Прямая, плоскость, их уравнения

Уравнение прямой в отрезках - описание, примеры, решение задач.


В этой статье продолжим изучение темы уравнение прямой на плоскости и подробно разберем особый вид уравнения прямой – уравнение прямой в отрезках. Начнем с вида уравнения прямой в отрезках и приведем пример. После этого остановимся на построении прямой линии, которая задана уравнением прямой в отрезках. В заключении покажем, как осуществляется переход от полного общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках.


Уравнение прямой в отрезках – описание и пример.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова систему координат Oxy.

Уравнение прямой в отрезках на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy имеет вид формула, где a и b - некоторые отличные от нуля действительные числа.

Уравнение прямой в отрезках не случайно получило такое название - абсолютные величины чисел a и b равны длинам отрезков, которые отсекает прямая на координатных осях Ox и Oy, считая от начала координат.

Поясним этот момент. Мы знаем, что координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению этой прямой. Тогда отчетливо видно, что прямая, заданная уравнением прямой в отрезках, проходит через точки формула и формула, так как формула и формула. А точки формула и формула как раз расположены на координатных осях Ox и Oy соответственно и удаленны от начала координат на a и b единиц. Знаки чисел a и b указывают направление, в котором следует откладывать отрезки. Знак «+» означает, что отрезок откладывается в положительном направлении координатной оси, знак «-» означает обратное.

Изобразим схематический чертеж, поясняющий все вышесказанное. На нем показано расположение прямых относительно фиксированной прямоугольной системы координат Oxy в зависимости от значений чисел a и b в уравнении прямой в отрезках.

изображение

Теперь стало понятно, что уравнение прямой в отрезках позволяет легко производить построение этой прямой линии в прямоугольной системе координат Oxy. Чтобы построить прямую линию, которая задана уравнением прямой в отрезках вида формула, следует отметить в прямоугольной системе координат на плоскости точки формула и формула, после чего соединить их прямой линией с помощью линейки.

Приведем пример.

Пример.

Постройте прямую линию, заданную уравнением прямой в отрезках вида формула.

Решение.

По заданному уравнению прямой в отрезках видно, что прямая проходит через точки формула. Отмечаем их и соединяем прямой линией.

изображение

Приведение общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках.


При решении некоторых задач, связанных с прямой на плоскости, удобно работать с уравнением прямой в отрезках. Однако существуют другие виды уравнений, задающих прямую на плоскости. Поэтому приходится осуществлять переход от заданного уравнения прямой к уравнению этой прямой в отрезках.

В этом пункте мы покажем, как получить уравнение прямой в отрезках, если дано полное общее уравнение прямой.

Пусть нам известно полное общее уравнение прямой на плоскости формула. Так как А, В и С не равны нулю, то можно перенести число С в правую часть равенства, разделить обе части полученного равенства на –С, а коэффициенты при x и y отправить в знаменатели:
формула.

(В последнем переходе мы пользовались равенством формула).

Так мы от общего уравнения прямой формула перешли к уравнению прямой в отрезках формула, где формула.

Пример.

Прямая в прямоугольной системе координат Oxy задана уравнением формула. Напишите уравнение этой прямой в отрезках.

Решение.

Перенесем одну вторую в правую часть заданного равенства: формула. Теперь разделим на формула обе части полученного равенства: формула. Осталось преобразовать полученное равенство к нужному виду: формула. Так мы получили требуемое уравнение прямой в отрезках.

Ответ:

формула

Если прямую определяет каноническое уравнение прямой на плоскости или прямую задают параметрические уравнения прямой на плоскости, то следует сначала перейти к общему уравнению этой прямой, а уже потом к уравнению прямой в отрезках.

Задача перехода от уравнения прямой в отрезках к общему уравнению прямой решается еще проще - единицу из правой части уравнения прямой в отрезках вида формула нужно перенести в левую часть с противоположным знаком и выделить коэффициенты перед неизвестными переменными x и y: формула. От этого общего уравнения прямой можно перейти к любому другому виду уравнения этой прямой. Этот процесс разобран в статье приведение общего уравнения прямой к другим видам уравнения прямой.

Пример.

Прямая на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy задана уравнением прямой в отрезках вида формула. Напишите общее уравнение этой прямой.

Решение.

Выполним необходимые действия:
формула

Ответ:

формула



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+