Расстояние между двумя параллельными плоскостями – определение и примеры нахождения.
В этой статье содержится ответ на вопрос: «Как найти расстояние между двумя параллельными плоскостями методом координат»? Сначала дано определение расстояния между параллельными плоскостями. Далее получена формула, позволяющая вычислять расстояние между параллельными плоскостями, которые заданы в прямоугольной системе координат. В заключении разобраны решения примеров и задач на нахождение расстояния между параллельными плоскостями.
Расстояние между двумя параллельными плоскостями – определение.
Расстояние между двумя параллельными плоскостями определяется через расстояние от точки до плоскости. Покажем, как это делается.
Рассмотрим две параллельные плоскости 
и 
. Возьмем на любой из этих плоскостей точку М1 и опустим перпендикуляр М1H1 из этой точки на другую плоскость. Длина перпендикуляра M1H1 является расстоянием между параллельными плоскостями и .
Определение.
Расстояние между параллельными плоскостями – это расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости.
Такое определение расстояния между параллельными плоскостями не случайно. Оно тесно связано со следующей теоремой.
Теорема.
Все точки одной из параллельных плоскостей находятся на одинаковом расстоянии от другой плоскости.
Доказательство.
Пусть нам даны две параллельные плоскости и . Чтобы доказать эту теорему нам нужно доказать, что два перпендикуляра М1H1 и M2H2, проведенные из различных точек М1 и М2 одной из заданных параллельных плоскостей к другой плоскости, имеют одинаковую длину.
Прямые М1H1 и M2H2 параллельны, так как они перпендикулярны к одной плоскости. Из аксиомы о единственной плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой, следует, что через две параллельные прямые проходит единственная плоскость (об этом мы упоминали в разделе способы задания плоскости). Тогда будем считать, что через параллельные прямые M1H1 и M2H2 проходит плоскость 
. Очевидно, плоскость пересекает плоскости и по прямым М1М2 и H1H2. Эти прямые не пересекаются (в противном случае плоскости и имели бы общую точку, что невозможно, так как они параллельны по условию), значит, они параллельны. Таким образом, в четырехугольнике М1М2H2H1 противоположные стороны попарно параллельны, следовательно, М1М2H2H1 - параллелограмм (в нашем случае прямоугольник). Следовательно, его противоположные стороны равны. То есть, 
, что и требовалось доказать.
Следует отметить, что расстояние между параллельными плоскостями является наименьшим из расстояний между произвольными точками этих параллельных плоскостей.
Нахождение расстояния между параллельными плоскостями – теория, примеры, решения.
Переходим к вопросу нахождения расстояния между параллельными плоскостями.
На уроках геометрии в 10-11 классах расстояние между параллельными плоскостями находится примерно так: строится какой-нибудь перпендикуляр от некоторой точки одной плоскости к другой плоскости и определяется его длина. Для этого, в зависимости от условий задачи, применяется либо теорема Пифагора, либо признаки равенства или подобия соответствующих треугольников, либо определения синуса, косинуса, тангенса угла.
Если же есть возможность ввести прямоугольную систему координат и заданные параллельные плоскости описать с помощью уравнений, то расстояние между параллельными плоскостями можно отыскать методом координат. Давайте детально его разберем.
Сформулируем условие задачи.
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz и заданы две параллельные плоскости и . Требуется найти расстояние между этими параллельными плоскостями.
Решение будем строить на основе определения расстояния между параллельными плоскостями.
Так как в условии задачи определены плоскости и , то мы можем отыскать координаты 
некоторой точки М1, лежащей на одной из заданных плоскостей (для определенности будем считать, что точка 
лежит в плоскости ). Также мы можем получить нормальное уравнение плоскости в виде 
. Тогда искомое расстояние 
между параллельными плоскостями равно расстоянию от точки до плоскости , которой соответствует нормальное уравнение вида . Это расстояние вычисляется по формуле 
(ее вывод смотрите в разделе вычисление расстояния от точки до плоскости).
Итак, чтобы найти расстояние между двумя параллельными плоскостями нужно:
-
определить координаты точки М1, лежащей в одной из заданных плоскостей;
-
найти нормальное уравнение другой плоскости в виде ;
-
вычислить искомое расстояние по формуле .
В частности, если в прямоугольной системе координат Oxyz плоскости соответствует общее уравнение плоскости 
, а плоскости - общее уравнение плоскости вида 
, то расстояние между параллельными плоскостями и вычисляется по формуле 
.
Поясним, как была получена эта формула.
Пусть точка лежит в плоскости . Тогда координаты точки М1 удовлетворяют уравнению плоскости , то есть, справедливо равенство 
, откуда имеем 
. Это равенство мы используем позже.
Нормальное уравнение плоскости в зависимости от знака числа D2 имеет вид 
или 
. Но при любом значении числа D2 расстояние от точки до плоскости можно вычислить по формуле 
. Учитывая полученное выше равенство , последняя формула примет вид 
.
Осталось разобрать решения нескольких примеров.
Пример.
Найдите расстояние между параллельными плоскостями и , которые в прямоугольной системе координат Oxyz определены уравнениями 
и 
соответственно.
Решение.
Первый способ.
Заданное уравнение плоскости в отрезках вида позволяет легко найти координаты точки М1, лежащей в этой плоскости. В качестве точки М1 возьмем точку, в которой плоскость пересекает ось Ox, то есть, 
.
Приведем общее уравнение плоскости к нормальному виду:
Теперь вычисляем расстояние от точки до плоскости 
:
.
Это и есть искомое расстояние между заданными параллельными плоскостями.
Второй способ.
От уравнения плоскости в отрезках перейдем к общему уравнению плоскости: 
. Чтобы коэффициенты при переменных x, y и z в общих уравнениях плоскостей 
и стали равными, умножим обе части второго уравнения на два: 
. Теперь мы можем воспользоваться формулой для вычисления расстояния между параллельными плоскостями: 
.
Ответ:
.
Пример.
Вычислите расстояние между параллельными плоскостями 
и 
.
Решение.
Очевидно, при таком условии задачи удобно использовать второй способ для нахождения расстояния между параллельными плоскостями. Если умножить обе части второго уравнения плоскости на два, то коэффициенты при переменных x, y и z в уравнениях и 
станут равны и можно будет применить формулу: 
.
Несомненно, можно было использовать первый способ.
Пусть точка лежит в плоскости , тогда ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости, то есть, справедливо равенство 
. Приняв 
, вычислим x1: 
. Следовательно, 
.
Теперь приведем общее уравнение плоскости к нормальному виду: 
. Тогда искомое расстояние между параллельными плоскостями равно 
.
Ответ:
.
Список литературы.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
- Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Некогда разбираться?