Расстояние от точки до прямой на плоскости и в пространстве – определение и примеры нахождения.
В этой статье собрана информация по теме «расстояние от точки до прямой»: дано определение расстояния от точки до прямой, приведены графические иллюстрации, разобрано нахождение расстояния от точки до прямой на плоскости и в пространстве методом координат. После каждого блока теории показаны подробные решения примеров и задач на нахождение расстояния от точки до прямой.
Расстояние от точки до прямой – определение.
Расстояние от точки до прямой определяется через расстояние от точки до точки. Покажем как это делается.
Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве задана прямая a и точка M1, не лежащая на прямой a. Проведем через точку M1 прямую b, перпендикулярную прямой a. Обозначим точку пересечения прямых a и b как H1. Отрезок M1H1 называется перпендикуляром, проведенным из точки M1 к прямой a.
Определение.
Расстоянием от точки M1 до прямой a называют расстояние между точками M1 и H1.
Однако чаще встречается определение расстояния от точки до прямой, в котором фигурирует длина перпендикуляра.
Определение.
Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.
Это определение эквивалентно первому определению расстояния от точки до прямой.
Обратите внимание на то, что расстояние от точки до прямой – это наименьшее из расстояний от этой точки до точек заданной прямой. Покажем это.
Возьмем на прямой a точку Q, не совпадающую с точкой M1. Отрезок M1Q называют наклонной, проведенной из точки M1 к прямой a. Нам нужно показать, что перпендикуляр, проведенный из точки M1 к прямой a, меньше любой наклонной, проведенной из точки M1 к прямой a. Это действительно так: треугольник M1QH1 прямоугольный с гипотенузой M1Q, а длина гипотенузы всегда больше длины любого из катетов, следовательно, 
.
Расстояние от точки до прямой на плоскости – теория, примеры, решения.
В зависимости от исходных данных для нахождения расстояния от точки до прямой можно использовать различные методы геометрии: теорему Пифагора, определения синуса, косинуса, тангенса угла, признаки равенства и подобия треугольников и т.п. Множество подобных задач решается на уроках геометрии в средней школе.
Если же при нахождении расстояния от точки до прямой есть возможность ввести прямоугольную систему координат, то можно воспользоваться методом координат. В этом пункте статьи мы подробно остановимся на двух способах нахождения расстояния от точки M1 до прямой a, которые заданы в прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости. В первом случае расстояние от точки M1 до прямой a мы будем искать как расстояние от точки M1 до точки H1, где H1 – основание перпендикуляра, опущенного из точки M1 на прямую a. Во втором способе нахождения расстояния от точки M1 до прямой a будем использовать нормальное уравнение прямой a.
Итак, поставим перед собой следующую задачу: пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная система координат Oxy, задана точка 
, прямая a и требуется найти расстояние 
от точки M1 до прямой a. Разберем по очереди два способа ее решения.
Первый способ нахождения расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости.
Если мы определим координаты 
точки H1, то искомое расстояние мы сможем вычислить, используя формулу для нахождения расстояния от точки M1 до точки H1 по их координатам: 
.
Осталось разобраться с нахождением координат точки H1.
Мы знаем, что прямой линии в прямоугольной системе координат Oxy соответствует некоторое уравнение прямой на плоскости. Будем считать, что способ задания прямой a в условии задачи позволяет написать общее уравнение прямой a или уравнение прямой с угловым коэффициентом. После этого мы можем составить уравнение прямой, проходящей через заданную точку M1 перпендикулярно заданной прямой a. Обозначим эту прямую буквой b. Тогда точка H1 – это точка пересечения прямых a и b, следовательно, координаты точки H1 можно определить, обратившись к материалу статьи координаты точки пересечения двух прямых.
Итак, мы получили алгоритм для нахождения расстояния от заданной точки до заданной прямой a:
-
находим общее уравнение прямой a вида
или уравнение прямой a с угловым коэффициентом 
;
-
получаем общее уравнение прямой b вида
или уравнение прямой b с угловым коэффициентом вида 
, учитывая, что прямая b проходит через заданную точку M1 и перпендикулярна заданной прямой a;
-
определяем координаты
точки H1 - точки пересечения прямых a и b, решая систему линейных уравнений 
или 
;
-
вычисляем требуемое расстояние от точки M1 до прямой a по формуле .
Второй способ, позволяющий найти расстояние от заданной точки до заданной прямой на плоскости.
Следующая теорема отвечает на вопрос: «Как найти расстояние от заданной точки до заданной прямой на плоскости»?
Теорема.
В прямоугольной системе координат Oxy на плоскости расстояние от точки до прямой a, заданной нормальным уравнением прямой вида 
, равно модулю значения выражения, находящегося в левой части нормального уравнения прямой, вычисленного при 
, то есть, 
.
Доказательство.
Так как прямой a в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости соответствует нормальное уравнение прямой , то 
- нормальный вектор прямой a единичной длины, а расстояние от начала координат до прямой a равно p единиц. Изобразим эти данные на чертеже, а также добавим точку , радиус-вектор точки М1 - 
, построим искомое расстояние от точки М1 до прямой a - , покажем проекции М2 и H2 точек М1 и H1 соответственно на прямую, проходящую через точку O и имеющую направляющий вектор , обозначим числовую проекцию вектора на направление вектора как 
.
В зависимости от расположения точки М1 относительно прямой a возможны следующие варианты.
Все полученные результаты можно описать одной формулой: 
. Осталось привести полученное равенство к виду , то есть показать, что 
.
Определение скалярного произведения векторов дает нам равенство 
, а это же самое скалярное произведение в координатной форме имеет вид 
, следовательно, . Тогда 
, что и требовалось доказать.
Таким образом, чтобы найти расстояние от точки до прямой a на плоскости нужно:
-
получить нормальное уравнение прямой a в виде (если оно сразу не дано);
-
вычислить значение выражения
- полученное значение является искомым расстоянием .
Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости.
Рассмотрим применение разобранных методов для нахождения расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости при решении примера.
Пример.
Найдите расстояние от точки 
до прямой 
.
Решение.
Сначала решим задачу первым способом.
В условии задачи нам дано общее уравнение прямой a вида . Найдем общее уравнение прямой b, которая проходит через заданную точку перпендикулярно прямой .
Так как прямая b перпендикулярна прямой a, то направляющий вектор прямой b есть нормальный вектор заданной прямой , то есть, направляющий вектор прямой b имеет координаты 
. Теперь мы можем записать каноническое уравнение прямой b на плоскости, так как знаем координаты точки М1, через которую проходит прямая b, и координаты направляющего вектора прямой b: 
. От полученного канонического уравнения прямой b перейдем к общему уравнению прямой: 
.
Теперь найдем координаты точки пересечения прямых a и b (обозначим ее H1), решив систему уравнений, составленную из общих уравнений прямых a и b (при необходимости обращайтесь к статье решение систем линейных уравнений):
Таким образом, точка H1 имеет координаты 
.
Осталось вычислить искомое расстояние от точки М1 до прямой a как расстояние между точками и 
:
.
Второй способ решения задачи.
Получим нормальное уравнение заданной прямой. Для этого вычислим значение нормирующего множителя и умножим на него обе части исходного общего уравнения прямой (об этом мы говорили в разделе приведение общего уравнения прямой к нормальному виду).
Нормирующий множитель равен 
, тогда нормальное уравнение прямой имеет вид 
. Теперь берем выражение, стоящее в левой части полученного нормального уравнения прямой, и вычисляем его значение при 
:
.
Искомое расстояние от заданной точки до заданной прямой равно абсолютной величине полученного значения, то есть, пяти (
).
Ответ:
расстояние от точки до прямой равно 5.
Очевидно, достоинством метода нахождения расстояния от точки до прямой на плоскости, основанного на использовании нормального уравнения прямой, является сравнительно меньший объем вычислительной работы. В свою очередь первый способ нахождения расстояния от точки до прямой интуитивно понятен и отличается последовательностью и логичностью.
Пример.
На плоскости зафиксирована прямоугольная система координат Oxy, задана точка 
и прямая 
. Найдите расстояние от заданной точки до заданной прямой.
Решение.
Первый способ.
Можно от заданного уравнения прямой с угловым коэффициентом перейти к общему уравнению этой прямой и действовать так же, как в разобранном выше примере.
Но можно поступить и иначе.
Мы знаем, что произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно -1 (смотрите статью перпендикулярные прямые, перпендикулярность прямых). Поэтому угловой коэффициент прямой, которая перпендикулярна заданной прямой , равен -2. Тогда уравнение прямой, перпендикулярной заданной прямой и проходящей через точку , имеет вид 
.
Теперь найдем координаты точки H1 - точки пересечения прямых и 
:
Таким образом, искомое расстояние от точки до прямой равно расстоянию между точками и 
:
Второй способ.
Перейдем от заданного уравнения прямой с угловым коэффициентом к нормальному уравнению этой прямой: 
, нормирующий множитель равен 
, следовательно, нормальное уравнение заданной прямой имеет вид 
. Теперь вычисляем требуемое расстояния от точки до прямой 
:
Ответ:
.
Пример.
Вычислите расстояние от точки 
до прямой 
и до прямой 
.
Решение.
Получим нормальное уравнение прямой : 
.
Теперь вычислим расстояние от точки до прямой 
: 
.
Нормирующий множитель для уравнения прямой вида равен -1. Тогда нормальное уравнение этой прямой имеет вид 
.
Теперь мы можем вычислить расстояние от точки до прямой - оно равно 
.
Ответ:
и 5.
В заключении отдельно рассмотрим, как находится расстояние от заданной точки плоскости до координатных прямых Ox и Oy.
В прямоугольной системе координат Oxy координатную прямую Oy задает неполное общее уравнение прямой x=0, а координатную прямую Ox – уравнение y=0. Эти уравнения являются нормальными уравнениями прямых Oy и Ox, следовательно, расстояние от точки до этих прямых вычисляются по формулам 
и 
соответственно.
Пример.
На плоскости введена прямоугольная система координат Oxy. Найдите расстояния от точки 
до координатных прямых.
Решение.
Расстояние от заданной точки М1 до координатной прямой Ox (она задается уравнением y=0) равно модулю ординаты точки М1, то есть, 
.
Расстояние от заданной точки М1 до координатной прямой Oy (ей соответствует уравнение x=0) равно абсолютной величине абсциссы точки М1: 
.
Ответ:
расстояние от точки М1 до прямой Ox равно 6, а расстояние от заданной точки до координатной прямой Oy равно 
.
Расстояние от точки до прямой в пространстве – теория, примеры, решения.
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, задана точка 
, прямая a и требуется найти расстояние от точки А до прямой a.
Покажем два способа, позволяющих вычислять расстояние от точки до прямой в пространстве. В первом случае нахождение расстояния от точки М1 до прямой a сводится к нахождению расстояния от точки М1 до точки H1, где H1 - основание перпендикуляра, опущенного из точки М1 на прямую a. Во втором случае расстояние от точки до плоскости будем находить как высоту параллелограмма.
Итак, приступим.
Первый способ нахождения расстояния от точки до прямой a в пространстве.
Так как по определению расстояние от точки М1 до прямой a – это длина перпендикуляра M1H1, то, определив координаты 
точки H1, мы сможем вычислить искомое расстояние как расстояние между точками и 
по формуле 
.
Таким образом, задача сводится к нахождению координат основания перпендикуляра, построенного из точки М1 к прямой a. Сделать это достаточно просто: точка H1 – это точка пересечения прямой a с плоскостью, проходящей через точку М1 перпендикулярно к прямой a.
Следовательно, алгоритм, позволяющий определять расстояние от точки до прямой a в пространстве, таков:
-
составляем уравнение плоскости
как уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой a;
-
определяем координаты точки H1 – точки пересечения прямой a и плоскости (смотрите статью нахождение координат точки пересечения прямой и плоскоти);
-
вычисляем требуемое расстояние от точки М1 до прямой a по формуле .
Второй способ, позволяющий находить расстояние от точки до прямой a в пространстве.
Так как в условии задачи нам задана прямая a, то мы можем определить ее направляющий вектор 
и координаты 
некоторой точки М3, лежащей на прямой a. Тогда по координатам точек и 
мы можем вычислить координаты вектора 
: 
(при необходимости обращайтесь к статье координаты вектора через координаты точек его начала и конца).
Отложим векторы и от точки М3 и построим на них параллелограмм. В этом параллелограмме проведем высоту М1H1.
Очевидно, высота М1H1 построенного параллелограмма равна искомому расстоянию от точки М1 до прямой a. Найдем .
С одной стороны площадь параллелограмма (обозначим ее S) может быть найдена через векторное произведение векторов и по формуле 
. С другой стороны площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны на высоту, то есть, 
, где 
- длина вектора , равная длине стороны рассматриваемого параллелограмма. Следовательно, расстояние от заданной точки М1 до заданной прямой a может быть найдена из равенства 
как 
.
Итак, чтобы найти расстояние от точки до прямой a в пространстве нужно
-
определить направляющий вектор прямой a () и вычислить его длину ;
-
получить координаты некоторой точки М3, лежащей на прямой a, вычислить координаты вектора , найти векторное произведение векторов и как
и получить его длину 
;
-
вычислить требуемое расстояние от точки до прямой в пространстве по формуле .
Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой в пространстве.
Рассмотрим решение примера.
Пример.
Найдите расстояние от точки 
до прямой 
.
Решение.
Первый способ.
Напишем уравнение плоскости , проходящей через точку М1 перпендикулярно заданной прямой:
Найдем координаты точки H1 - точки пересечения плоскости и заданной прямой. Для этого выполним переход от канонических уравнений прямой к уравнениям двух пересекающихся плоскостей
после чего решим систему линейных уравнений 
методом Крамера:
Таким образом, 
.
Осталось вычислить требуемое расстояние от точки до прямой как расстояние между точками и :
.
Второй способ.
Числа, стоящие в знаменателях дробей в канонических уравнениях прямой, представляют собой соответствующие координаты направляющего вектора этой прямой, то есть, 
- направляющий вектор прямой . Вычислим его длину: 
.
Очевидно, что прямая проходит через точку 
, тогда вектор с началом в точке и концом в точке есть 
. Найдем векторное произведение векторов и :
тогда длина этого векторного произведения равна 
.
Теперь мы располагаем всеми данными, чтобы воспользоваться формулой для вычисления расстояния от заданной точки до заданной плоскости: 
.
Ответ:
.
Список литературы.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
- Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Некогда разбираться?