Расстояние между скрещивающимися прямыми – определение и примеры нахождения.
В этой статье внимание нацелено на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми методом координат. Сначала дано определение расстояния между скрещивающимися прямыми. Далее получен алгоритм, позволяющий найти расстояние между скрещивающимися прямыми. В заключении детально разобрано решение примера.
Расстояние между скрещивающимися прямыми – определение.
Прежде чем дать определение расстояния между скрещивающимися прямыми, напомним определение скрещивающихся прямых и докажем теорему, связанную со скрещивающимися прямыми.
В разделе взаимное расположение прямых в пространстве мы упоминали, что две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Теорема.
Через каждую из скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, которой параллельна другая прямая.
Доказательство.
Пусть даны скрещивающиеся прямые a и b. Докажем, что через прямую b проходит единственная плоскость, параллельная прямой a (абсолютно аналогично можно будет доказать, что через прямую a проходит плоскость, параллельная прямой b, притом только одна). Это будет служить доказательством теоремы.
Отметим на прямой b некоторую точку Q. В статье параллельные прямые, параллельность прямых была доказана теорема, гласящая, что через произвольную точку пространстве проходит единственная прямая, параллельная заданной прямой. Следовательно, через точку Q можно провести единственную прямую, параллельную прямой a. Обозначим ее a1.
В разделе способы задания плоскости мы упоминали, что через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость (что следует из аксиомы о плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой). Следовательно, через пересекающиеся прямые b и a1 проходит единственная плоскость. Обозначим ее 
.
Признак параллельности прямой и плоскости позволяет утверждать, что прямая a параллельна плоскости (так как прямая a параллельна прямой a1, лежащей в плоскости ).
Единственность плоскости следует из единственности прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной прямой.
Теперь можно переходить непосредственно к определению расстояния между скрещивающимися прямыми. Определение расстояния между скрещивающимися прямыми дается через расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью.
Определение.
Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние между одной из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через другую прямую.
В свою очередь расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью есть расстояние от некоторой точки прямой до плоскости. Тогда справедлива следующая формулировка определения расстояния между скрещивающимися прямыми.
Определение.
Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.
Рассмотрим скрещивающиеся прямые a и b. Отметим на прямой a некоторую точку М1, через прямую b проведем плоскость , параллельную прямой a, и из точки М1 опустим перпендикуляр М1H1 на плоскость . Длина перпендикуляра M1H1 есть расстояние между скрещивающимися прямыми a и b.
Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми – теория, примеры, решения.
При нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми основная сложность часто заключается в том, чтобы увидеть или построить отрезок, длина которого равна искомому расстоянию. Если такой отрезок построен, то в зависимости от условий задачи его длина может быть найдена с помощью теоремы Пифагора, признаков равенства или подобия треугольников и т.п. Так мы и поступаем при нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми на уроках геометрии в 10-11 классах.
Если же в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz и в ней заданы скрещивающиеся прямые a и b, то справиться с задачей вычисления расстояния между заданными скрещивающимися прямыми позволяет метод координат. Давайте его подробно разберем.
Пусть - плоскость, проходящая через прямую b, параллельно прямой a. Тогда искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b по определению равно расстоянию от некоторой точки М1, лежащей на прямой a, до плоскости . Таким образом, если мы определим координаты 
некоторой точки М1, лежащей на прямой a, и получим нормальное уравнение плоскости в виде 
, то мы сможем вычислить расстояние 
от точки 
до плоскости по формуле 
(эта формула была получена в статье нахождение расстояния от точки до плоскости). А это расстояние равно искомому расстоянию между скрещивающимися прямыми.
Теперь подробно.
Задача сводится к получению координат точки М1, лежащей на прямой a, и к нахождению нормального уравнения плоскости .
С определением координат точки М1 сложностей не возникает, если хорошо знать основные виды уравнений прямой в пространстве. А вот на получении уравнения плоскости стоит остановиться подробнее.
Если мы определим координаты 
некоторой точки М2, через которую проходит плоскость , а также получим нормальный вектор плоскости в виде 
, то мы сможем написать общее уравнение плоскости как 
.
В качестве точки М2 можно взять любую точку, лежащую на прямой b, так как плоскость проходит через прямую b. Таким образом, координаты точки М2 можно считать найденными.
Осталось получить координаты нормального вектора плоскости . Сделаем это.
Плоскость проходит через прямую b и параллельна прямой a. Следовательно, нормальный вектор плоскости перпендикулярен и направляющему вектору прямой a (обозначим его 
), и направляющему вектору прямой b (обозначим его 
). Тогда в качестве вектора 
можно взять векторное произведение векторов и , то есть, 
. Определив координаты 
и 
направляющих векторов прямых a и b и вычислив 
, мы найдем координаты 
нормального вектора плоскости .
Итак, мы имеем общее уравнение плоскости : .
Остается только привести общее уравнение плоскости к нормальному виду и вычислить искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b по формуле 
.
Таким образом, чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми a и b нужно:
-
определить координаты и точек М1 и М2 соответственно, лежащих на прямых a и b соответственно;
-
получить координаты и направляющих векторов прямых a и b соответственно;
-
найти координаты нормального вектора плоскости , проходящей через прямую b параллельно прямой a, из равенства ;
-
записать общее уравнение плоскости как ;
-
привести полученное уравнение плоскости к нормальному виду ;
-
вычислить расстояние от точки до плоскости по формуле - это и есть искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b.
Разберем решение примера.
Пример.
В трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz заданы две скрещивающиеся прямые a и b. Прямую a определяют параметрические уравнения прямой в пространстве вида 
, а прямую b – канонические уравнения прямой в пространстве 
. Найдите расстояние между заданными скрещивающимися прямыми.
Решение.
Очевидно, прямая a проходит через точку 
и имеет направляющий вектор 
. Прямая b проходит через точку 
, а ее направляющим вектором является вектор 
.
Вычислим векторное произведение векторов и :
Таким образом, нормальный вектор плоскости , проходящей через прямую b параллельно прямой a, имеет координаты 
.
Тогда уравнение плоскости есть уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор 
:
Нормирующий множитель для общего уравнения плоскости 
равен 
. Следовательно, нормальное уравнение этой плоскости имеет вид 
.
Осталось воспользоваться формулой для вычисления расстояния от точки до плоскости :
Это и есть искомое расстояние между заданными скрещивающимися прямыми.
Ответ:
4.
Список литературы.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
- Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Некогда разбираться?