямой. Сначала даны необходимые теоретические сведения, далее приведены подробные решения характерных примеров, в которых требуется записать уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.


Принцип составления уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной прямой.

Прежде чем приступить к нахождению уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой, обговорим некоторые важные моменты.

В средней школе на уроках геометрии доказывается следующая теорема: через заданную точку плоскости можно провести единственную прямую, перпендикулярную заданной прямой. Однако, через заданную точку трехмерного пространства можно провести бесконечно много прямых, перпендикулярных заданной прямой. Действительно, если построить плоскость формула, проходящую через заданную точку M1 перпендикулярно к заданной прямой b, то любая прямая, лежащая в этой плоскости и проходящая через заданную точку M1, перпендикулярна заданной прямой b.

изображение

Таким образом, задача о составлении уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой, имеет практическое значение лишь для случая на плоскости.

В трехмерном пространстве обычно ищут уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

Итак, пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxyz, задана прямая b, которой в этой системе координат соответствует уравнение прямой на плоскости некоторого вида, задана точка формула, и требуется написать уравнение прямой a, проходящей через точку M1 перпендикулярно прямой b.

Обсудим способы решения этой задачи.

Из условия нам известны координаты точки М1, лежащей на прямой a, уравнение которой нам предстоит составить. Но этого мало. Чтобы написать уравнение прямой a, нам нужно знать еще или координаты направляющего вектора прямой a, или координаты нормального вектора прямой a, или угловой коэффициент прямой a. Откуда нам получить эти данные? Ответ очевиден - из заданного уравнения прямой b. Так как прямые b и a перпендикулярны по условию, то направляющий вектор прямой b является нормальным вектором прямой a, нормальный вектор прямой b является направляющим вектором прямой a, а угловые коэффициенты формула и формула прямых b и a соответственно связаны соотношением формула (это мы обсуждали в статье перпендикулярные прямые, перпендикулярность прямых).

Итак, пусть мы нашли направляющий вектор прямой b вида формула, тогда нормальным вектором прямой a является вектор формула, где формула, следовательно, мы можем записать общее уравнение прямой a, которая проходит через точку формула и имеет нормальный вектор формула, в виде формула.

Если мы определили нормальный вектор прямой b вида формула, то направляющий вектор прямой a есть вектор формула, где формула, следовательно, мы можем составить каноническое уравнение прямой a или параметрические уравнения прямой a, которая проходит через точку формула и имеет направляющий вектор формула, в виде формула или формула соответственно.

Если же мы нашли угловой коэффициент формула прямой b, то угловой коэффициент прямой a равен формула, следовательно, мы можем написать уравнение прямой a, проходящей через точку формула и имеющей угловой коэффициент формула, в виде формула (об этом написано в статье уравнение прямой с угловым коэффициентом).

От найденного уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной прямой, можно при необходимости перейти к другому виду уравнения этой прямой.

Решение примеров на составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной прямой.


Давайте разберем составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной прямой, на примерах.

Пример.

Напишите уравнение прямой a, которая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости проходит через точку формула и перпендикулярна прямой b, заданной каноническим уравнением прямой формула.

Решение.

Очевидно, что формула - направляющий вектор прямой формула. Так как прямая a перпендикулярна прямой b, то координаты вектора формула являются координатами нормального вектора прямой a, то есть, формула. Уравнение прямой, проходящей через точку формула и имеющей нормальный вектор формула, записывается в виде формула. Это и есть искомое уравнение прямой, проходящей через точку формула перпендикулярно прямой формула.

Ответ:

формула.

Пример.

Составьте уравнение прямой, проходящей через начало прямоугольной декартовой системы координат Oxy перпендикулярно прямой формула.

Решение.

Очевидно, формула - нормальный вектор прямой формула, тогда формула - направляющий вектор прямой, уравнение которой мы ищем. Запишем уравнение прямой, которая проходит через начало координат (точку формула) и имеет направляющий вектор формула: формула. Это и есть уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно прямой формула.

Ответ:

формула.

Пример.

Напишите уравнение прямой, проходящей через точку формула перпендикулярно прямой формула.

Решение.

Угловой коэффициент прямой формула равен формула, тогда угловой коэффициент прямой, которая ей перпендикулярна, равен формула. Следовательно, уравнение прямой, проходящей через точку формула перпендикулярно прямой формула, имеет вид формула.

Ответ:

формула.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+