Прямая, плоскость, их уравнения

Расстояние от точки до плоскости – определение и примеры нахождения.


В этой статье мы дадим определение расстояния от точки до плоскости и разберем метод координат, позволяющий находить расстояние от заданной точки до заданной плоскости в трехмерном пространстве. После изложения теории подробно разберем решения нескольких характерных примеров и задач.


Расстояние от точки до плоскости – определение.

Расстояние от точки до плоскости определяется через расстояние от точки до точки, одна из которых заданная точка, а другая – проекция заданной точки на заданную плоскость.

Пусть в трехмерном пространстве задана точка М1 и плоскость формула. Проведем через точку М1 прямую a, перпендикулярную к плоскости формула. Обозначим точку пересечения прямой a и плоскости формула как H1. Отрезок M1H1 называют перпендикуляром, опущенным из точки М1 на плоскость формула, а точку H1основанием перпендикуляра.

Определение.

Расстояние от точки до плоскости – это расстояние от данной точки до основания перпендикуляра, проведенного из заданной точки к заданной плоскости.

Чаще встречается определение расстояние от точки до плоскости в следующем виде.

Определение.

Расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, опущенного из заданной точки к заданной плоскости.

изображение

Следует отметить, что расстояние от точки М1 до плоскости формула, определенное таким образом, является наименьшим из расстояний от заданной точки М1 до любой точки плоскости формула. Действительно, пусть точка H2 лежит в плоскости формула и отлична от точки H1. Очевидно, треугольник М2H1H2 является прямоугольным, в нем М1H1 – катет, а M1H2 – гипотенуза, следовательно, формула. Кстати, отрезок M1H2 называется наклонной, проведенной из точки М1 к плоскости формула. Итак, перпендикуляр, опущенный из заданной точки на заданную плоскость, всегда меньше наклонной, проведенной из этой же точки к заданной плоскости.

изображение

Расстояние от точки до плоскости – теория, примеры, решения.


Некоторые геометрические задачи на некотором этапе решения требуют нахождения расстояния от точки до плоскости. Способ для этого подбирается в зависимости от исходных данных. Обычно к результату приводит использование либо теоремы Пифагора, либо признаков равенства и подобия треугольников. Если же требуется найти расстояние от точки до плоскости, которые заданы в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, то на помощь приходит метод координат. В этом пункте статьи мы как раз его и разберем.

Сначала сформулируем условие задачи.

В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве дана точка формула, плоскость формула и требуется найти расстояние от точки М1 до плоскости формула.

Разберем два способа решения этой задачи. Первый способ, позволяющий вычислить расстояние от точки до плоскости, основан на нахождении координат точки H1 - основания перпендикуляра, опущенного из точки М1 на плоскость формула, и последующем вычислении расстояния между точками М1 и H1. Второй способ нахождения расстояния от заданной точки до заданной плоскости подразумевает использование нормального уравнения заданной плоскости.

Первый способ, позволяющий вычислять расстояние от точки формула до плоскости формула.

Пусть H1 – основание перпендикуляра, проведенного из точки M1 к плоскости формула. Если мы определим координаты формула точки H1, то требуемое расстояние от точки М1 до плоскости формула можно будет вычислить как расстояние между точками формула и формула по формуле формула. Таким образом, остается найти координаты точки H1.

Очевидно, что H1 – точка пересечения заданной плоскости формула и прямой a, проходящей через точку М1 перпендикулярно к плоскости формула. Тогда, составив уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости, мы сможем определить координаты точки H1. Для этого придется вычислить координаты точки пересечения прямой a и плоскости формула (смотрите статью нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости).

Итак, алгоритм для нахождения расстояния от точки формула до плоскости формула следующий:

Второй способ, подходящий для нахождения расстояния от точки формула до плоскости формула.

Так как в прямоугольной системе координат Oxyz нам задана плоскость формула, то мы можем получить нормальное уравнение плоскости формула в виде формула. Тогда расстояние формула от точки формула до плоскости формула вычисляется по формуле формула. Справедливость этой формулы для нахождения расстояния от точки до плоскости устанавливается следующей теоремой.

Теорема.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, задана точка формула и нормальное уравнение плоскости формула вида формула. Расстояние формула от точки М1 до плоскости формула равно абсолютной величине значения выражения, стоящего в левой части нормального уравнения плоскости, вычисленного при формула, то есть, формула.

Доказательство.

Доказательство этой теоремы абсолютно аналогично доказательству подобной теоремы, приведенной в разделе нахождение расстояния от точки до прямой.

Несложно показать, что расстояние от точки М1 до плоскости формула равно модулю разности числовой проекции радиус-вектора точки М1 и величины расстояния от начала координат до плоскости формула, то есть, формула, где формула - нормальный вектор плоскости формула, длина вектора формула равна единице, формула - числовая проекция вектора формула на направление, определяемое вектором формула.

Скалярное произведение векторов формула и формула по определению равно формула, а в координатной форме формула. Следовательно, формула и формула что и требовалось доказать.

Таким образом, расстояние от точки формула до плоскости формула можно вычислить, подставив в левую часть нормального уравнения плоскости формула вместо x, y и z координаты x1, y1 и z1 точки М1 и взяв абсолютную величину полученного значения.

Примеры нахождения расстояния от точки формула до плоскости формула.

Пример.

Найти расстояние от точки формула до плоскости формула.

Решение.

Первый способ.

В условии задачи нам дано общее уравнение плоскости вида формула, откуда видно, что формула - нормальный вектор этой плоскости. Этот вектор можно принять как направляющий вектор прямой a, перпендикулярной к заданной плоскости. Тогда мы можем написать канонические уравнения прямой в пространстве, которая проходит через точку формула и имеет направляющий вектор с координатами формула, они имеют вид формула.

Приступаем к нахождению координат точки пересечения прямой формула и плоскости формула. Обозначим ее H1. Для этого сначала выполним переход от канонических уравнений прямой к уравнениям двух пересекающихся плоскостей:
формула

Теперь решим систему уравнений формула (при необходимости обращайтесь к статье решение систем линейных уравнений). Используем метод Гаусса:
формула

Таким образом, формула.

Осталось вычислить необходимое расстояние от заданной точки до заданной плоскости как расстояние между точками формула и формула:
формула.

Второй способ решения.

Получим нормальное уравнение заданной плоскости формула. Для этого нам нужно привести общее уравнение плоскости к нормальному виду. Определив нормирующий множитель формула, получаем нормальное уравнение плоскости формула. Осталось вычислить значение левой части полученного уравнения при формула и взять модуль полученного значения – это даст искомое расстояние от точки формула до плоскости формула:
формула

Ответ:

формула.

Если плоскость формула в условии задачи задана одним из способов, описанным в разделе способы задания плоскости, то следует сначала получить общее уравнение плоскости формула, после чего находить расстояние от точки до плоскости любым из разобранных методов.

Пример.

В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве заданы точки формула. Вычислите расстояние от точки М1 до плоскости АВС.

Решение.

Сначала напишем уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки формула:
формула

Таким образом, решаемая задача эквивалентна предыдущей. Следовательно, искомое расстояние от точки М1 до плоскости АВС равно формула.

Ответ:

формула.

Отметим, что находить расстояние от заданной точки до координатных плоскостей или до плоскостей им параллельных удобно именно с помощью формулы формула, так как нормальные уравнения указанных плоскостей очень легко получить.

Пример.

Найдите расстояние от точки формула до координатной плоскости Oyz и до плоскости формула.

Решение.

Координатной плоскости Oyz соответствует неполное общее уравнение плоскости вида формула. Это же уравнение является нормальным уравнением плоскости Oyz. Подставив в левую часть записанного уравнения значение формула и взяв модуль, получаем искомое расстояние от точки формула до заданной плоскости: формула.

Нормальное уравнение плоскости формула имеет вид формула. Поэтому, искомое расстояние от точки формула до плоскости формула равно формула.

Ответ:

расстояние от точки формула до координатной плоскости Oyz равно 3, а до плоскости формула равно формула.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+