Прямая, плоскость, их уравнения

Общее уравнение прямой - теория, примеры, решение задач.


Эта статья является частью темы уравнение прямой на плоскости. Здесь мы разберем общее уравнение прямой со всех сторон: начнем с доказательства теоремы, которая задает вид общего уравнения прямой, далее рассмотрим неполное общее уравнение прямой, приведем примеры неполных уравнений прямой с графическими иллюстрациями, в заключении остановимся на переходе от общего уравнения прямой к другим видам уравнения этой прямой и приведем подробные решения характерных задач на составление общего уравнения прямой.


Общее уравнение прямой - основные сведения.

Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Оxy.

Теорема.

Всякое уравнение первой степени вида формула, где А, В и С – некоторые действительные числа, причем А и В одновременно не равны нулю, задает прямую линию в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости, и любая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задается уравнением вида формула при некотором наборе значений A, B и C.

Доказательство.

Как видите, теорема состоит из двух частей. Докажем сначала, что уравнение вида формула задает прямую на плоскости.

Пусть координаты точки формула удовлетворяют уравнению формула, то есть, формула. Вычтем из левой и правой частей уравнения формула соответственно левую и правую части равенства формула, при этом получаем уравнение вида формула, которое эквивалентно формула.

Уравнение формула представляет собой необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов формула и формула. То есть, множество всех точек формула определяет в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, перпендикулярную направлению вектора формула. Если бы это было не так, то векторы формула и формула не были бы перпендикулярными и равенство формула не выполнялось бы.

изображение

Таким образом, уравнение формула задает прямую линию в прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости, следовательно, эквивалентное ему уравнение вида формула задает эту же прямую. На этом первая часть теоремы доказана.

Теперь докажем, что всякая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости определяется уравнением первой степени вида формула.

Пусть в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задана прямая a, проходящая через точку формула, формула - нормальный вектор прямой a, и пусть формула - плавающая точка этой прямой. Тогда векторы формула и формула перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, то есть, формула. Полученное равенство можно переписать в виде формула. Если принять формула, то получим уравнение формула, которое соответствует прямой a.

На этом доказательство теоремы завершено.

Уравнение вида формула есть общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy.

Из доказанной теоремы следует, что в фиксированной прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости прямая линия и ее общее уравнение прямой неразделимы. Иными словами, заданной прямой соответствует ее общее уравнение прямой, а этому общему уравнению прямой соответствует заданная прямая.

Из доказательства теоремы также видно, что коэффициенты А и В при переменных x и y являются соответствующими координатами нормального вектора прямой, заданной общим уравнением прямой вида формула.

Приведем пример общего уравнения прямой.

Уравнению формула соответствует прямая линия в заданной прямоугольной декартовой системе координат Oxy. Ее изображение представлено на чертеже. Нормальным вектором этой прямой линии является вектор формула.

изображение

С другой стороны, прямая линия, изображенная на рисунке, в прямоугольной системе координат Oxy задается общим уравнением прямой вида формула, так как координаты любой точки этой прямой удовлетворяют записанному уравнению.

Следует заметить, что уравнение вида формула, полученное из общего уравнения прямой умножением его обеих частей на отличное от нуля число формула, эквивалентно уравнению формула, следовательно, определяет ту же самую прямую на плоскости в фиксированной прямоугольной системе координат.

Неполное общее уравнение прямой.


Общее уравнение прямой формула называется полным, если все числа А, В и С отличны от нуля, в противном случае общее уравнение прямой называется неполным.

Рассмотрим все возможные варианты неполного общего уравнения прямой.

При формула общее уравнение прямой формула примет вид By+C=0. Это неполное общее уравнение прямой определяет в прямоугольной системе координат Oxy прямую параллельную оси Ох, так как при любых действительных значениях переменной х переменная y принимает одно и то же значение формула. Другими словами, общее уравнение прямой формула при формула определяет геометрическое место точек формула, ординаты которых равны одному и тому же числу формула.

При формула общее уравнение прямой примет вид y=0. Это общее неполное уравнение прямой определяет ось абсцисс Ox.

Аналогично, при формула имеем неполное общее уравнение прямой вида Ax+C=0. Это уравнение прямой параллельной оси ординат.

При формула имеем неполное общее уравнение прямой вида x=0 - уравнение координатной прямой Oy.

Если формула, то общее уравнение прямой примет вид формула. Это неполное общее уравнение прямой задает прямую, проходящую через начало координат. Действительно, пара чисел формула удовлетворяет равенству формула, так как формула.

Ниже приведена графическая иллюстрация всех видов общего неполного уравнения прямой.

изображение

Рассмотрим решения нескольких примеров, связанных с общим неполным уравнением прямой.

Пример.

Напишите общее уравнение прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку формула.

Решение.

Прямую, которая параллельна оси Oy, задает неполное общее уравнение прямой вида Ax+C=0, где формула. Так как по условию прямая проходит через точку формула, то координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой Ax+C=0, то есть, справедливо равенство формула. Из полученного равенства мы можем вычислить С, если придадим А любое ненулевое действительное значение. Пусть формула, тогда формула. Теперь подставляем формула и С=-2 в уравнение Ax+C=0 и получаем искомое уравнение прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку формула - оно имеет вид формула.

Ответ:

формула

Пример.

Напишите уравнение прямой, изображенной на чертеже

изображение

Решение.

Очевидно, прямая линия, изображенная на рисунке, параллельна оси абсцисс Ox и проходит через точку формула.

Прямая линия, параллельная оси абсцисс задается общим неполным уравнением прямой вида By+C=0, формула. Определим значения В и С.

Так как прямая проходит через точку с координатами формула, то координаты точки удовлетворяют уравнению прямой By+C=0, следовательно, справедливо равенство формула. Придадим В любое действительное значение, отличное от нуля. Пусть В=1, тогда из равенства формула имеем С=-3. При В=1 и С=-3 уравнение By+C=0 примет вид y-3=0.

Ответ:

y-3=0

Общее уравнение прямой, которая проходит через заданную точку плоскости.

Получим вид общего уравнения прямой, если известно, что прямая проходит через точку формула.

Так как прямая проходит через точку формула, то ее координаты удовлетворяют общему уравнению прямой, то есть, справедливо равенство формула. Отнимем левую и правую часть последнего равенства соответственно от левой и правой части общего уравнения прямой. При этом получим уравнение формула, эквивалентное исходному общему уравнению прямой. Полученное уравнение представляет собой общее уравнение прямой, которая проходит через точку формула и имеет нормальный вектор формула.

Полученный результат позволяет составлять общее уравнение прямой, если известны координаты нормального вектора прямой и координаты некоторой точки этой прямой.

Пример.

Составьте общее уравнение прямой, если ее нормальным вектором является вектор формула и точка формула лежит на этой прямой.

Решение.

Из условия имеем формула. Тогда искомое общее уравнение прямой примет вид
формула

Можно было поступить немного иначе. Покажем второй способ решения этой задач.

Общее уравнение прямой имеет вид формула. Так как формула - нормальный вектор прямой, то его координаты дают нам коэффициенты A и B в общем уравнении прямой, следовательно, формула.

Осталось найти значение С. Для этого используем условие о принадлежности точки формула этой прямой - координаты точки формула удовлетворяют уравнению формула, то есть, формула. Из полученного уравнения находим С=11. Таким образом, искомое общее уравнение прямой примет вид формула.

Ответ:

формула

Пример.

Дано общее уравнение прямой формула. Проходит ли эта прямая через точки формула и формула.

Решение.

Подставим координаты точки M1 в уравнение прямой: формула. При этом мы получили тождество, следовательно, точка формула лежит на прямой.

Подставляем координаты точки М2: формула. Получаем неверное равенство, поэтому точка формула не лежит на прямой.

Ответ:

прямая проходит через точку М1 и не походит через точку М2.

Пример.

Найдите ординату точки М0, лежащей на прямой формула, если ее абсцисса равна -3.

Решение.

Обозначим координаты точки М0 как x0 и y0. По условию x0 = -3. Так как точка M0 лежит на прямой, заданной общим уравнением, то ее координаты удовлетворяют этому уравнению. Следовательно, должно быть справедливо равенство формула. Из него находим y0:
формула

Ответ:

формула - искомая ордината точки прямой.

Переход от общего уравнения прямой к другим видам уравнения прямой и обратно.

Существуют различные виды уравнения прямой на плоскости, описывающие одну и ту же линию. В зависимости от условий задачи удобно использовать тот или иной вид уравнения прямой. Поэтому, полезно уметь переходить от уравнения прямой одного вида к уравнению прямой другого вида. Цель этого пункта статьи заключается в приобретении навыков приведения общего уравнения прямой к другим видам уравнения прямой и обратно.

Начнем с приведения общего уравнения прямой формула к каноническому уравнению прямой вида формула.

Если формула, то переносим слагаемое формула в правую часть равенства формула с противоположным знаком формула. В левой части равенства выносим А за скобки формула. Полученное равенство можно записать как пропорцию вида формула.

Если формула, то оставляем в левой части общего уравнения прямой формула только слагаемое формула, а остальные переносим в правую часть с противоположным знаком: формула. Теперь выносим в правой части равенства –B за скобки формула и записываем полученное равенство в виде пропорции формула. Вот и все.

Запоминать полученные формулы не имеет смысла, проще повторять указанные действия при приведении общего уравнения прямой к каноническому виду.

Пример.

Приведите уравнение прямой формула к каноническому виду.

Решение.

Исходное неполное уравнение прямой перепишем как формула. Оставляем в левой части равенства только слагаемое формула: формула. В правой части равенства выносим -3 за скобки: формула. Осталось записать полученное равенство в виде пропорции формула и на этом приведение общего уравнения прямой к каноническому виду завершено.

Ответ:

формула

Переход от общего уравнения прямой к параметрическим уравнениям прямой проводится в два этапа: сначала общее уравнение приводится к каноническому виду, а затем осуществляется переход от канонического уравнения прямой к параметрическим уравнениям прямой.

Разберем этот алгоритм при решении примера.

Пример.

Напишите параметрические уравнения прямой, которая задана общим уравнение прямой формула.

Решение.

Сначала приведем исходное общее уравнение прямой к каноническому уравнению прямой:
формула

Теперь принимаем левую и правую части полученного уравнения равными параметру формула. Имеем
формула

Ответ:

формула

Из общего уравнения прямой вида формула получить уравнение прямой с угловым коэффициентом формула возможно лишь тогда, когда формула. Что нужно сделать для перехода? Во-первых, в левой общего уравнения прямой оставить только слагаемое формула, остальные слагаемые нужно перенести в правую часть с противоположным знаком: формула. Во-вторых, разделить обе части полученного равенства на число B, которое отлично от нуля, формула. И все.

Пример.

Прямую в прямоугольной системе координат Oxy задает общее уравнение прямой формула. Получите уравнение этой прямой с угловым коэффициентом.

Решение.

Проведем необходимые действия: формула.

Ответ:

формула

Когда прямая задана полным общим уравнением прямой, то легко получить уравнение прямой в отрезках вида формула. Для этого переносим число С в правую часть равенства формула с противоположным знаком, делим обе части полученного равенства на –С, и в заключении переносим в знаменатели коэффициенты при переменных x и y:
формула

Пример.

От общего уравнения прямой формула перейдите к уравнению прямой в отрезках.

Решение.

Перенесем одну вторую в правую часть: формула. Разделим на формула обе части полученного равенства: формула. Осталось преобразовать полученное равенство к нужному виду: формула. Так мы произвели переход от общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках.

Ответ:

формула

Пример приведения общего уравнения прямой к нормальному виду смотрите в статье нормальное уравнение прямой.

Теперь переходим к обратной процедуре.

Очень просто привести к общему уравнению прямой уравнение прямой в отрезках и уравнение прямой с угловым коэффициентом. Для этого достаточно просто собрать все слагаемые в левой части равенства:
формула

Нормальное уравнение прямой представляет собой особый вид общего уравнения прямой.

Каноническое уравнение прямой приводится к общему уравнению прямой с помощью следующих преобразований:
формула

От параметрических уравнений прямой следует сначала перейти к каноническому уравнению прямой, а уже потом к общему уравнению прямой формула.

Подробно разберем решения примеров.

Пример.

Получите общее уравнение прямой, которая задана уравнением прямой в отрезках формула.

Решение.

Нам достаточно переписать исходное уравнение в нужном виде формула.

Ответ:

формула

Пример.

Перейдите от уравнения прямой с угловым коэффициентом формула к общему уравнению прямой.

Решение.

Для этого нам достаточно перенести слагаемые в левую часть равенства: формула.

Ответ:

формула

Пример.

Напишите общее уравнение прямой, которую определяют параметрические уравнения прямой формула

Решение.

Перейдем от параметрических уравнений прямой к каноническому уравнению прямой:
формула

Теперь от канонического уравнения можно перейти к общему уравнению этой прямой:
формула

Ответ:

формула

Составление общего уравнения прямой.

В третьем пункте этой статьи мы показали, что общее уравнение прямой можно составить, если известны координаты нормального вектора прямой формула и координаты точки формула, через которую прямая проходит. Такая прямая в прямоугольной системе координат Oxy задается уравнением формула. Там же был рассмотрен пример составления общего уравнения прямой.

В этом разделе мы разберем решения более сложных примеров, когда сначала нужно определить координаты нормального вектора прямой.

Пример.

Найдите общее уравнение прямой, проходящей через точку формула и параллельной прямой формула.

Решение.

Так как по условию прямые параллельны, то нормальный вектор прямой формула можно взять в качестве нормального вектора прямой, уравнение которой мы ищем. Имеем формула. Теперь у нас есть все данные, чтобы записать общее уравнение прямой:
формула

Ответ:

формула

Пример.

Составьте общее уравнение прямой, если она проходит через начало координат и перпендикулярна прямой формула.

Решение.

Направляющий вектор прямой формула является нормальным вектором прямой, уравнение которой мы ищем, так как по условию прямые перпендикулярны. Тогда формула. Из условия мы знаем, что прямая проходит через начало координат, то есть, через точку формула. Теперь мы можем получить искомое общее уравнение прямой:
формула

Ответ:

формула



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+