Прямая, плоскость, их уравнения

Расстояние от точки до прямой на плоскости и в пространстве – определение и примеры нахождения.


В этой статье собрана информация по теме «расстояние от точки до прямой»: дано определение расстояния от точки до прямой, приведены графические иллюстрации, разобрано нахождение расстояния от точки до прямой на плоскости и в пространстве методом координат. После каждого блока теории показаны подробные решения примеров и задач на нахождение расстояния от точки до прямой.


Расстояние от точки до прямой – определение.

Расстояние от точки до прямой определяется через расстояние от точки до точки. Покажем как это делается.

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве задана прямая a и точка M1, не лежащая на прямой a. Проведем через точку M1 прямую b, перпендикулярную прямой a. Обозначим точку пересечения прямых a и b как H1. Отрезок M1H1 называется перпендикуляром, проведенным из точки M1 к прямой a.

Определение.

Расстоянием от точки M1 до прямой a называют расстояние между точками M1 и H1.

Однако чаще встречается определение расстояния от точки до прямой, в котором фигурирует длина перпендикуляра.

Определение.

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.

Это определение эквивалентно первому определению расстояния от точки до прямой.

изображение

Обратите внимание на то, что расстояние от точки до прямой – это наименьшее из расстояний от этой точки до точек заданной прямой. Покажем это.

Возьмем на прямой a точку Q, не совпадающую с точкой M1. Отрезок M1Q называют наклонной, проведенной из точки M1 к прямой a. Нам нужно показать, что перпендикуляр, проведенный из точки M1 к прямой a, меньше любой наклонной, проведенной из точки M1 к прямой a. Это действительно так: треугольник M1QH1 прямоугольный с гипотенузой M1Q, а длина гипотенузы всегда больше длины любого из катетов, следовательно, формула.

изображение

Расстояние от точки до прямой на плоскости – теория, примеры, решения.


В зависимости от исходных данных для нахождения расстояния от точки до прямой можно использовать различные методы геометрии: теорему Пифагора, определения синуса, косинуса, тангенса угла, признаки равенства и подобия треугольников и т.п. Множество подобных задач решается на уроках геометрии в средней школе.

Если же при нахождении расстояния от точки до прямой есть возможность ввести прямоугольную систему координат, то можно воспользоваться методом координат. В этом пункте статьи мы подробно остановимся на двух способах нахождения расстояния от точки M1 до прямой a, которые заданы в прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости. В первом случае расстояние от точки M1 до прямой a мы будем искать как расстояние от точки M1 до точки H1, где H1 – основание перпендикуляра, опущенного из точки M1 на прямую a. Во втором способе нахождения расстояния от точки M1 до прямой a будем использовать нормальное уравнение прямой a.

Итак, поставим перед собой следующую задачу: пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная система координат Oxy, задана точка формула, прямая a и требуется найти расстояние формула от точки M1 до прямой a. Разберем по-очереди два способа ее решения.

Первый способ нахождения расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости.

Если мы определим координаты формула точки H1, то искомое расстояние формула мы сможем вычислить, используя формулу для нахождения расстояния от точки M1 до точки H1 по их координатам: формула.

Осталось разобраться с нахождением координат точки H1.

Мы знаем, что прямой линии в прямоугольной системе координат Oxy соответствует некоторое уравнение прямой на плоскости. Будем считать, что способ задания прямой a в условии задачи позволяет написать общее уравнение прямой a или уравнение прямой с угловым коэффициентом. После этого мы можем составить уравнение прямой, проходящей через заданную точку M1 перпендикулярно заданной прямой a. Обозначим эту прямую буквой b. Тогда точка H1 – это точка пересечения прямых a и b, следовательно, координаты точки H1 можно определить, обратившись к материалу статьи координаты точки пересечения двух прямых.

Итак, мы получили алгоритм для нахождения расстояния от заданной точки формула до заданной прямой a:

Второй способ, позволяющий найти расстояние от заданной точки до заданной прямой на плоскости.

Следующая теорема отвечает на вопрос: «Как найти расстояние от заданной точки до заданной прямой на плоскости»?

Теорема.

В прямоугольной системе координат Oxy на плоскости расстояние от точки формула до прямой a, заданной нормальным уравнением прямой вида формула, равно модулю значения выражения, находящегося в левой части нормального уравнения прямой, вычисленного при формула, то есть, формула.

Доказательство.

Так как прямой a в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости соответствует нормальное уравнение прямой формула, то формула - нормальный вектор прямой a единичной длины, а расстояние от начала координат до прямой a равно p единиц. Изобразим эти данные на чертеже, а также добавим точку формула, радиус-вектор точки М1 - формула, построим искомое расстояние от точки М1 до прямой a - формула, покажем проекции М2 и H2 точек М1 и H1 соответственно на прямую, проходящую через точку O и имеющую направляющий вектор формула, обозначим числовую проекцию вектора формула на направление вектора формула как формула.

В зависимости от расположения точки М1 относительно прямой a возможны следующие варианты.

изображение

Все полученные результаты можно описать одной формулой: формула. Осталось привести полученное равенство к виду формула, то есть показать, что формула.

Определение скалярного произведения векторов дает нам равенство формула, а это же самое скалярное произведение в координатной форме имеет вид формула, следовательно, формула. Тогда формула, что и требовалось доказать.

Таким образом, чтобы найти расстояние от точки формула до прямой a на плоскости нужно:

Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости.

Рассмотрим применение разобранных методов для нахождения расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости при решении примера.

Пример.

Найдите расстояние от точки формула до прямой формула.

Решение.

Сначала решим задачу первым способом.

В условии задачи нам дано общее уравнение прямой a вида формула. Найдем общее уравнение прямой b, которая проходит через заданную точку формула перпендикулярно прямой формула.

Так как прямая b перпендикулярна прямой a, то направляющий вектор прямой b есть нормальный вектор заданной прямой формула, то есть, направляющий вектор прямой b имеет координаты формула. Теперь мы можем записать каноническое уравнение прямой b на плоскости, так как знаем координаты точки М1, через которую проходит прямая b, и координаты направляющего вектора прямой b: формула. От полученного канонического уравнения прямой b перейдем к общему уравнению прямой: формула.

Теперь найдем координаты точки пересечения прямых a и b (обозначим ее H1), решив систему уравнений, составленную из общих уравнений прямых a и b (при необходимости обращайтесь к статье решение систем линейных уравнений):
формула

Таким образом, точка H1 имеет координаты формула.

Осталось вычислить искомое расстояние от точки М1 до прямой a как расстояние между точками формула и формула:
формула.

Второй способ решения задачи.

Получим нормальное уравнение заданной прямой. Для этого вычислим значение нормирующего множителя и умножим на него обе части исходного общего уравнения прямой формула (об этом мы говорили в разделе приведение общего уравнения прямой к нормальному виду).

Нормирующий множитель равен формула, тогда нормальное уравнение прямой имеет вид формула. Теперь берем выражение, стоящее в левой части полученного нормального уравнения прямой, и вычисляем его значение при формула:
формула.

Искомое расстояние от заданной точки формула до заданной прямой формула равно абсолютной величине полученного значения, то есть, пяти (формула).

Ответ:

расстояние от точки формула до прямой формула равно 5.

Очевидно, достоинством метода нахождения расстояния от точки до прямой на плоскости, основанного на использовании нормального уравнения прямой, является сравнительно меньший объем вычислительной работы. В свою очередь первый способ нахождения расстояния от точки до прямой интуитивно понятен и отличается последовательностью и логичностью.

Пример.

На плоскости зафиксирована прямоугольная система координат Oxy, задана точка формула и прямая формула. Найдите расстояние от заданной точки до заданной прямой.

Решение.

Первый способ.

Можно от заданного уравнения прямой с угловым коэффициентом перейти к общему уравнению этой прямой и действовать так же, как в разобранном выше примере.

Но можно поступить и иначе.

Мы знаем, что произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно -1 (смотрите статью перпендикулярные прямые, перпендикулярность прямых). Поэтому угловой коэффициент прямой, которая перпендикулярна заданной прямой формула, равен -2. Тогда уравнение прямой, перпендикулярной заданной прямой и проходящей через точку формула, имеет вид формула.

Теперь найдем координаты точки H1 - точки пересечения прямых формула и формула:
формула

Таким образом, искомое расстояние от точки формула до прямой формула равно расстоянию между точками формула и формула:
формула

Второй способ.

Перейдем от заданного уравнения прямой с угловым коэффициентом к нормальному уравнению этой прямой: формула, нормирующий множитель равен формула, следовательно, нормальное уравнение заданной прямой имеет вид формула. Теперь вычисляем требуемое расстояния от точки формула до прямой формула:
формула

Ответ:

формула.

Пример.

Вычислите расстояние от точки формула до прямой формула и до прямой формула.

Решение.

Получим нормальное уравнение прямой формула: формула.

Теперь вычислим расстояние от точки формула до прямой формула: формула.

Нормирующий множитель для уравнения прямой вида формула равен -1. Тогда нормальное уравнение этой прямой имеет вид формула.

Теперь мы можем вычислить расстояние от точки формула до прямой формула - оно равно формула.

Ответ:

формула и 5.

В заключении отдельно рассмотрим, как находится расстояние от заданной точки плоскости до координатных прямых Ox и Oy.

В прямоугольной системе координат Oxy координатную прямую Oy задает неполное общее уравнение прямой x=0, а координатную прямую Ox – уравнение y=0. Эти уравнения являются нормальными уравнениями прямых Oy и Ox, следовательно, расстояние от точки формула до этих прямых вычисляются по формулам формула и формула соответственно.

изображение

Пример.

На плоскости введена прямоугольная система координат Oxy. Найдите расстояния от точки формула до координатных прямых.

Решение.

Расстояние от заданной точки М1 до координатной прямой Ox (она задается уравнением y=0) равно модулю ординаты точки М1, то есть, формула.

Расстояние от заданной точки М1 до координатной прямой Oy (ей соответствует уравнение x=0) равно абсолютной величине абсциссы точки М1: формула.

Ответ:

расстояние от точки М1 до прямой Ox равно 6, а расстояние от заданной точки до координатной прямой Oy равно формула.

Расстояние от точки до прямой в пространстве – теория, примеры, решения.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, задана точка формула, прямая a и требуется найти расстояние от точки А до прямой a.

Покажем два способа, позволяющих вычислять расстояние от точки до прямой в пространстве. В первом случае нахождение расстояния от точки М1 до прямой a сводится к нахождению расстояния от точки М1 до точки H1, где H1 - основание перпендикуляра, опущенного из точки М1 на прямую a. Во втором случае расстояние от точки до плоскости будем находить как высоту параллелограмма.

Итак, приступим.

Первый способ нахождения расстояния от точки формула до прямой a в пространстве.

Так как по определению расстояние от точки М1 до прямой a – это длина перпендикуляра M1H1, то, определив координаты формула точки H1, мы сможем вычислить искомое расстояние как расстояние между точками формула и формула по формуле формула.

Таким образом, задача сводится к нахождению координат основания перпендикуляра, построенного из точки М1 к прямой a. Сделать это достаточно просто: точка H1 – это точка пересечения прямой a с плоскостью, проходящей через точку М1 перпендикулярно к прямой a.

изображение

Следовательно, алгоритм, позволяющий определять расстояние от точки формула до прямой a в пространстве, таков:

Второй способ, позволяющий находить расстояние от точки формула до прямой a в пространстве.

Так как в условии задачи нам задана прямая a, то мы можем определить ее направляющий вектор формула и координаты формула некоторой точки М3, лежащей на прямой a. Тогда по координатам точек формула и формула мы можем вычислить координаты вектора формула: формула (при необходимости обращайтесь к статье координаты вектора через координаты точек его начала и конца).

Отложим векторы формула и формула от точки М3 и построим на них параллелограмм. В этом параллелограмме проведем высоту М1H1.

изображение

Очевидно, высота М1H1 построенного параллелограмма равна искомому расстоянию от точки М1 до прямой a. Найдем формула.

С одной стороны площадь параллелограмма (обозначим ее S) может быть найдена через векторное произведение векторов формула и формула по формуле формула. С другой стороны площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны на высоту, то есть, формула, где формула - длина вектора формула, равная длине стороны рассматриваемого параллелограмма. Следовательно, расстояние формула от заданной точки М1 до заданной прямой a может быть найдена из равенства формула как формула.

Итак, чтобы найти расстояние от точки формула до прямой a в пространстве нужно

Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой в пространстве.

Рассмотрим решение примера.

Пример.

Найдите расстояние от точки формула до прямой формула.

Решение.

Первый способ.

Напишем уравнение плоскости формула, проходящей через точку М1 перпендикулярно заданной прямой:
формула

Найдем координаты точки H1 - точки пересечения плоскости формула и заданной прямой. Для этого выполним переход от канонических уравнений прямой к уравнениям двух пересекающихся плоскостей
формула

после чего решим систему линейных уравнений формула методом Крамера:
формула

Таким образом, формула.

Осталось вычислить требуемое расстояние от точки до прямой как расстояние между точками формула и формула:
формула.

Второй способ.

Числа, стоящие в знаменателях дробей в канонических уравнениях прямой, представляют собой соответствующие координаты направляющего вектора этой прямой, то есть, формула - направляющий вектор прямой формула. Вычислим его длину: формула.

Очевидно, что прямая формула проходит через точку формула, тогда вектор с началом в точке формула и концом в точке формула есть формула. Найдем векторное произведение векторов формула и формула:
формула
тогда длина этого векторного произведения равна формула.

Теперь мы располагаем всеми данными, чтобы воспользоваться формулой для вычисления расстояния от заданной точки до заданной плоскости: формула.

Ответ:

формула.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+