Уравнения прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно двум заданным пересекающимся плоскостям.
В этой статье мы разберемся с задачей нахождения уравнений прямой, которая в прямоугольной системе координат в пространстве проходит через заданную точку и параллельна двум заданным пересекающимся плоскостям. Сначала дадим теоретические выкладки, необходимые для решения этой задачи, после чего приведем подробные решения примеров, в которых требуется составить уравнений прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно двум пересекающимся плоскостям.
Принцип нахождения уравнений прямой, проходящей через заданную точку параллельно двум пересекающимся плоскостям.
Будем постепенно подходить к составлению уравнений прямой, проходящей через заданную точку трехмерного пространства параллельно двум пересекающимся плоскостям.
Пусть в трехмерном пространстве задана точка М1 и две плоскости 
и 
, пересекающиеся по прямой b.
Методом от противного легко доказать, что прямая a, проходящая через точку М1 параллельно плоскостям и , параллельна прямой b, по которой пересекаются плоскости и . Действительно, если прямая a не параллельна прямой b, то она пересекает либо обе плоскости и , либо одну из плоскостей и , что противоречит условию параллельности прямой a плоскостям и .
Таким образом, если точку М1 и плоскости и рассматривать в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, то задача составления уравнений прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно двум заданным пересекающимся плоскостям, по сути эквивалентна задаче нахождения уравнений прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно прямой, по которой пересекаются две заданные плоскости.
Итак, из условия нам известны координаты точки М1, через которую проходит прямая a. Если мы еще найдем координаты направляющего вектора прямой a, то мы сможем написать канонические уравнения прямой в пространстве и параметрические уравнения прямой в пространстве.
Задача нахождения уравнений прямой a, проходящей через точку 
параллельно двум заданным плоскостям и , сводится к нахождению координат направляющего вектора прямой a. Покажем, как определить координаты направляющего вектора прямой a.
В зависимости от способа задания плоскостей и подбираются методы нахождения координат нормальных векторов этих плоскостей (этот вопрос подробно разобран в статье нормальный вектор плоскости). По этим методам находится 
- нормальный вектор плоскости и 
- нормальный вектор плоскости .
Так как прямая a параллельна обеим плоскостям и , то направляющий вектор прямой a (обозначим его 
) перпендикулярен как нормальному вектору плоскости , так и нормальному вектору плоскости . Следовательно, векторное произведение векторов 
и можно принять в качестве направляющего вектора прямой a, то есть, 
, откуда будут видны координаты направляющего вектора прямой a.
Подведем итог.
Чтобы написать уравнения прямой, которая проходит через точку и параллельна пересекающимся плоскостям и , нужно
-
определить координаты
и 
нормальных векторов 
и 
плоскостей и соответственно,
-
получить координаты
направляющего вектора прямой a, вычислив векторное произведение векторов и : ,
-
и записать канонические или параметрические уравнения прямой a, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор
в виде 
или 
.
Осталось лишь рассмотреть решения характерных примеров.
Примеры составления уравнений прямой, которая проходит через заданную точку пространства и параллельна двум заданным пересекающимся плоскостям.
Приведем подробные решения нескольких примеров, в которых требуется написать уравнения прямой, проходящей через заданную точку трехмерного пространства параллельно двум пересекающимся плоскостям.
Начнем с простого примера, когда координаты нормальных векторов заданных плоскостей очевидны.
Пример.
Напишите уравнения прямой a, которая проходит через точку 
, параллельна координатной плоскости Oxz и плоскости 
.
Решение.
Нормальным вектором плоскости Oxz является координатный вектор 
. Общее уравнение плоскости вида позволяет сразу записать ее нормальный вектор: 
.
Направляющим вектором прямой, которая проходит через заданную точку M1 параллельно двум заданным плоскостям, является векторное произведение векторов и : 
. Следовательно, 
(при необходимости смотрите статью координаты вектора в прямоугольной системе координат).
Теперь мы можем записать нужные уравнения прямой a. Они имеют вид 
.
Ответ:
.
Вообще, при решении задач на составление уравнений прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно двум заданным плоскостям, основную сложность составляет именно поиск координат нормальных векторов заданных плоскостей.
Пример.
В прямоугольной системе координат Oxyz заданы точки 
и плоскость 
. Составьте уравнения прямой, проходящей через точку М1 параллельно плоскостям ABC и 
.
Решение.
Чтобы определить координаты нормального вектора плоскости ABC получим ее общее уравнение (при необходимости смотрите статью уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки): 
, следовательно, плоскость АВС задается уравнением 
и 
- ее нормальный вектор.
Чтобы найти координаты нормального вектора плоскости (ее задает уравнение плоскости в отрезках), перейдем к общему уравнению этой плоскости: 
. Следовательно, 
- нормальный вектор плоскости .
Направляющим вектором прямой, уравнение которой нам требуется составить, принимаем векторное произведение векторов и : 
.
Тогда искомые уравнения прямой, которая проходит через точку 
параллельно плоскостям АВС и , имеют вид 
.
Ответ:
.
Список литературы.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
- Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Некогда разбираться?