Расстояние от точки до плоскости – определение и примеры нахождения.
В этой статье мы дадим определение расстояния от точки до плоскости и разберем метод координат, позволяющий находить расстояние от заданной точки до заданной плоскости в трехмерном пространстве. После изложения теории подробно разберем решения нескольких характерных примеров и задач.
Расстояние от точки до плоскости – определение.
Расстояние от точки до плоскости определяется через расстояние от точки до точки, одна из которых заданная точка, а другая – проекция заданной точки на заданную плоскость.
Пусть в трехмерном пространстве задана точка М1 и плоскость 
. Проведем через точку М1 прямую a, перпендикулярную к плоскости . Обозначим точку пересечения прямой a и плоскости как H1. Отрезок M1H1 называют перпендикуляром, опущенным из точки М1 на плоскость , а точку H1 – основанием перпендикуляра.
Определение.
Расстояние от точки до плоскости – это расстояние от данной точки до основания перпендикуляра, проведенного из заданной точки к заданной плоскости.
Чаще встречается определение расстояние от точки до плоскости в следующем виде.
Определение.
Расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, опущенного из заданной точки к заданной плоскости.
Следует отметить, что расстояние от точки М1 до плоскости , определенное таким образом, является наименьшим из расстояний от заданной точки М1 до любой точки плоскости . Действительно, пусть точка H2 лежит в плоскости и отлична от точки H1. Очевидно, треугольник М2H1H2 является прямоугольным, в нем М1H1 – катет, а M1H2 – гипотенуза, следовательно, 
. Кстати, отрезок M1H2 называется наклонной, проведенной из точки М1 к плоскости . Итак, перпендикуляр, опущенный из заданной точки на заданную плоскость, всегда меньше наклонной, проведенной из этой же точки к заданной плоскости.
Расстояние от точки до плоскости – теория, примеры, решения.
Некоторые геометрические задачи на некотором этапе решения требуют нахождения расстояния от точки до плоскости. Способ для этого подбирается в зависимости от исходных данных. Обычно к результату приводит использование либо теоремы Пифагора, либо признаков равенства и подобия треугольников. Если же требуется найти расстояние от точки до плоскости, которые заданы в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, то на помощь приходит метод координат. В этом пункте статьи мы как раз его и разберем.
Сначала сформулируем условие задачи.
В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве дана точка 
, плоскость и требуется найти расстояние от точки М1 до плоскости .
Разберем два способа решения этой задачи. Первый способ, позволяющий вычислить расстояние от точки до плоскости, основан на нахождении координат точки H1 - основания перпендикуляра, опущенного из точки М1 на плоскость , и последующем вычислении расстояния между точками М1 и H1. Второй способ нахождения расстояния от заданной точки до заданной плоскости подразумевает использование нормального уравнения заданной плоскости.
Первый способ, позволяющий вычислять расстояние от точки до плоскости .
Пусть H1 – основание перпендикуляра, проведенного из точки M1 к плоскости . Если мы определим координаты 
точки H1, то требуемое расстояние от точки М1 до плоскости можно будет вычислить как расстояние между точками и 
по формуле 
. Таким образом, остается найти координаты точки H1.
Очевидно, что H1 – точка пересечения заданной плоскости и прямой a, проходящей через точку М1 перпендикулярно к плоскости . Тогда, составив уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости, мы сможем определить координаты точки H1. Для этого придется вычислить координаты точки пересечения прямой a и плоскости (смотрите статью нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости).
Итак, алгоритм для нахождения расстояния от точки до плоскости следующий:
-
составляем уравнение прямой a, которая проходит через точку М1 и перпендикулярна к плоскости ;
-
находим координаты точки H1 - точки пересечения прямой a и плоскости ;
-
вычисляем расстояние от точки М1 до плоскости по формуле
.
Второй способ, подходящий для нахождения расстояния от точки до плоскости .
Так как в прямоугольной системе координат Oxyz нам задана плоскость , то мы можем получить нормальное уравнение плоскости в виде 
. Тогда расстояние 
от точки до плоскости вычисляется по формуле 
. Справедливость этой формулы для нахождения расстояния от точки до плоскости устанавливается следующей теоремой.
Теорема.
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, задана точка и нормальное уравнение плоскости вида . Расстояние от точки М1 до плоскости равно абсолютной величине значения выражения, стоящего в левой части нормального уравнения плоскости, вычисленного при 
, то есть, .
Доказательство.
Доказательство этой теоремы абсолютно аналогично доказательству подобной теоремы, приведенной в разделе нахождение расстояния от точки до прямой.
Несложно показать, что расстояние от точки М1 до плоскости равно модулю разности числовой проекции радиус-вектора точки М1 и величины расстояния от начала координат до плоскости , то есть, 
, где 
- нормальный вектор плоскости , длина вектора 
равна единице, 
- числовая проекция вектора 
на направление, определяемое вектором .
Скалярное произведение векторов и по определению равно 
, а в координатной форме 
. Следовательно, 
и 
что и требовалось доказать.
Таким образом, расстояние от точки до плоскости можно вычислить, подставив в левую часть нормального уравнения плоскости вместо x, y и z координаты x1, y1 и z1 точки М1 и взяв абсолютную величину полученного значения.
Примеры нахождения расстояния от точки до плоскости .
Пример.
Найти расстояние от точки 
до плоскости 
.
Решение.
Первый способ.
В условии задачи нам дано общее уравнение плоскости вида , откуда видно, что 
- нормальный вектор этой плоскости. Этот вектор можно принять как направляющий вектор прямой a, перпендикулярной к заданной плоскости. Тогда мы можем написать канонические уравнения прямой в пространстве, которая проходит через точку и имеет направляющий вектор с координатами 
, они имеют вид 
.
Приступаем к нахождению координат точки пересечения прямой 
и плоскости . Обозначим ее H1. Для этого сначала выполним переход от канонических уравнений прямой к уравнениям двух пересекающихся плоскостей:
Теперь решим систему уравнений 
(при необходимости обращайтесь к статье решение систем линейных уравнений). Используем метод Гаусса:
Таким образом, 
.
Осталось вычислить необходимое расстояние от заданной точки до заданной плоскости как расстояние между точками и :
.
Второй способ решения.
Получим нормальное уравнение заданной плоскости . Для этого нам нужно привести общее уравнение плоскости к нормальному виду. Определив нормирующий множитель 
, получаем нормальное уравнение плоскости 
. Осталось вычислить значение левой части полученного уравнения при 
и взять модуль полученного значения – это даст искомое расстояние от точки до плоскости :
Ответ:
.
Если плоскость в условии задачи задана одним из способов, описанным в разделе способы задания плоскости, то следует сначала получить общее уравнение плоскости , после чего находить расстояние от точки до плоскости любым из разобранных методов.
Пример.
В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве заданы точки 
. Вычислите расстояние от точки М1 до плоскости АВС.
Решение.
Сначала напишем уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки 
:
Таким образом, решаемая задача эквивалентна предыдущей. Следовательно, искомое расстояние от точки М1 до плоскости АВС равно .
Ответ:
.
Отметим, что находить расстояние от заданной точки до координатных плоскостей или до плоскостей им параллельных удобно именно с помощью формулы , так как нормальные уравнения указанных плоскостей очень легко получить.
Пример.
Найдите расстояние от точки 
до координатной плоскости Oyz и до плоскости 
.
Решение.
Координатной плоскости Oyz соответствует неполное общее уравнение плоскости вида 
. Это же уравнение является нормальным уравнением плоскости Oyz. Подставив в левую часть записанного уравнения значение 
и взяв модуль, получаем искомое расстояние от точки до заданной плоскости: 
.
Нормальное уравнение плоскости имеет вид 
. Поэтому, искомое расстояние от точки до плоскости равно 
.
Ответ:
расстояние от точки до координатной плоскости Oyz равно 3, а до плоскости равно 
.
Список литературы.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
- Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Некогда разбираться?