Общее уравнение прямой - теория, примеры, решение задач.
Эта статья является частью темы уравнение прямой на плоскости. Здесь мы разберем общее уравнение прямой со всех сторон: начнем с доказательства теоремы, которая задает вид общего уравнения прямой, далее рассмотрим неполное общее уравнение прямой, приведем примеры неполных уравнений прямой с графическими иллюстрациями, в заключении остановимся на переходе от общего уравнения прямой к другим видам уравнения этой прямой и приведем подробные решения характерных задач на составление общего уравнения прямой.
Общее уравнение прямой - основные сведения.
Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Оxy.
Теорема.
Всякое уравнение первой степени вида 
, где А, В и С – некоторые действительные числа, причем А и В одновременно не равны нулю, задает прямую линию в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости, и любая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задается уравнением вида при некотором наборе значений A, B и C.
Доказательство.
Как видите, теорема состоит из двух частей. Докажем сначала, что уравнение вида задает прямую на плоскости.
Пусть координаты точки 
удовлетворяют уравнению , то есть, 
. Вычтем из левой и правой частей уравнения соответственно левую и правую части равенства , при этом получаем уравнение вида 
, которое эквивалентно .
Уравнение 
представляет собой необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов 
и 
. То есть, множество всех точек 
определяет в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, перпендикулярную направлению вектора . Если бы это было не так, то векторы и не были бы перпендикулярными и равенство не выполнялось бы.
Таким образом, уравнение задает прямую линию в прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости, следовательно, эквивалентное ему уравнение вида задает эту же прямую. На этом первая часть теоремы доказана.
Теперь докажем, что всякая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости определяется уравнением первой степени вида .
Пусть в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задана прямая a, проходящая через точку , - нормальный вектор прямой a, и пусть - плавающая точка этой прямой. Тогда векторы и перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, то есть, 
. Полученное равенство можно переписать в виде 
. Если принять 
, то получим уравнение , которое соответствует прямой a.
На этом доказательство теоремы завершено.
Уравнение вида есть общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy.
Из доказанной теоремы следует, что в фиксированной прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости прямая линия и ее общее уравнение прямой неразделимы. Иными словами, заданной прямой соответствует ее общее уравнение прямой, а этому общему уравнению прямой соответствует заданная прямая.
Из доказательства теоремы также видно, что коэффициенты А и В при переменных x и y являются соответствующими координатами нормального вектора прямой, заданной общим уравнением прямой вида .
Приведем пример общего уравнения прямой.
Уравнению 
соответствует прямая линия в заданной прямоугольной декартовой системе координат Oxy. Ее изображение представлено на чертеже. Нормальным вектором этой прямой линии является вектор 
.
С другой стороны, прямая линия, изображенная на рисунке, в прямоугольной системе координат Oxy задается общим уравнением прямой вида , так как координаты любой точки этой прямой удовлетворяют записанному уравнению.
Следует заметить, что уравнение вида 
, полученное из общего уравнения прямой умножением его обеих частей на отличное от нуля число 
, эквивалентно уравнению , следовательно, определяет ту же самую прямую на плоскости в фиксированной прямоугольной системе координат.
Неполное общее уравнение прямой.
Общее уравнение прямой называется полным, если все числа А, В и С отличны от нуля, в противном случае общее уравнение прямой называется неполным.
Рассмотрим все возможные варианты неполного общего уравнения прямой.
При 
общее уравнение прямой примет вид By+C=0. Это неполное общее уравнение прямой определяет в прямоугольной системе координат Oxy прямую параллельную оси Ох, так как при любых действительных значениях переменной х переменная y принимает одно и то же значение 
. Другими словами, общее уравнение прямой при 
определяет геометрическое место точек 
, ординаты которых равны одному и тому же числу .
При 
общее уравнение прямой примет вид y=0. Это общее неполное уравнение прямой определяет ось абсцисс Ox.
Аналогично, при 
имеем неполное общее уравнение прямой вида Ax+C=0. Это уравнение прямой параллельной оси ординат.
При 
имеем неполное общее уравнение прямой вида x=0 - уравнение координатной прямой Oy.
Если 
, то общее уравнение прямой примет вид 
. Это неполное общее уравнение прямой задает прямую, проходящую через начало координат. Действительно, пара чисел 
удовлетворяет равенству , так как 
.
Ниже приведена графическая иллюстрация всех видов общего неполного уравнения прямой.
Рассмотрим решения нескольких примеров, связанных с общим неполным уравнением прямой.
Пример.
Напишите общее уравнение прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку 
.
Решение.
Прямую, которая параллельна оси Oy, задает неполное общее уравнение прямой вида Ax+C=0, где 
. Так как по условию прямая проходит через точку , то координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой Ax+C=0, то есть, справедливо равенство 
. Из полученного равенства мы можем вычислить С, если придадим А любое ненулевое действительное значение. Пусть 
, тогда 
. Теперь подставляем и С=-2 в уравнение Ax+C=0 и получаем искомое уравнение прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку - оно имеет вид 
.
Ответ:
Пример.
Напишите уравнение прямой, изображенной на чертеже
Решение.
Очевидно, прямая линия, изображенная на рисунке, параллельна оси абсцисс Ox и проходит через точку 
.
Прямая линия, параллельная оси абсцисс задается общим неполным уравнением прямой вида By+C=0, 
. Определим значения В и С.
Так как прямая проходит через точку с координатами , то координаты точки удовлетворяют уравнению прямой By+C=0, следовательно, справедливо равенство 
. Придадим В любое действительное значение, отличное от нуля. Пусть В=1, тогда из равенства имеем С=-3. При В=1 и С=-3 уравнение By+C=0 примет вид y-3=0.
Ответ:
y-3=0
Общее уравнение прямой, которая проходит через заданную точку плоскости.
Получим вид общего уравнения прямой, если известно, что прямая проходит через точку .
Так как прямая проходит через точку , то ее координаты удовлетворяют общему уравнению прямой, то есть, справедливо равенство . Отнимем левую и правую часть последнего равенства соответственно от левой и правой части общего уравнения прямой. При этом получим уравнение , эквивалентное исходному общему уравнению прямой. Полученное уравнение представляет собой общее уравнение прямой, которая проходит через точку и имеет нормальный вектор .
Полученный результат позволяет составлять общее уравнение прямой, если известны координаты нормального вектора прямой и координаты некоторой точки этой прямой.
Пример.
Составьте общее уравнение прямой, если ее нормальным вектором является вектор 
и точка 
лежит на этой прямой.
Решение.
Из условия имеем 
. Тогда искомое общее уравнение прямой примет вид
Можно было поступить немного иначе. Покажем второй способ решения этой задач.
Общее уравнение прямой имеет вид . Так как - нормальный вектор прямой, то его координаты дают нам коэффициенты A и B в общем уравнении прямой, следовательно, 
.
Осталось найти значение С. Для этого используем условие о принадлежности точки этой прямой - координаты точки удовлетворяют уравнению 
, то есть, 
. Из полученного уравнения находим С=11. Таким образом, искомое общее уравнение прямой примет вид 
.
Ответ:
Пример.
Дано общее уравнение прямой 
. Проходит ли эта прямая через точки 
и 
.
Решение.
Подставим координаты точки M1 в уравнение прямой: 
. При этом мы получили тождество, следовательно, точка лежит на прямой.
Подставляем координаты точки М2: 
. Получаем неверное равенство, поэтому точка не лежит на прямой.
Ответ:
прямая проходит через точку М1 и не походит через точку М2.
Пример.
Найдите ординату точки М0, лежащей на прямой 
, если ее абсцисса равна -3.
Решение.
Обозначим координаты точки М0 как x0 и y0. По условию x0 = -3. Так как точка M0 лежит на прямой, заданной общим уравнением, то ее координаты удовлетворяют этому уравнению. Следовательно, должно быть справедливо равенство 
. Из него находим y0:
Ответ:
- искомая ордината точки прямой.
Переход от общего уравнения прямой к другим видам уравнения прямой и обратно.
Существуют различные виды уравнения прямой на плоскости, описывающие одну и ту же линию. В зависимости от условий задачи удобно использовать тот или иной вид уравнения прямой. Поэтому, полезно уметь переходить от уравнения прямой одного вида к уравнению прямой другого вида. Цель этого пункта статьи заключается в приобретении навыков приведения общего уравнения прямой к другим видам уравнения прямой и обратно.
Начнем с приведения общего уравнения прямой к каноническому уравнению прямой вида 
.
Если , то переносим слагаемое 
в правую часть равенства с противоположным знаком 
. В левой части равенства выносим А за скобки 
. Полученное равенство можно записать как пропорцию вида 
.
Если , то оставляем в левой части общего уравнения прямой только слагаемое 
, а остальные переносим в правую часть с противоположным знаком: 
. Теперь выносим в правой части равенства –B за скобки 
и записываем полученное равенство в виде пропорции 
. Вот и все.
Запоминать полученные формулы не имеет смысла, проще повторять указанные действия при приведении общего уравнения прямой к каноническому виду.
Пример.
Приведите уравнение прямой 
к каноническому виду.
Решение.
Исходное неполное уравнение прямой перепишем как 
. Оставляем в левой части равенства только слагаемое 
: 
. В правой части равенства выносим -3 за скобки: 
. Осталось записать полученное равенство в виде пропорции 
и на этом приведение общего уравнения прямой к каноническому виду завершено.
Ответ:
Переход от общего уравнения прямой к параметрическим уравнениям прямой проводится в два этапа: сначала общее уравнение приводится к каноническому виду, а затем осуществляется переход от канонического уравнения прямой к параметрическим уравнениям прямой.
Разберем этот алгоритм при решении примера.
Пример.
Напишите параметрические уравнения прямой, которая задана общим уравнение прямой 
.
Решение.
Сначала приведем исходное общее уравнение прямой к каноническому уравнению прямой:
Теперь принимаем левую и правую части полученного уравнения равными параметру . Имеем
Ответ:
Из общего уравнения прямой вида получить уравнение прямой с угловым коэффициентом 
возможно лишь тогда, когда 
. Что нужно сделать для перехода? Во-первых, в левой общего уравнения прямой оставить только слагаемое 
, остальные слагаемые нужно перенести в правую часть с противоположным знаком: 
. Во-вторых, разделить обе части полученного равенства на число B, которое отлично от нуля, 
. И все.
Пример.
Прямую в прямоугольной системе координат Oxy задает общее уравнение прямой 
. Получите уравнение этой прямой с угловым коэффициентом.
Решение.
Проведем необходимые действия: 
.
Ответ:
Когда прямая задана полным общим уравнением прямой, то легко получить уравнение прямой в отрезках вида 
. Для этого переносим число С в правую часть равенства с противоположным знаком, делим обе части полученного равенства на –С, и в заключении переносим в знаменатели коэффициенты при переменных x и y:
Пример.
От общего уравнения прямой 
перейдите к уравнению прямой в отрезках.
Решение.
Перенесем одну вторую в правую часть: 
. Разделим на 
обе части полученного равенства: 
. Осталось преобразовать полученное равенство к нужному виду: 
. Так мы произвели переход от общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках.
Ответ:
Пример приведения общего уравнения прямой к нормальному виду смотрите в статье нормальное уравнение прямой.
Теперь переходим к обратной процедуре.
Очень просто привести к общему уравнению прямой уравнение прямой в отрезках и уравнение прямой с угловым коэффициентом. Для этого достаточно просто собрать все слагаемые в левой части равенства:
Нормальное уравнение прямой представляет собой особый вид общего уравнения прямой.
Каноническое уравнение прямой приводится к общему уравнению прямой с помощью следующих преобразований:
От параметрических уравнений прямой следует сначала перейти к каноническому уравнению прямой, а уже потом к общему уравнению прямой
.
Подробно разберем решения примеров.
Пример.
Получите общее уравнение прямой, которая задана уравнением прямой в отрезках 
.
Решение.
Нам достаточно переписать исходное уравнение в нужном виде 
.
Ответ:
Пример.
Перейдите от уравнения прямой с угловым коэффициентом 
к общему уравнению прямой.
Решение.
Для этого нам достаточно перенести слагаемые в левую часть равенства: 
.
Ответ:
Пример.
Напишите общее уравнение прямой, которую определяют параметрические уравнения прямой 
Решение.
Перейдем от параметрических уравнений прямой к каноническому уравнению прямой:
Теперь от канонического уравнения можно перейти к общему уравнению этой прямой:
Ответ:
Составление общего уравнения прямой.
В третьем пункте этой статьи мы показали, что общее уравнение прямой можно составить, если известны координаты нормального вектора прямой и координаты точки , через которую прямая проходит. Такая прямая в прямоугольной системе координат Oxy задается уравнением .
Там же был рассмотрен пример составления общего уравнения прямой.
В этом разделе мы разберем решения более сложных примеров, когда сначала нужно определить координаты нормального вектора прямой.
Пример.
Найдите общее уравнение прямой, проходящей через точку 
и параллельной прямой 
.
Решение.
Так как по условию прямые параллельны, то нормальный вектор прямой можно взять в качестве нормального вектора прямой, уравнение которой мы ищем. Имеем 
. Теперь у нас есть все данные, чтобы записать общее уравнение прямой:
Ответ:
Пример.
Составьте общее уравнение прямой, если она проходит через начало координат и перпендикулярна прямой 
.
Решение.
Направляющий вектор прямой является нормальным вектором прямой, уравнение которой мы ищем, так как по условию прямые перпендикулярны. Тогда 
. Из условия мы знаем, что прямая проходит через начало координат, то есть, через точку 
. Теперь мы можем получить искомое общее уравнение прямой:
Ответ:
Список литературы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Некогда разбираться?