Прямая, плоскость, их уравнения

Уравнения прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно двум заданным пересекающимся плоскостям.


В этой статье мы разберемся с задачей нахождения уравнений прямой, которая в прямоугольной системе координат в пространстве проходит через заданную точку и параллельна двум заданным пересекающимся плоскостям. Сначала дадим теоретические выкладки, необходимые для решения этой задачи, после чего приведем подробные решения примеров, в которых требуется составить уравнений прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно двум пересекающимся плоскостям.


Принцип нахождения уравнений прямой, проходящей через заданную точку параллельно двум пересекающимся плоскостям.

Будем постепенно подходить к составлению уравнений прямой, проходящей через заданную точку трехмерного пространства параллельно двум пересекающимся плоскостям.

Пусть в трехмерном пространстве задана точка М1 и две плоскости формула и формула, пересекающиеся по прямой b.

Методом от противного легко доказать, что прямая a, проходящая через точку М1 параллельно плоскостям формула и формула, параллельна прямой b, по которой пересекаются плоскости формула и формула. Действительно, если прямая a не параллельна прямой b, то она пересекает либо обе плоскости формула и формула, либо одну из плоскостей формула и формула, что противоречит условию параллельности прямой a плоскостям формула и формула.

изображение

Таким образом, если точку М1 и плоскости формула и формула рассматривать в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, то задача составления уравнений прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно двум заданным пересекающимся плоскостям, по сути эквивалентна задаче нахождения уравнений прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно прямой, по которой пересекаются две заданные плоскости.

Итак, из условия нам известны координаты точки М1, через которую проходит прямая a. Если мы еще найдем координаты направляющего вектора прямой a, то мы сможем написать канонические уравнения прямой в пространстве и параметрические уравнения прямой в пространстве.

Задача нахождения уравнений прямой a, проходящей через точку формула параллельно двум заданным плоскостям формула и формула, сводится к нахождению координат направляющего вектора прямой a. Покажем, как определить координаты направляющего вектора прямой a.

В зависимости от способа задания плоскостей формула и формула подбираются методы нахождения координат нормальных векторов этих плоскостей (этот вопрос подробно разобран в статье нормальный вектор плоскости). По этим методам находится формула - нормальный вектор плоскости формула и формула - нормальный вектор плоскости формула.

Так как прямая a параллельна обеим плоскостям формула и формула, то направляющий вектор прямой a (обозначим его формула) перпендикулярен как нормальному вектору плоскости формула, так и нормальному вектору плоскости формула. Следовательно, векторное произведение векторов формула и формула можно принять в качестве направляющего вектора прямой a, то есть, формула, откуда будут видны координаты направляющего вектора прямой a.

Подведем итог.

Чтобы написать уравнения прямой, которая проходит через точку формула и параллельна пересекающимся плоскостям формула и формула, нужно

Осталось лишь рассмотреть решения характерных примеров.

Примеры составления уравнений прямой, которая проходит через заданную точку пространства и параллельна двум заданным пересекающимся плоскостям.


Приведем подробные решения нескольких примеров, в которых требуется написать уравнения прямой, проходящей через заданную точку трехмерного пространства параллельно двум пересекающимся плоскостям.

Начнем с простого примера, когда координаты нормальных векторов заданных плоскостей очевидны.

Пример.

Напишите уравнения прямой a, которая проходит через точку формула, параллельна координатной плоскости Oxz и плоскости формула.

Решение.

Нормальным вектором плоскости Oxz является координатный вектор формула. Общее уравнение плоскости вида формула позволяет сразу записать ее нормальный вектор: формула.

Направляющим вектором прямой, которая проходит через заданную точку M1 параллельно двум заданным плоскостям, является векторное произведение векторов формула и формула: формула. Следовательно, формула (при необходимости смотрите статью координаты вектора в прямоугольной системе координат).

Теперь мы можем записать нужные уравнения прямой a. Они имеют вид формула.

Ответ:

формула.

Вообще, при решении задач на составление уравнений прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно двум заданным плоскостям, основную сложность составляет именно поиск координат нормальных векторов заданных плоскостей.

Пример.

В прямоугольной системе координат Oxyz заданы точки формула и плоскость формула. Составьте уравнения прямой, проходящей через точку М1 параллельно плоскостям ABC и формула.

Решение.

Чтобы определить координаты нормального вектора плоскости ABC получим ее общее уравнение (при необходимости смотрите статью уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки): формула, следовательно, плоскость АВС задается уравнением формула и формула - ее нормальный вектор.

Чтобы найти координаты нормального вектора плоскости формула (ее задает уравнение плоскости в отрезках), перейдем к общему уравнению этой плоскости: формула. Следовательно, формула - нормальный вектор плоскости формула.

Направляющим вектором прямой, уравнение которой нам требуется составить, принимаем векторное произведение векторов формула и формула: формула.

Тогда искомые уравнения прямой, которая проходит через точку формула параллельно плоскостям АВС и формула, имеют вид формула.

Ответ:

формула.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+