Прямая, плоскость, их уравнения

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой.


Эта статья является развернутым ответом на вопрос: «Как составить уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости параллельно заданной прямой»? Сначала приведена необходимая теория, после чего разобраны решения характерных задач. В заключении разобрано нахождение уравнений прямой, проходящей через заданную точку трехмерного пространства параллельно заданной прямой.


Уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости параллельно заданной прямой.

Чтобы составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости параллельно заданной прямой, не вызвало затруднений, вспомним важные факты.

Аксиома параллельных прямых гласит: на плоскости через точку, не лежащую на заданной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Таким образом, мы можем определить конкретную прямую a на плоскости, указав прямую линию b, которой параллельна прямая a, и точку М1, не лежащую на прямой b, через которую проходит прямая a.

Поставим перед собой следующую задачу.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. Пусть в этой системе координат задана точка формула и прямая b, которой соответствует некоторое уравнение прямой на плоскости. Требуется написать уравнение прямой a, которая проходит через точку М1 и параллельна прямой b.

Решим поставленную задачу.

Из условия мы знаем координаты точки М1, через которую проходит прямая a. Этих данных не достаточно, чтобы написать уравнение прямой a.

Нам еще нужно знать

Как же их найти?

По условию прямая a параллельна прямой b, тогда, на основании необходимого и достаточного условия параллельности двух прямых на плоскости, в качестве направляющего вектора прямой a мы можем принять направляющий вектор прямой b, в качестве нормального вектора прямой a мы можем взять нормальный вектор прямой b, а угловой коэффициент прямой a равен угловому коэффициенту прямой b (или они оба бесконечны).

Таким образом, чтобы в прямоугольной системе координат на плоскости написать уравнение прямой a, проходящей через заданную точку формула параллельно заданной прямой b, нужно определить

принять их соответственно в качестве

и записать требуемое уравнение прямой a соответственно в виде

Внесем ясности – приведем примеры с подробными решениями на каждый случай.

Пример.

Напишите уравнение прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости проходит через точку формула параллельно прямой формула.

Решение.

Из параметрических уравнений прямой формула нам сразу видны координаты ее направляющего вектора формула. Этот вектор является направляющим вектором прямой, уравнение которой нам требуется составить. Уравнение прямой, проходящей через точку формула и имеющей направляющий вектор с координатами формула, имеет вид формула.

Это и есть искомые уравнения прямой, проходящей через заданную точку формула параллельно заданной прямой формула.

Ответ:

формула.

Иногда требуется составить уравнение прямой определенного вида, проходящей через заданную точку плоскости параллельно заданной прямой. В этом случае сначала записываем уравнение прямой, которое проще всего получить, после чего приводим его к нужному виду.

Пример.

Составьте уравнение прямой в отрезках, если эта прямая в прямоугольной системе координат Oxy проходит через точку плоскости с координатами формула параллельно прямой формула.

Решение.

Очевидно, нормальным вектором прямой, общее уравнение которой имеет вид формула, является вектор формула. Этот вектор также является нормальным вектором прямой, уравнение которой мы ищем. Общее уравнение прямой, проходящей через точку с координатами формула и имеющей нормальный вектор формула имеет вид формула. Это общее уравнение прямой, проходящей через точку с координатами формула параллельно прямой формула. Осталось перейти от полученного уравнения прямой формула к требуемому уравнению прямой в отрезках: формула.

Ответ:

формула.

Пример.

Напишите уравнение прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости проходит через точку формула и параллельна прямой формула.

Решение.

Мы знаем, что угловые коэффициенты параллельных прямых равны (или бесконечны), тогда формула - угловой коэффициент прямой, уравнение которой нам требуется составить. По условию эта прямая проходит через точку формула, следовательно, ее уравнение имеет вид формула.

Ответ:

формула.

Итак, уравнение прямой a, проходящей через заданную точку плоскости M1 параллельно заданной прямой b, проще всего записывать в таком виде, в котором записано уравнение заданной прямой b.

Уравнения прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной прямой.


В трехмерном пространстве через точку М1, не лежащую на прямой b, проходит единственная прямая a, параллельная прямой b. Таким образом, прямую в пространстве можно задать, указав точку, через которую она проходит, и прямую, которой она параллельна.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, задана прямая b некоторыми уравнениями прямой в пространстве и точка формула. Требуется написать уравнения прямой a, проходящей через точку M1 параллельно прямой b.

Направляющим вектором прямой a является направляющий вектор прямой b. Таким образом, по известным уравнениям прямой b мы можем определить координаты ее направляющего вектора, а, следовательно, и координаты направляющего вектора прямой a. После этого мы можем записать канонические уравнения прямой a в пространстве и параметрические уравнения прямой a в пространстве, так как известны координаты точки, лежащей на прямой a, и координаты направляющего вектора прямой a.

Рассмотрим решения примеров.

Пример.

Напишите уравнения прямой, которая проходит через начало прямоугольной системы координат Oxyz в трехмерном пространстве параллельно прямой формула.

Решение.

Очевидно, направляющим вектором прямой формула является вектор с координатами формула. Этот же вектор является направляющим вектором прямой, уравнение которой мы составляем. По условию эта прямая проходит через точку формула, следовательно, ее канонические уравнения имеют вид формула.

Ответ:

формула.

От канонических уравнений прямой a при необходимости можно будет перейти к уравнениям двух плоскостей, пересекающихся по прямой a.

Пример.

В трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz заданы три точки формула. Напишите уравнения двух плоскостей, которые пересекаются по прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ.

Решение.

Направляющим вектором прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ, является вектор формула. По координатам точек В и А мы можем вычислить координаты вектора формула (при необходимости смотрите статью вычисление координат вектора по координатам точек конца и начала вектора): формула. Канонические уравнения прямой, проходящей через точку формула и имеющей направляющий вектор формула, запишутся как формула.

Осталось получить уравнения двух пересекающихся плоскостей, задающих эту прямую:
формула

Ответ:

формула.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+