Расстояние между двумя параллельными прямыми – определение и примеры нахождения.
В этой статье дано определение расстояния между двумя параллельными прямыми на плоскости и в трехмерном пространстве, а также разобран метод координат, позволяющий вычислять расстояние между параллельными прямыми. Сначала приведена необходимая теория, после чего приведены подробные решения примеров и задач, в которых находится расстояние между двумя параллельными прямыми.
Расстояние между двумя параллельными прямыми – определение.
Определение расстояния между двумя параллельными прямыми дается через расстояние от точки до прямой.
Определение.
Расстояние между двумя параллельными прямыми – это расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.
Для наглядности изобразим две параллельные прямые a и b, отметим на прямой а произвольную точку М1, опустим перпендикуляр из точки М1 на прямую b, обозначив его H1. Отрезок М1H1 соответствует расстоянию между параллельными прямыми a и b.
Приведенное определение расстояния между двумя параллельными прямыми справедливо как для параллельных прямых на плоскости, так и для прямых в трехмерном пространстве. Более того, такое определение расстояния между двумя параллельными прямыми принято не случайно. Оно тесно связано со следующей теоремой.
Теорема.
Все точки одной из двух параллельных прямых удалены на одинаковое расстояние от другой прямой.
Доказательство.
Рассмотрим параллельные прямые a и b. Отметим на прямой a точку М1, опустим из нее перпендикуляр на прямую b. Основание этого перпендикуляра обозначим как H1. Тогда длина перпендикуляра М1H1 есть расстояние между параллельными прямыми a и b по определению. Докажем, что 
равно 
, где М2 – произвольная точка прямой a, отличная от точки M1, а H2 – основание перпендикуляра, проведенного из точки М2 на прямую b. Доказав этот факт, мы докажем и саму теорему.
Так как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны (об этом говорилось в статье параллельные прямые, параллельность прямых), то 
, а прямая M2H2, перпендикулярная прямой b по построению, перпендикулярна и прямой a. Тогда треугольники М1H1H2 и М2М1H2 прямоугольные, и, более того, они равны по гипотенузе и острому углу: М1H2 – общая гипотенуза, . Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, поэтому, 
. Теорема доказана.
Следует заметить, что расстояние между двумя параллельными прямыми является наименьшим из расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой.
Нахождение расстояния между параллельными прямыми – теория, примеры, решения.
Итак, нахождение расстояния между параллельными прямыми сводится к нахождению длины перпендикуляра, проведенного из некоторой точки одной из прямых на другую прямую. При этом подбирается метод, позволяющий это расстояние отыскать. Выбор метода зависит от условий конкретной задачи. В некоторых случаях можно использовать теорему Пифагора, в других - признаки равенства или подобия треугольников, определения синуса, косинуса или тангенса угла и т.п. Если же параллельные прямые заданы в прямоугольной системе координат, то расстояние между заданными параллельными прямыми можно вычислить методом координат. На нем и остановимся.
Сформулируем условие задачи.
Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат, заданы две параллельные прямые a и b и требуется найти расстояние между этими прямыми.
Решение этой задачи строится на определении расстояния между параллельными прямыми - чтобы найти расстояние между двумя заданными параллельными прямыми нужно:
- определить координаты некоторой точки М1, лежащей на прямой a (или на прямой b);
- вычислить расстояние от точки М1 до прямой b (или a).
С определением координат точки М1, лежащей на какой-нибудь из заданных параллельных прямых, проблем не возникнет, если, конечно, Вам знакомы основные виды уравнения прямой на плоскости и уравнения прямой в пространстве. Для нахождения расстояния от точки М1 до нужной из заданных параллельных прямых Вам будет полезна информация из раздела нахождение расстояния от точки до прямой.
В частности, если в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости прямую a задает общее уравнение прямой вида 
, а прямую b, параллельную прямой a, - общее уравнение прямой 
, то расстояние 
между этими параллельными прямыми можно вычислить по формуле 
.
Покажем вывод этой формулы.
Возьмем точку 
, которая лежит на прямой a, тогда координаты точки М1 удовлетворяют уравнению , то есть, справедливо равенство 
, откуда имеем 
.
Если 
, то нормальное уравнение прямой b имеет вид 
, а если 
, то нормальное уравнение прямой b имеет вид 
. Тогда при расстояние от точки до прямой b вычисляется по формуле 
, а при - по формуле
То есть, при любом значении С2 расстояние от точки до прямой b можно вычислить по формуле . А если учесть равенство , которое было получено выше, то последняя формула примет вид 
. На этом вывод формулы для вычисления расстояние между двумя параллельными прямыми, заданными общими уравнениями прямых вида и завершен.
Разберем решения примеров.
Начнем с нахождения расстояния между двумя параллельными прямыми, заданными в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости.
Пример.
Найдите расстояние между параллельными прямыми 
и 
.
Решение.
Очевидно, что прямая, которой соответствуют параметрические уравнения прямой на плоскости вида , проходит через точку 
.
Искомое расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от точки до прямой . Вычислим его.
Получим нормальное уравнение прямой, которой отвечает уравнение прямой с угловым коэффициентом вида . Для этого сначала запишем общее уравнение прямой: 
. Теперь вычислим нормирующий множитель: 
. Умножив на него обе части последнего уравнения, имеем нормальное уравнение прямой: 
.
Искомое расстояние равно модулю значения выражения 
, вычисленного при 
. Итак, расстояние между заданными параллельными прямыми равно
Второй способ решения.
Получим общие уравнения заданных параллельных прямых.
Выше мы выяснили, что прямой соответствует общее уравнение прямой 
. Перейдем от параметрических уравнений прямой вида к общему уравнению этой прямой:
Коэффициенты при переменных x и y в полученных общих уравнениях параллельных прямых равны, поэтому мы сразу можем применить формулу для вычисления расстояния между параллельными прямыми на плоскости: 
.
Ответ:
.
Пример.
На плоскости введена прямоугольная система координат Oxy и даны уравнения двух параллельных прямых 
и 
. Найдите расстояние между указанными параллельными прямыми.
Решение.
Канонические уравнения прямой на плоскости вида позволяют сразу записать координаты точки М1, лежащей на этой прямой: 
. Расстояние от этой точки до прямой равно искомому расстоянию между параллельными прямыми. Уравнение является нормальным уравнением прямой, следовательно, мы можем сразу вычислить расстояние от точки до прямой : 
.
Второй способ решения.
Общее уравнение одной из заданных параллельных прямых нам уже дано . Приведем каноническое уравнение прямой к общему уравнению прямой: 
. Коэффициенты при переменной x в общих уравнениях заданных параллельных прямых равны (при переменной y коэффициенты тоже равны - они равны нулю), поэтому можно применять формулу, позволяющую вычислить расстояние между заданными параллельными прямыми: 
.
Ответ:
8.
Осталось рассмотреть пример нахождения расстояния между параллельными прямыми в трехмерном пространстве.
Пример.
Найдите расстояние между двумя параллельными прямыми, которым в прямоугольной системе координат Oxyz соответствуют канонические уравнения прямой в пространстве вида 
и 
.
Решение.
Очевидно, прямая проходит через точку 
. Вычислим расстояние от этой точки до прямой - оно даст нам искомое расстояние между параллельными прямыми.
Прямая проходит через точку 
. Обозначим направляющий вектор прямой как 
, он имеет координаты 
. Вычислим координаты вектора 
(при необходимости смотрите статью координаты вектора по координатам точек): 
. Найдем векторное произведение векторов 
и 
:
Теперь осталось применить формулу, позволяющую вычислить расстояние от точки до прямой в пространстве: 
.
Ответ:
расстояние между заданными параллельными прямыми равно 
.
Список литературы.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
- Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Некогда разбираться?