Расстояние между скрещивающимися прямыми – определение и примеры нахождения.

В этой статье внимание нацелено на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми методом координат. Сначала дано определение расстояния между скрещивающимися прямыми. Далее получен алгоритм, позволяющий найти расстояние между скрещивающимися прямыми. В заключении детально разобрано решение примера.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – определение.

Прежде чем дать определение расстояния между скрещивающимися прямыми, напомним определение скрещивающихся прямых и докажем теорему, связанную со скрещивающимися прямыми.

В разделе взаимное расположение прямых в пространстве мы упоминали, что две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Теорема.

Через каждую из скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, которой параллельна другая прямая.

Доказательство.

Пусть даны скрещивающиеся прямые a и b. Докажем, что через прямую b проходит единственная плоскость, параллельная прямой a (абсолютно аналогично можно будет доказать, что через прямую a проходит плоскость, параллельная прямой b, притом только одна). Это будет служить доказательством теоремы.

Отметим на прямой b некоторую точку Q. В статье параллельные прямые, параллельность прямых была доказана теорема, гласящая, что через произвольную точку пространстве проходит единственная прямая, параллельная заданной прямой. Следовательно, через точку Q можно провести единственную прямую, параллельную прямой a. Обозначим ее a1.

В разделе способы задания плоскости мы упоминали, что через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость (что следует из аксиомы о плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой). Следовательно, через пересекающиеся прямые b и a1 проходит единственная плоскость. Обозначим ее формула.

Признак параллельности прямой и плоскости позволяет утверждать, что прямая a параллельна плоскости формула (так как прямая a параллельна прямой a1, лежащей в плоскости формула).

Единственность плоскости формула следует из единственности прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной прямой.

изображение

Теперь можно переходить непосредственно к определению расстояния между скрещивающимися прямыми. Определение расстояния между скрещивающимися прямыми дается через расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью.

Определение.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние между одной из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через другую прямую.

В свою очередь расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью есть расстояние от некоторой точки прямой до плоскости. Тогда справедлива следующая формулировка определения расстояния между скрещивающимися прямыми.

Определение.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.

Рассмотрим скрещивающиеся прямые a и b. Отметим на прямой a некоторую точку М1, через прямую b проведем плоскость формула, параллельную прямой a, и из точки М1 опустим перпендикуляр М1H1 на плоскость формула. Длина перпендикуляра M1H1 есть расстояние между скрещивающимися прямыми a и b.

изображение

Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми – теория, примеры, решения.

При нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми основная сложность часто заключается в том, чтобы увидеть или построить отрезок, длина которого равна искомому расстоянию. Если такой отрезок построен, то в зависимости от условий задачи его длина может быть найдена с помощью теоремы Пифагора, признаков равенства или подобия треугольников и т.п. Так мы и поступаем при нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми на уроках геометрии в 10-11 классах.

Если же в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz и в ней заданы скрещивающиеся прямые a и b, то справиться с задачей вычисления расстояния между заданными скрещивающимися прямыми позволяет метод координат. Давайте его подробно разберем.

Пусть формула - плоскость, проходящая через прямую b, параллельно прямой a. Тогда искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b по определению равно расстоянию от некоторой точки М1, лежащей на прямой a, до плоскости формула. Таким образом, если мы определим координаты формула некоторой точки М1, лежащей на прямой a, и получим нормальное уравнение плоскости формула в виде формула, то мы сможем вычислить расстояние формула от точки формула до плоскости формула по формуле формула (эта формула была получена в статье нахождение расстояния от точки до плоскости). А это расстояние равно искомому расстоянию между скрещивающимися прямыми.

Теперь подробно.

Задача сводится к получению координат точки М1, лежащей на прямой a, и к нахождению нормального уравнения плоскости формула.

С определением координат точки М1 сложностей не возникает, если хорошо знать основные виды уравнений прямой в пространстве. А вот на получении уравнения плоскости формула стоит остановиться подробнее.

Если мы определим координаты формула некоторой точки М2, через которую проходит плоскость формула, а также получим нормальный вектор плоскости формула в виде формула, то мы сможем написать общее уравнение плоскости формула как формула.

В качестве точки М2 можно взять любую точку, лежащую на прямой b, так как плоскость формула проходит через прямую b. Таким образом, координаты точки М2 можно считать найденными.

Осталось получить координаты нормального вектора плоскости формула. Сделаем это.

Плоскость формула проходит через прямую b и параллельна прямой a. Следовательно, нормальный вектор плоскости формула перпендикулярен и направляющему вектору прямой a (обозначим его формула), и направляющему вектору прямой b (обозначим его формула). Тогда в качестве вектора формула можно взять векторное произведение векторов формула и формула, то есть, формула. Определив координаты формула и формула направляющих векторов прямых a и b и вычислив формула, мы найдем координаты формула нормального вектора формула плоскости формула.

Итак, мы имеем общее уравнение плоскости формула: формула.

Остается только привести общее уравнение плоскости к нормальному виду формула и вычислить искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b по формуле формула.

Таким образом, чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми a и b нужно:

  • определить координаты формула и формула точек М1 и М2 соответственно, лежащих на прямых a и b соответственно;
  • получить координаты формула и формула направляющих векторов прямых a и b соответственно;
  • найти координаты формула нормального вектора формула плоскости формула, проходящей через прямую b параллельно прямой a, из равенства формула;
  • записать общее уравнение плоскости формула как формула;
  • привести полученное уравнение плоскости формула к нормальному виду формула;
  • вычислить расстояние формула от точки формула до плоскости формула по формуле формула - это и есть искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b.

Разберем решение примера.

Пример.

В трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz заданы две скрещивающиеся прямые a и b. Прямую a определяют параметрические уравнения прямой в пространстве вида формула, а прямую bканонические уравнения прямой в пространстве формула. Найдите расстояние между заданными скрещивающимися прямыми.

Решение.

Очевидно, прямая a проходит через точку формула и имеет направляющий вектор формула. Прямая b проходит через точку формула, а ее направляющим вектором является вектор формула.

Вычислим векторное произведение векторов формула и формула:
формула

Таким образом, нормальный вектор формула плоскости формула, проходящей через прямую b параллельно прямой a, имеет координаты формула.

Тогда уравнение плоскости формула есть уравнение плоскости, проходящей через точку формула и имеющей нормальный вектор формула:
формула

Нормирующий множитель для общего уравнения плоскости формула равен формула. Следовательно, нормальное уравнение этой плоскости имеет вид формула.

Осталось воспользоваться формулой для вычисления расстояния от точки формула до плоскости формула:
формула

Это и есть искомое расстояние между заданными скрещивающимися прямыми.

Ответ:

4.

Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+