Прямая, плоскость, их уравнения

Уравнение прямой, виды уравнения прямой на плоскости.


Эта статья является продолжением раздела прямая на плоскости. Здесь мы перейдем к алгебраическому описанию прямой линии с помощью уравнения прямой.

Материал данной статьи является ответом на вопросы: «Какое уравнение называют уравнением прямой и какой вид имеет уравнение прямой на плоскости»?


Уравнение прямой на плоскости - определение.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy и в ней задана прямая линия.

Прямая, как и любая другая геометрическая фигура, состоит из точек. В фиксированной прямоугольной системе координат каждая точка прямой имеет свои координаты – абсциссу и ординату. Так вот зависимость между абсциссой и ординатой каждой точки прямой в фиксированной системе координат, может быть задана уравнением, которое называют уравнением прямой на плоскости.

Другими словами, уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy есть некоторое уравнение с двумя переменными x и y, которое обращается в тождество при подстановке в него координат любой точки этой прямой.

Осталось разобраться с вопросом, какой вид имеет уравнение прямой на плоскости. Ответ на него содержится в следующем пункте статьи. Забегая вперед, отметим, что существуют различные формы записи уравнения прямой, что объясняется спецификой решаемых задач и способом задания прямой линии на плоскости. Итак, приступим к обзору основных видов уравнения прямой линии на плоскости.

Общее уравнение прямой.


Вид уравнения прямой в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задает следующая теорема.

Теорема.

Всякое уравнение первой степени с двумя переменными x и y вида формула, где А, В и С – некоторые действительные числа, причем А и В одновременно не равны нулю, задает прямую линию в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости, и всякая прямая на плоскости задается уравнением вида формула.

Уравнение формула называется общим уравнением прямой на плоскости.

Поясним смысл теоремы.

Заданному уравнению вида формула соответствует прямая на плоскости в данной системе координат, а прямой линии на плоскости в данной системе координат соответствует уравнение прямой вида формула.

Посмотрите на чертеж.

изображение

С одной стороны можно сказать, что эта линия определяется общим уравнением прямой вида формула, так как координаты любой точки изображенной прямой удовлетворяют этому уравнению. С другой стороны, множество точек плоскости, определяемых уравнением формула, дают нам прямую линию, приведенную на чертеже.

Общее уравнение прямой называется полным, если все числа А, В и С отличны от нуля, в противном случае общее уравнение прямой называется неполным. Неполное уравнение прямой вида формула определяют прямую, проходящую через начало координат. При А=0 уравнение формула задает прямую, параллельную оси абсцисс Ox, а при В=0 – параллельную оси ординат Oy.

Таким образом, любую прямую на плоскости в заданной прямоугольной системе координат Oxy можно описать с помощью общего уравнения прямой при некотором наборе значений чисел А, В и С.

Нормальный вектор прямой, заданной общим уравнением прямой вида формула, имеет координаты формула.

Все уравнения прямых, которые приведены в следующих пунктах этой статьи, могут быть получены из общего уравнения прямой, а также могут быть обратно приведены к общему уравнению прямой.

Рекомендуем к дальнейшему изучению статью общее уравнение прямой. Там доказана теорема, сформулированная в начале этого пункта статьи, приведены графические иллюстрации, подробно разобраны решения примеров на составление общего уравнения прямой, показан переход от общего уравнения прямой к уравнениям другого вида и обратно, а также рассмотрены другие характерные задачи.

Уравнение прямой в отрезках.

Уравнение прямой вида формула, где a и b – некоторые действительные числа отличные от нуля, называется уравнением прямой в отрезках. Это название не случайно, так как абсолютные величины чисел а и b равны длинам отрезков, которые прямая отсекает на координатных осях Ox и Oy соответственно (отрезки отсчитываются от начала координат). Таким образом, уравнение прямой в отрезках позволяет легко строить эту прямую на чертеже. Для этого следует отметить в прямоугольной системе координат на плоскости точки с координатами формула и формула, и с помощью линейки соединить их прямой линией.

Для примера построим прямую линию, заданную уравнением в отрезках вида формула. Отмечаем точки формула и соединяем их.

изображение

Детальную информацию об этом виде уравнения прямой на плоскости Вы можете получить в статье уравнение прямой в отрезках.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой вида формула, где x и y - переменные, а k и b – некоторые действительные числа, называется уравнением прямой с угловым коэффициентом (k – угловой коэффициент). Уравнения прямой с угловым коэффициентом нам хорошо известны из курса алгебры средней школы. Такой вид уравнения прямой очень удобен для исследования, так как переменная y представляет собой явную функцию аргумента x.

Определение углового коэффициента прямой дается через определение угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox.

Определение.

Углом наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс в данной прямоугольной декартовой системе координат Oxy называют угол формула, отсчитываемый от положительного направления оси Ох до данной прямой против хода часовой стрелки.

Если прямая параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, то угол ее наклона считают равным нулю.

Определение.

Угловой коэффициент прямой есть тангенс угла наклона этой прямой, то есть, формула.

Если прямая параллельна оси ординат, то угловой коэффициент обращается в бесконечность (в этом случае также говорят, что угловой коэффициент не существует). Другими словами, мы не можем написать уравнение прямой с угловым коэффициентом для прямой, параллельной оси Oy или совпадающей с ней.

Заметим, что прямая, определяемая уравнением формула, проходит через точку формула на оси ординат.

Таким образом, уравнение прямой с угловым коэффициентом формула определяет на плоскости прямую, проходящую через точку формула и образующую угол формула с положительным направлением оси абсцисс, причем формула.

В качестве примера изобразим прямую, определяемую уравнением вида формула. Эта прямая проходит через точку формула и имеет наклон формула радиан (60 градусов) к положительному направлению оси Ox. Ее угловой коэффициент равен формула.

изображение

Отметим, что уравнение касательной к графику функции в точке очень удобно искать именно в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом.

Рекомендуем продолжить изучение этой темы в разделе уравнение прямой с угловым коэффициентом. Там представлена более подробная информация, приведены графические иллюстрации, детально разобраны решения характерных примеров и задач.

Каноническое уравнение прямой на плоскости.

Каноническое уравнение прямой на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат Oxy имеет вид формула, где формула и формула – некоторые действительные числа, причем формула и формула одновременно не равны нулю.

Очевидно, что прямая линия, определяемая каноническим уравнением прямой, проходит через точку формула. В свою очередь числа формула и формула, стоящие в знаменателях дробей, представляют собой координаты направляющего вектора этой прямой. Таким образом, каноническое уравнение прямой формула в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости соответствует прямой, проходящей через точку формула и имеющей направляющий вектор формула.

Для примера изобразим на плоскости прямую линию, соответствующую каноническому уравнению прямой вида формула. Очевидно, что точка формула принадлежит прямой, а вектор формула является направляющим вектором этой прямой.

изображение

Каноническое уравнение прямой вида формула используют даже тогда, когда одно из чисел формула или формула равно нулю. В этом случае запись формула считают условной (так как содержится ноль в знаменателе) и ее следует понимать как формула. Если формула, то каноническое уравнение принимает вид формула и определяет прямую, параллельную оси ординат (или совпадающую с ней). Если формула, то каноническое уравнение прямой принимает вид формула и определяет прямую, параллельную оси абсцисс (или совпадающую с ней).

Детальная информация об уравнении прямой в каноническом виде, а также подробные решения характерных примеров и задач собраны в статье каноническое уравнение прямой на плоскости.

Параметрические уравнения прямой на плоскости.

Параметрические уравнения прямой на плоскости имеют вид формула, где формула и формула – некоторые действительные числа, причем формула и формула одновременно не равны нулю, а формула - параметр, принимающий любые действительные значения.

Параметрические уравнения прямой устанавливают неявную зависимость между абсциссами и ординатами точек прямой линии с помощью параметра формула (отсюда и название этого вида уравнений прямой).

Пара чисел формула, которые вычисляются по параметрическим уравнениям прямой при некотором действительном значении параметра формула, представляет собой координаты некоторой точки прямой. К примеру, при формула имеем формула, то есть, точка с координатами формула лежит на прямой.

Следует отметить, что коэффициенты формула и формула при параметре формула в параметрических уравнениях прямой являются координатами направляющего вектора этой прямой.

Для примера приведем параметрические уравнения прямой вида формула. Эта прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости проходит через точку с координатами формула и имеет направляющий вектор формула.

В статье параметрические уравнения прямой на плоскости Вы можете ознакомиться с подробным решением примеров и задач по этой теме.

Нормальное уравнение прямой.

Если в общем уравнении прямой вида формула числа А, В и С таковы, что длина вектора формула равна единице, а формула, то это общее уравнение прямой называется нормальным уравнением прямой. Нормальное уравнение прямой определяет в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, нормальным вектором которой является вектор формула, причем эта прямая проходит на расстоянии формула от начала координат в направлении вектора формула.

Часто можно видеть другую форму записи нормального уравнения прямой: формула, где формула и формула - действительные числа, представляющие собой направляющие косинусы нормального вектора прямой единичной длины (то есть, формула и справедливо равенство формула), а величина p (формула) равна расстоянию от начала координат до прямой.

Для примера приведем общее уравнение прямой формула. Это общее уравнение прямой является нормальным уравнением прямой, так как формула и формула. Оно в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задает прямую линию, нормальный вектор которой имеет координаты формула, и эта прямая удаленна от начала координат на 3 единицы в направлении нормального вектора формула.

изображение

Отметим, что уравнение прямой в нормальном виде позволяет находить расстояние от точки до прямой на плоскости.

Если в общем уравнении прямой формула числа А, В и С таковы, что уравнение формула не является нормальным уравнением прямой, то его можно привести к нормальному виду. Об этом читайте в статье нормальное уравнение прямой.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Мордкович А.Г. Алгебра. 7 класс. Часть 1: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+