Прямая, плоскость, их уравнения

Координаты точки пересечения двух прямых - примеры нахождения.


При решении некоторых геометрических задач методом координат приходится находить координаты точки пересечения прямых. Наиболее часто приходится искать координаты точки пересечения двух прямых на плоскости, однако иногда возникает необходимость в определении координат точки пересечения двух прямых в пространстве. В этой статье мы как раз разберемся с нахождением координат точки, в которой пересекаются две прямые.


Точка пересечения двух прямых – определение.

Давайте для начала дадим определение точки пересечения двух прямых.

В разделе взаимное расположение прямых на плоскости показано, что две прямые на плоскости могут либо совпадать (при этом они имеют бесконечно много общих точек), либо быть параллельными (при этом две прямые не имеют общих точек), либо пересекаться, имея одну общую точку. Вариантов взаимного расположения двух прямых в пространстве больше – они могут совпадать (иметь бесконечно много общих точек), могут быть параллельными (то есть, лежать в одной плоскости и не пересекаться), могут быть скрещивающимися (не лежащими в одной плоскости), а также могут иметь одну общую точку, то есть, пересекаться. Итак, две прямые и на плоскости и в пространстве называются пересекающимися, если они имеют одну общую точку.

Из определения пересекающихся прямых следует определение точки пересечения прямых: точка, в которой пересекаются две прямые, называется точкой пересечения этих прямых. Другими словами, единственная общая точка двух пересекающихся прямых есть точка пересечения этих прямых.

Приведем для наглядности графическую иллюстрацию точки пересечения двух прямых на плоскости и в пространстве.

изображение

Нахождение координат точки пересечения двух прямых на плоскости.

Прежде чем находить координаты точки пересечения двух прямых на плоскости по их известным уравнениям, рассмотрим вспомогательную задачу.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy и заданы две пересекающиеся прямые a и b. Будем считать, что прямой a соответствует общее уравнение прямой вида формула, а прямой b – вида формула. Пусть формула – некоторая точка плоскости, и требуется выяснить, является ли точка М0 точкой пересечения заданных прямых.

Решим поставленную задачу.

Если M0 является точкой пересечения прямых a и b, то по определению она принадлежит и прямой a и прямой b, то есть, ее координаты должны удовлетворять одновременно и уравнению формула и уравнению формула. Следовательно, нам нужно подставить координаты точки М0 в уравнения заданных прямых и посмотреть, получаются ли при этом два верных равенства. Если координаты точки М0 удовлетворяют обоим уравнениям формула и формула, то формула – точка пересечения прямых a и b, в противном случае М0 не является точкой пересечения прямых.

Пример.

Является ли точка М0 с координатами (2, -3) точкой пересечения прямых 5x-2y-16=0 и 2x-5y-19=0?

Решение.

Если М0 действительно точка пересечения заданных прямых, то ее координаты удовлетворяют уравнениям прямых. Проверим это, подставив координаты точки М0 в заданные уравнения:
формула

Получили два верных равенства, следовательно, М0 (2, -3) - точка пересечения прямых 5x-2y-16=0 и 2x-5y-19=0.

Для наглядности приведем чертеж, на котором изображены прямые и видны координаты точки их пересечения.

изображение

Ответ:

да, точка М0 (2, -3) является точкой пересечения прямых 5x-2y-16=0 и 2x-5y-19=0.

Пример.

Пересекаются ли прямые 5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0 в точке M0 (2, -3)?

Решение.

Подставим координаты точки М0 в уравнения прямых, этим действием будем осуществлена проверка принадлежности точки М0 обеим прямым одновременно:
формула

Так как второе уравнение при подстановке в него координат точки М0 не обратилось в верное равенство, то точка М0 не принадлежит прямой 7x-2y+11=0. Из этого факта можно сделать вывод о том, что точка М0 не является точкой пересечения заданных прямых.

На чертеже также хорошо видно, что точка М0 не является точкой пересечения прямых 5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0. Очевидно, заданные прямые пересекаются в точке с координатами (-1, 2).

изображение

Ответ:

М0 (2, -3) не является точкой пересечения прямых 5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0.

Теперь можно переходить к задаче нахождения координат точки пересечения двух прямых по заданным уравнениям прямых на плоскости.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy и заданы две пересекающиеся прямые a и b уравнениями формула и формула соответственно. Обозначим точку пересечения заданных прямых как М0 и решим следующую задачу: найти координаты точки пересечения двух прямых a и b по известным уравнениям этих прямых формула и формула.

Точка M0 принадлежит каждой из пересекающихся прямых a и b по определению. Тогда координаты точки пересечения прямых a и b удовлетворяют одновременно и уравнению формула и уравнению формула. Следовательно, координаты точки пересечения двух прямых a и b являются решением системы уравнений формула (смотрите статью решение систем линейных алгебраических уравнений).

Таким образом, чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, определенных на плоскости общими уравнениями, нужно решить систему, составленную из уравнений заданных прямых.

Рассмотрим решение примера.

Пример.

Найдите точку пересечения двух прямых, определенных в прямоугольной системе координат на плоскости уравнениями x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0.

Решение.

Нам даны два общих уравнения прямых, составим из них систему: формула. Решения полученной системы уравнений легко находятся, если разрешить ее первое уравнение относительно переменной x и подставить это выражение во второе уравнение:
формула

Найденное решение системы уравнений дает нам искомые координаты точки пересечения двух прямых.

Ответ:

M0 (4, 2) – точка пересечения прямых x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0.

Итак, нахождение координат точки пересечения двух прямых, определенных общими уравнениями на плоскости, сводится к решению системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными переменными. А как же быть, если прямые на плоскости заданы не общими уравнениями, а уравнениями другого вида (смотрите виды уравнения прямой на плоскости)? В этих случаях можно сначала привести уравнения прямых к общему виду, а уже после этого находить координаты точки пересечения.

Пример.

Определите координаты точки пересечения прямых формула и формула.

Решение.

Перед нахождением координат точки пересечения заданных прямых приведем их уравнения к общему виду. Переход от параметрических уравнений прямой формула к общему уравнению этой прямой выглядит следующим образом:
формула

Теперь проведем необходимые действия с каноническим уравнением прямой формула:
формула

Таким образом, искомые координаты точки пересечения прямых являются решением системы уравнений вида формула. Используем для ее решения метод Крамера:
формула

Ответ:

M0 (-5, 1)

Существует еще один способ нахождения координат точки пересечения двух прямых на плоскости. Его удобно применять, когда одна из прямых задана параметрическими уравнениями вида формула, а другая – уравнением прямой иного вида. В этом случае в другое уравнение вместо переменных x и y можно подставить выражения формула и формула, откуда можно будет получить значение формула, которое соответствует точке пересечения заданных прямых. При этом точка пересечения прямых имеет координаты формула.

Найдем координаты точки пересечения прямых из предыдущего примера этим способом.

Пример.

Определите координаты точки пересечения прямых формула и формула.

Решение.

Подставим в уравнение прямой формула выражения формула:
формула

Решив полученное уравнение, получаем формула. Это значение соответствует общей точке прямых формула и формула. Вычисляем координаты точки пересечения, подставив формула в параметрические уравнения прямой:
формула.

Ответ:

M0 (-5, 1).

Для полноты картины следует обговорить еще один момент.

Перед нахождением координат точки пересечения двух прямых на плоскости полезно убедиться в том, что заданные прямые действительно пересекаются. Если выяснится, что исходные прямые совпадают или параллельны, то о нахождении координат точки пересечения таких прямых не может быть и речи.

Можно, конечно, обойтись и без такой проверки, а сразу составить систему уравнений вида формула и решить ее. Если система уравнений имеет единственное решение, то оно дает координаты точки, в которой исходные прямые пересекаются. Если система уравнений решений не имеет, то можно делать вывод о параллельности исходных прямых (так как не существует такой пары действительных чисел x и y, которая бы удовлетворяла одновременно обоим уравнениям заданных прямых). Из наличия бесконечного множества решений системы уравнений следует, что исходные прямые имеют бесконечно много общих точек, то есть, совпадают.

Рассмотрим примеры, подходящие под эти ситуации.

Пример.

Выясните, пересекаются ли прямые формула и формула, и если пересекаются, то найдите координаты точки пересечения.

Решение.

Заданным уравнениям прямых соответствуют уравнения формула и формула. Решим систему, составленную из этих уравнений формула.

Очевидно, что уравнения системы линейно выражаются друг через друга (второе уравнение системы получается из первого умножением обеих его частей на 4), следовательно, система уравнений имеет бесконечное множество решений. Таким образом, уравнения формула и формула определяют одну и ту же прямую, и мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения этих прямых.

Ответ:

уравнения формула и формула определяют в прямоугольной системе координат Oxy одну и ту же прямую, поэтому мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения.

Пример.

Найдите координаты точки пересечения прямых формула и формула, если это возможно.

Решение.

Условие задачи допускает, что прямые могут быть не пересекающимися. Составим систему из данных уравнений. Применим для ее решения метод Гаусса, так как он позволяет установить совместность или несовместность системы уравнений, а в случае ее совместности найти решение:
формула

Последнее уравнение системы после прямого хода метода Гаусса обратилось в неверное равенство, следовательно, система уравнений не имеет решений. Отсюда можно сделать вывод, что исходные прямые параллельны, и мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения этих прямых.

Второй способ решения.

Давайте выясним, пересекаются ли заданные прямые.

формула - нормальный вектор прямой формула, а вектор формула является нормальным вектором прямой формула. Проверим выполнение условия коллинеарности векторов формула и формула: равенство формула верно, так как формула, следовательно, нормальные векторы заданных прямых коллинеарны. Тогда, эти прямые параллельны или совпадают. Таким образом, мы не можем найти координаты точки пересечения исходных прямых.

Ответ:

координаты точки пересечения заданных прямых найти невозможно, так как эти прямые параллельны.

Пример.

Найдите координаты точки пересечения прямых 2x-1=0 и формула, если они пересекаются.

Решение.

Составим систему из уравнений, которые являются общими уравнениями заданных прямых: формула. Определитель основной матрицы этой системы уравнений отличен от нуля формула, поэтому система уравнений имеет единственное решение, что свидетельствует о пересечении заданных прямых.

Для нахождения координат точки пересечения прямых нам нужно решить систему:
формула

Полученное решение дает нам координаты точки пересечения прямых, то есть, формула - точка пересечения прямых 2x-1=0 и формула.

Ответ:

формула

Нахождение координат точки пересечения двух прямых в пространстве.


Координаты точки пересечения двух прямых в трехмерном пространстве находятся аналогично.

Пусть пересекающиеся прямые a и b заданы в прямоугольной системе координат Oxyz уравнениями двух пересекающихся плоскостей, то есть, прямая a определяется системой вида формула, а прямая b - формула. Пусть М0 – точка пересечения прямых a и b. Тогда точка М0 по определению принадлежит и прямой a и прямой b, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнениям обеих прямых. Таким образом, координаты точки пересечения прямых a и b представляют собой решение системы линейных уравнений вида формула. Здесь нам пригодится информация из раздела решение систем линейных уравнений, в которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных переменных.

Рассмотрим решения примеров.

Пример.

Найдите координаты точки пересечения двух прямых, заданных в пространстве уравнениями формула и формула.

Решение.

Составим систему уравнений из уравнений заданных прямых: формула. Решение этой системы даст нам искомые координаты точки пересечения прямых в пространстве. Найдем решение записанной системы уравнений.

Основная матрица системы имеет вид формула, а расширенная - формула.

Определим ранг матрицы А и ранг матрицы T. Используем метод окаймляющих миноров, при этом не будем подробно описывать вычисление определителей (при необходимости обращайтесь к статье вычисление определителя матрицы):
формула

Таким образом, ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен трем.

Следовательно, система уравнений формула имеет единственное решение.

Базисным минором примем определитель формула, поэтому из системы уравнений следует исключить последнее уравнение, так как оно не участвует в образовании базисного минора. Итак,
формула

Решение полученной системы легко находится:
формула

Таким образом, точка пересечения прямых формула и формула имеет координаты (1, -3, 0).

Ответ:

(1, -3, 0).

Следует отметить, что система уравнений формула имеет единственное решение тогда и только тогда, когда прямые a и b пересекаются. Если же прямые а и b параллельные или скрещивающиеся, то последняя система уравнений решений не имеет, так как в этом случае прямые не имеют общих точек. Если прямые a и b совпадают, то они имеют бесконечное множество общих точек, следовательно, указанная система уравнений имеет бесконечное множество решений. Однако в этих случаях мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения прямых, так как прямые не являются пересекающимися.

Таким образом, если мы заранее не знаем, пересекаются заданные прямые a и b или нет, то разумно составить систему уравнений вида формула и решить ее методом Гаусса. Если получим единственное решение, то оно будет соответствовать координатам точки пересечения прямых a и b. Если система окажется несовместной, то прямые a и b не пересекаются. Если же система будет иметь бесконечное множество решений, то прямые a и b совпадают.

Можно обойтись и без использования метода Гаусса. Как вариант, можно вычислить ранги основной и расширенной матриц этой системы, и на основании полученных данных и теоремы Кронекера-Капелли сделать вывод или о существовании единственного решения, или о существовании множества решений, или об отсутствии решений. Это дело вкуса.

Пример.

Если прямые формула и формула пересекаются, то определите координаты точки пересечения.

Решение.

Составим систему из заданных уравнений: формула. Решим ее методом Гаусса в матричной форме:
формула

Стало видно, что система уравнений не имеет решений, следовательно, заданные прямые не пересекаются, и не может быть и речи о поиске координат точки пересечения этих прямых.

Ответ:

мы не можем найти координаты точки пересечения заданных прямых, так как эти прямые не пересекаются.

Когда пересекающиеся прямые заданы каноническими уравнениями прямой в пространстве или параметрическими уравнениями прямой в пространстве, то следует сначала получить их уравнения в виде двух пересекающихся плоскостей, а уже после этого находить координаты точки пересечения.

Пример.

Две пересекающиеся прямые заданы в прямоугольной системе координат Oxyz уравнениями формула и формула. Найдите координаты точки пересечения этих прямых.

Решение.

Зададим исходные прямые уравнениями двух пересекающихся плоскостей:
формула

Для нахождения координат точки пересечения прямых осталось решить систему уравнений формула. Ранг основной матрицы этой системы равен рангу расширенной матрицы и равен трем (рекомендуем проверить этот факт). В качестве базисного минора примем формула, следовательно, из системы можно исключить последнее уравнение формула. Решив полученную систему любым методом (например методом Крамера) получаем решение формула. Таким образом, точка пересечения прямых формула и формула имеет координаты (-2, 3, -5).

Ответ:

(-2, 3, -5).



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+