Прямая, плоскость, их уравнения

Координаты точки пересечения прямой и плоскости - примеры нахождения.


В этой статье мы ответим на вопрос: «Как найти координаты точки пересечения прямой и плоскости, если заданы уравнения, определяющие прямую и плоскость»? Начнем с понятия точки пересечения прямой и плоскости. Далее покажем два способа нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости. Для закрепления материала рассмотрим подробные решения примеров.


Точка пересечения прямой и плоскости – определение.

В заголовке статьи фигурируют слова «точка», «прямая» и «плоскость». Поэтому, для понимания темы необходимо иметь четкое представление о точке, прямой линии и плоскости в пространстве. Освежить в памяти эти понятия Вы можете, обратившись к статьям прямая в пространстве и плоскость в пространстве.

Возможны три варианта взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

Нас интересует третий случай. Напомним, что означает фраза: «прямая и плоскость пересекаются». Говорят, что прямая и плоскость пересекаются, если они имеют только одну общую точку. Это общую точку пересекающихся прямой и плоскости называют точкой пересечения прямой и плоскости.

Приведем графическую иллюстрацию.

изображение

Нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости.


Введем в трехмерном пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Теперь каждой прямой соответствуют уравнения прямой некоторого вида (им посвящена статья виды уравнений прямой в пространстве), каждой плоскости отвечает уравнение плоскости (можете ознакомиться со статьей виды уравнения плоскости), а каждой точке соответствует упорядоченная тройка чисел – координаты точки. Дальнейшее изложение подразумевает знание всех видов уравнений прямой в пространстве и всех видов уравнения плоскости, а также умение переходить от одного вида уравнений к другому виду. Но не пугайтесь, по тексту мы будем приводить ссылки на необходимую теорию.

Давайте сначала детально разберем задачу, решение которой мы можем получить на основании определения точки пересечения прямой и плоскости. Эта задача нас подготовит к нахождению координат точки пересечения прямой и плоскости.

Пример.

Является ли точка М0 с координатами формула точкой пересечения прямой формула и плоскости формула.

Решение.

Нам известно, что если точка принадлежит некоторой прямой, то координаты точки удовлетворяют уравнениям прямой. Аналогично, если точка лежит в некоторой плоскости, то координаты точки удовлетворяют уравнению этой плоскости. По определению точка пересечения прямой и плоскости является общей точкой прямой и плоскости, тогда координаты точки пересечения удовлетворяют как уравнениям прямой, так и уравнению плоскости.

Таким образом, для решения поставленной задачи нам следует подставить координаты точки М0 в заданные уравнения прямой и в уравнение плоскости. Если при этом все уравнения обратятся в верные равенства, то точка М0 является точкой пересечения заданных прямой и плоскости, в противном случае точка М0 не является точкой пересечения прямой и плоскости.

Подставляем координаты точки формула:
формула

Все уравнения обратились в верные равенства, следовательно, точка М0 принадлежит одновременно и прямой формула и плоскости формула, то есть, М0 является точкой пересечения указанных прямой и плоскости.

Ответ:

да, точка формула - это точка пересечения прямой формула и плоскости формула.

Итак, координаты точки пересечения прямой и плоскости удовлетворяют как уравнениям прямой, так и уравнению плоскости. Этим фактом и будем пользоваться при нахождении координат точки пересечения прямой и плоскости.

Первый способ нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости.

Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz заданы прямая a и плоскость формула, причем известно, что прямая a и плоскость формула пересекаются в точке М0.

Найдем координаты точки М0 для случая, когда плоскость формула задана общим уравнением плоскости вида формула, а прямая а является линией пересечения двух плоскостей формула и формула (такому способу задания прямой линии в пространстве посвящена статья уравнения прямой - уравнения двух пересекающихся плоскостей).

Искомые координаты точки пересечения прямой a и плоскости формула, как мы уже говорили, удовлетворяют и уравнениям прямой a, и уравнению плоскости формула, следовательно, они могут быть найдены как решение системы линейных уравнений вида формула. Это действительно так, так как решение системы линейных уравнений обращает каждое уравнение системы в тождество.

Отметим, что при такой постановке задачи мы фактически находим координаты точки пересечения трех плоскостей, заданных уравнениями формула, формула и формула.

Решим пример для закрепления материала.

Пример.

Прямая, заданная уравнениями двух пересекающихся плоскостей как формула, пересекает плоскость формула. Найдите координаты точки пересечения прямой и плоскости.

Решение.

Требуемые координаты точки пересечения прямой и плоскости мы получим, решив систему уравнений вида формула. При этом будем опираться на информацию статьи решение систем линейных уравнений.

Для начала перепишем систему уравнений в виде формула и вычислим определитель основной матрицы системы (при необходимости обращайтесь к статье вычисление определителя матрицы):
формула

Определитель основной матрицы системы отличен от нуля, поэтому система уравнений имеет единственное решение. Для его отыскания можно воспользоваться любым методом. Мы используем метод Крамера:
формула

Так мы получили координаты точки пересечения прямой и плоскости (-2, 1, 1).

Ответ:

(-2, 1, 1).

Следует отметить, что система уравнений формула имеет единственное решение, если прямая a, определенная уравнениями формула, и плоскость формула, заданная уравнением формула, пересекаются. Если прямая a лежит в плоскости формула, то система имеет бесконечное множество решений. Если же прямая a параллельна плоскости формула, то система уравнений решений не имеет.

Пример.

Найдите точку пересечения прямой формула и плоскости формула, если это возможно.

Решение.

Оговорка «если это возможно» означает, что прямая и плоскость могут не пересекаться.

Составим систему из заданных уравнений формула. Если эта система уравнений имеет единственное решение, то оно даст нам искомые координаты точки пересечения прямой и плоскости. Если эта система не имеет решений или имеет бесконечно много решений, то о нахождении координат точки пересечения не может быть и речи, так как прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Основная матрица системы имеет вид формула, а расширенная матрица - формула. Определим ранг матрицы А и ранг матрицы Т методом окаймляющих миноров: формула. То есть, ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы системы и равен двум. Следовательно, на основании теоремы Кронекера-Капелли можно утверждать, что система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Таким образом, прямая формула лежит в плоскости формула, и мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения прямой и плоскости.

Ответ:

невозможно найти координаты точки пересечения прямой и плоскости.

Пример.

Если прямая формула пересекается с плоскостью формула, то найдите координаты точки их пересечения.

Решение.

Составим систему из заданных уравнений формула. Для нахождения ее решения используем метод Гаусса. Метод Гаусса позволит нам не только определить, имеет ли записанная система уравнений одно решение, бесконечное множество решений или не имеет ни одного решения, но и найти решения в случае их наличия.
формула

Последнее уравнение системы после прямого хода метода Гаусса стало неверным равенством, следовательно, система уравнений не имеет решений. Отсюда заключаем, что прямая формула и плоскость формула не имеют общих точек. Таким образом, мы не можем говорить о нахождении координат их точки пересечения.

Ответ:

прямая параллельна плоскости и они не имеют точки пересечения.

Заметим, что если прямой a соответствуют параметрические уравнения прямой в пространстве или канонические уравнения прямой в пространстве, то можно получить уравнения двух пересекающихся плоскостей, определяющих прямую a, и после этого находить координаты точки пересечения прямой a и плоскости формула разобранным способом. Однако проще использовать другой метод, к описанию которого мы и переходим.

Второй способ нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости.

Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz прямая a пересекает плоскость формула в точке М0. Найдем координаты точки М0 для случая, когда плоскость формула задана общим уравнением плоскости вида формула, а прямая а определена параметрическими уравнениями вида формула.

Если в уравнение формула подставить выражения формула, мы придем к уравнению с неизвестной формула. Разрешив это уравнение относительно формула, мы получим значение формула, соответствующее координатам точки пересечения прямой a и плоскости формула. Координаты точки пересечения прямой и плоскости вычисляются как формула.

Разберем этот способ нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости на примере.

Пример.

Найдите координаты точки пересечения прямой формула и плоскости формула.

Решение.

Подставим в уравнение плоскости выражения формула:
формула

Находим координаты точки пересечения прямой и плоскости по параметрическим уравнениям при формула:
формула

Ответ:

(3, 0, -1).

Обратите внимание: если прямая формула лежит в плоскости формула, то, подставив в уравнение формула выражения формула, мы получим тождество формула, а если указанная прямая параллельна плоскости - то мы получим неверное равенство.

В заключении скажем про случай, когда прямая a задана каноническими уравнениями вида формула. В этом случае для нахождения координат точки пересечения прямой a с плоскостью формула, от канонических уравнений прямой следует перейти к параметрическим уравнениям этой прямой (формула) и воспользоваться разобранным способом.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+