Прямая, плоскость, их уравнения

Расстояние между двумя параллельными плоскостями – определение и примеры нахождения.


В этой статье содержится ответ на вопрос: «Как найти расстояние между двумя параллельными плоскостями методом координат»? Сначала дано определение расстояния между параллельными плоскостями. Далее получена формула, позволяющая вычислять расстояние между параллельными плоскостями, которые заданы в прямоугольной системе координат. В заключении разобраны решения примеров и задач на нахождение расстояния между параллельными плоскостями.


Расстояние между двумя параллельными плоскостями – определение.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями определяется через расстояние от точки до плоскости. Покажем, как это делается.

Рассмотрим две параллельные плоскости формула и формула. Возьмем на любой из этих плоскостей точку М1 и опустим перпендикуляр М1H1 из этой точки на другую плоскость. Длина перпендикуляра M1H1 является расстоянием между параллельными плоскостями формула и формула.

изображение

Определение.

Расстояние между параллельными плоскостями – это расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости.

Такое определение расстояния между параллельными плоскостями не случайно. Оно тесно связано со следующей теоремой.

Теорема.

Все точки одной из параллельных плоскостей находятся на одинаковом расстоянии от другой плоскости.

Доказательство.

Пусть нам даны две параллельные плоскости формула и формула. Чтобы доказать эту теорему нам нужно доказать, что два перпендикуляра М1H1 и M2H2, проведенные из различных точек М1 и М2 одной из заданных параллельных плоскостей к другой плоскости, имеют одинаковую длину.

изображение

Прямые М1H1 и M2H2 параллельны, так как они перпендикулярны к одной плоскости. Из аксиомы о единственной плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой, следует, что через две параллельные прямые проходит единственная плоскость (об этом мы упоминали в разделе способы задания плоскости). Тогда будем считать, что через параллельные прямые M1H1 и M2H2 проходит плоскость формула. Очевидно, плоскость формула пересекает плоскости формула и формула по прямым М1М2 и H1H2. Эти прямые не пересекаются (в противном случае плоскости формула и формула имели бы общую точку, что невозможно, так как они параллельны по условию), значит, они параллельны. Таким образом, в четырехугольнике М1М2H2H1 противоположные стороны попарно параллельны, следовательно, М1М2H2H1 - параллелограмм (в нашем случае прямоугольник). Следовательно, его противоположные стороны равны. То есть, формула, что и требовалось доказать.

Следует отметить, что расстояние между параллельными плоскостями является наименьшим из расстояний между произвольными точками этих параллельных плоскостей.

Нахождение расстояния между параллельными плоскостями – теория, примеры, решения.


Переходим к вопросу нахождения расстояния между параллельными плоскостями.

На уроках геометрии в 10-11 классах расстояние между параллельными плоскостями находится примерно так: строится какой-нибудь перпендикуляр от некоторой точки одной плоскости к другой плоскости и определяется его длина. Для этого, в зависимости от условий задачи, применяется либо теорема Пифагора, либо признаки равенства или подобия соответствующих треугольников, либо определения синуса, косинуса, тангенса угла.

Если же есть возможность ввести прямоугольную систему координат и заданные параллельные плоскости описать с помощью уравнений, то расстояние между параллельными плоскостями можно отыскать методом координат. Давайте детально его разберем.

Сформулируем условие задачи.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz и заданы две параллельные плоскости формула и формула. Требуется найти расстояние между этими параллельными плоскостями.

Решение будем строить на основе определения расстояния между параллельными плоскостями.

Так как в условии задачи определены плоскости формула и формула, то мы можем отыскать координаты формула некоторой точки М1, лежащей на одной из заданных плоскостей (для определенности будем считать, что точка формула лежит в плоскости формула). Также мы можем получить нормальное уравнение плоскости формула в виде формула. Тогда искомое расстояние формула между параллельными плоскостями равно расстоянию от точки формула до плоскости формула, которой соответствует нормальное уравнение вида формула. Это расстояние вычисляется по формуле формула (ее вывод смотрите в разделе вычисление расстояния от точки до плоскости).

Итак, чтобы найти расстояние между двумя параллельными плоскостями нужно:

В частности, если в прямоугольной системе координат Oxyz плоскости формула соответствует общее уравнение плоскости формула, а плоскости формула - общее уравнение плоскости вида формула, то расстояние формула между параллельными плоскостями формула и формула вычисляется по формуле формула.

Поясним, как была получена эта формула.

Пусть точка формула лежит в плоскости формула. Тогда координаты точки М1 удовлетворяют уравнению плоскости формула, то есть, справедливо равенство формула, откуда имеем формула. Это равенство мы используем позже.

Нормальное уравнение плоскости формула в зависимости от знака числа D2 имеет вид формула или формула. Но при любом значении числа D2 расстояние формула от точки формула до плоскости формула можно вычислить по формуле формула. Учитывая полученное выше равенство формула, последняя формула примет вид формула.

Осталось разобрать решения нескольких примеров.

Пример.

Найдите расстояние между параллельными плоскостями формула и формула, которые в прямоугольной системе координат Oxyz определены уравнениями формула и формула соответственно.

Решение.

Первый способ.

Заданное уравнение плоскости в отрезках вида формула позволяет легко найти координаты точки М1, лежащей в этой плоскости. В качестве точки М1 возьмем точку, в которой плоскость формула пересекает ось Ox, то есть, формула.

Приведем общее уравнение плоскости формула к нормальному виду:
формула

Теперь вычисляем расстояние формула от точки формула до плоскости формула:
формула.

Это и есть искомое расстояние между заданными параллельными плоскостями.

Второй способ.

От уравнения плоскости в отрезках формула перейдем к общему уравнению плоскости: формула. Чтобы коэффициенты при переменных x, y и z в общих уравнениях плоскостей формула и формула стали равными, умножим обе части второго уравнения на два: формула. Теперь мы можем воспользоваться формулой для вычисления расстояния между параллельными плоскостями: формула.

Ответ:

формула.

Пример.

Вычислите расстояние между параллельными плоскостями формула и формула.

Решение.

Очевидно, при таком условии задачи удобно использовать второй способ для нахождения расстояния между параллельными плоскостями. Если умножить обе части второго уравнения плоскости на два, то коэффициенты при переменных x, y и z в уравнениях формула и формула станут равны и можно будет применить формулу: формула.

Несомненно, можно было использовать первый способ.

Пусть точка формула лежит в плоскости формула, тогда ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости, то есть, справедливо равенство формула. Приняв формула, вычислим x1: формула. Следовательно, формула.

Теперь приведем общее уравнение плоскости формула к нормальному виду: формула. Тогда искомое расстояние между параллельными плоскостями равно формула.

Ответ:

формула.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+