Прямая, плоскость, их уравнения

Уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки, примеры, решения.


В этой статье получено уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости, а также выведены уравнения прямой, которая проходит через две заданные точки в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве. После изложения теории показаны решения характерных примеров и задач, в которых требуется составить уравнения прямой различного вида, когда известны координаты двух точек этой прямой.


Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости.

Прежде чем получить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат на плоскости, вспомним некоторые факты.

Одна из аксиом геометрии гласит, что через две несовпадающие точки на плоскости можно провести единственную прямую. Другими словами, задав две точки на плоскости, мы однозначно определяем прямую линию, которая через эти две точки проходит (при необходимости обращайтесь к разделу способы задания прямой на плоскости).

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. В этой системе координат любой прямой линии соответствует некоторое уравнение прямой на плоскости. С этой же прямой неразрывно связан направляющий вектор прямой. Этих знаний вполне достаточно, чтобы составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Сформулируем условие задачи: составить уравнение прямой a, которая в прямоугольной декартовой системе координат Oxy проходит через две несовпадающие точки формула и формула.

Покажем самое простое и универсальное решение этой задачи.

Нам известно, что каноническое уравнение прямой на плоскости вида формула задает в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, проходящую через точку формула и имеющую направляющий вектор формула.

Напишем каноническое уравнение прямой a, проходящей через две заданные точки формула и формула.

Очевидно, направляющим вектором прямой a, которая проходит через точки М1 и М2, является вектор формула, он имеет координаты формула (при необходимости смотрите статью вычисление координат вектора по координатам точек его конца и начала). Таким образом, мы имеем все необходимые данные, чтобы написать каноническое уравнение прямой a – координаты ее направляющего вектора формула и координаты лежащей на ней точки формулаформула). Оно имеет вид формула (или формула).

изображение

Также мы можем записать параметрические уравнения прямой на плоскости, проходящей через две точки формула и формула. Они имеют вид формула или формула.

Разберем решение примера.

Пример.

Напишите уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки формула.

Решение.

Мы выяснили, что каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами формула и формула, имеет вид формула.

Из условия задачи имеем формула. Подставим эти данные в уравнение формула. Получаем формула.

Ответ:

формула.

Если нам потребуется не каноническое уравнение прямой и не параметрические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки, а уравнение прямой другого вида, то от канонического уравнения прямой всегда можно к нему прийти.

Пример.

Составьте общее уравнение прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости проходит через две точки формула и формула.

Решение.

Сначала напишем каноническое уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Оно имеет вид формула. Теперь приведем полученное уравнение к требуемому виду: формула.

Ответ:

формула.

На этом можно и закончить с уравнением прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат на плоскости. Но хочется напомнить, как мы решали такую задачу в средней школе на уроках алгебры.

В школе нам было известно лишь уравнение прямой с угловым коэффициентом вида формула. Найдем значение углового коэффициента k и числа b, при которых уравнение формула определяет в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости прямую линию, проходящую через точки формула и формула при формула. (Если же x1=x2, то угловой коэффициент прямой бесконечен, а прямую М1М2 определяет общее неполное уравнение прямой вида x-x1=0).

Так как точки М1 и М2 лежат на прямой, то координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой формула, то есть, справедливы равенства формула и формула. Решая систему уравнений вида формула относительно неизвестных переменных k и b, находим формула или формула. При этих значениях k и b уравнение прямой, проходящей через две точки формула и формула, принимает вид формула или формула.

Запоминать эти формулы не имеет смысла, при решении примеров проще повторять указанные действия.

Пример.

Напишите уравнение прямой с угловым коэффициентом, если эта прямая проходит через точки формула и формула.

Решение.

В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид формула. Найдем k и b, при которых уравнение формула соответствует прямой, проходящей через две точки формула и формула.

Так как точки М1 и М2 лежат на прямой, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой формула, то есть, верны равенства формула и формула. Значения k и b находим как решение системы уравнений формула (при необходимости обращайтесь к статье решение систем линейных уравнений):
формула

Осталось подставить найденные значения формула и формула в уравнение формула. Таким образом, искомое уравнение прямой, проходящей через две точки формула и формула, имеет вид формула.

Колоссальный труд, не так ли?

Намного проще записать каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки формула и формула, оно имеет вид формула, и от него перейти к уравнению прямой с угловым коэффициентом: формула.

Ответ:

формула.

Уравнения прямой, которая проходит через две заданные точки в трехмерном пространстве.


Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, и заданы две несовпадающие точки формула и формула, через которые проходит прямая M1M2. Получим уравнения этой прямой.

Нам известно, что канонические уравнения прямой в пространстве вида формула и параметрические уравнения прямой в пространстве вида формула задают в прямоугольной системе координат Oxyz прямую линию, которая проходит через точку с координатами формула и имеет направляющий вектор формула.

Направляющим вектором прямой M1M2 является вектор формула, и эта прямая проходит через точку формулаформула), тогда канонические уравнения этой прямой имеют вид формула (или формула), а параметрические уравнения - формула (или формула).

изображение

Пример.

Напишите уравнение прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве проходит через две точки формула и формула.

Решение.

Мы выяснили, что в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве канонические уравнения прямой, которая проходит через две точки формула и формула, имеют вид формула.

Из условия имеем формула, тогда искомые уравнения прямой запишутся как формула.

Ответ:

формула.

Если потребуется задать прямую М1М2 с помощью уравнений двух пересекающихся плоскостей, то сначала следует составить канонические уравнения прямой, проходящей через две точки формула и формула, и из этих уравнений получить нужные уравнения плоскостей.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+