Прямая, плоскость, их уравнения

Расстояние между двумя параллельными прямыми – определение и примеры нахождения.


В этой статье дано определение расстояния между двумя параллельными прямыми на плоскости и в трехмерном пространстве, а также разобран метод координат, позволяющий вычислять расстояние между параллельными прямыми. Сначала приведена необходимая теория, после чего приведены подробные решения примеров и задач, в которых находится расстояние между двумя параллельными прямыми.


Расстояние между двумя параллельными прямыми – определение.

Определение расстояния между двумя параллельными прямыми дается через расстояние от точки до прямой.

Определение.

Расстояние между двумя параллельными прямыми – это расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Для наглядности изобразим две параллельные прямые a и b, отметим на прямой а произвольную точку М1, опустим перпендикуляр из точки М1 на прямую b, обозначив его H1. Отрезок М1H1 соответствует расстоянию между параллельными прямыми a и b.

изображение

Приведенное определение расстояния между двумя параллельными прямыми справедливо как для параллельных прямых на плоскости, так и для прямых в трехмерном пространстве. Более того, такое определение расстояния между двумя параллельными прямыми принято не случайно. Оно тесно связано со следующей теоремой.

Теорема.

Все точки одной из двух параллельных прямых удалены на одинаковое расстояние от другой прямой.

Доказательство.

Рассмотрим параллельные прямые a и b. Отметим на прямой a точку М1, опустим из нее перпендикуляр на прямую b. Основание этого перпендикуляра обозначим как H1. Тогда длина перпендикуляра М1H1 есть расстояние между параллельными прямыми a и b по определению. Докажем, что формула равно формула, где М2 – произвольная точка прямой a, отличная от точки M1, а H2 – основание перпендикуляра, проведенного из точки М2 на прямую b. Доказав этот факт, мы докажем и саму теорему.

изображение

Так как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны (об этом говорилось в статье параллельные прямые, параллельность прямых), то формула, а прямая M2H2, перпендикулярная прямой b по построению, перпендикулярна и прямой a. Тогда треугольники М1H1H2 и М2М1H2 прямоугольные, и, более того, они равны по гипотенузе и острому углу: М1H2 – общая гипотенуза, формула. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, поэтому, формула. Теорема доказана.

Следует заметить, что расстояние между двумя параллельными прямыми является наименьшим из расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой.

Нахождение расстояния между параллельными прямыми – теория, примеры, решения.


Итак, нахождение расстояния между параллельными прямыми сводится к нахождению длины перпендикуляра, проведенного из некоторой точки одной из прямых на другую прямую. При этом подбирается метод, позволяющий это расстояние отыскать. Выбор метода зависит от условий конкретной задачи. В некоторых случаях можно использовать теорему Пифагора, в других - признаки равенства или подобия треугольников, определения синуса, косинуса или тангенса угла и т.п. Если же параллельные прямые заданы в прямоугольной системе координат, то расстояние между заданными параллельными прямыми можно вычислить методом координат. На нем и остановимся.

Сформулируем условие задачи.

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат, заданы две параллельные прямые a и b и требуется найти расстояние между этими прямыми.

Решение этой задачи строится на определении расстояния между параллельными прямыми - чтобы найти расстояние между двумя заданными параллельными прямыми нужно:

С определением координат точки М1, лежащей на какой-нибудь из заданных параллельных прямых, проблем не возникнет, если, конечно, Вам знакомы основные виды уравнения прямой на плоскости и уравнения прямой в пространстве. Для нахождения расстояния от точки М1 до нужной из заданных параллельных прямых Вам будет полезна информация из раздела нахождение расстояния от точки до прямой.

В частности, если в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости прямую a задает общее уравнение прямой вида формула, а прямую b, параллельную прямой a, - общее уравнение прямой формула, то расстояние формула между этими параллельными прямыми можно вычислить по формуле формула.

Покажем вывод этой формулы.

Возьмем точку формула, которая лежит на прямой a, тогда координаты точки М1 удовлетворяют уравнению формула, то есть, справедливо равенство формула, откуда имеем формула.

Если формула, то нормальное уравнение прямой b имеет вид формула, а если формула, то нормальное уравнение прямой b имеет вид формула. Тогда при формула расстояние от точки формула до прямой b вычисляется по формуле формула, а при формула - по формуле
формула

То есть, при любом значении С2 расстояние формула от точки формула до прямой b можно вычислить по формуле формула. А если учесть равенство формула, которое было получено выше, то последняя формула примет вид формула. На этом вывод формулы для вычисления расстояние между двумя параллельными прямыми, заданными общими уравнениями прямых вида формула и формула завершен.

Разберем решения примеров.

Начнем с нахождения расстояния между двумя параллельными прямыми, заданными в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости.

Пример.

Найдите расстояние между параллельными прямыми формула и формула.

Решение.

Очевидно, что прямая, которой соответствуют параметрические уравнения прямой на плоскости вида формула, проходит через точку формула.

Искомое расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от точки формула до прямой формула. Вычислим его.

Получим нормальное уравнение прямой, которой отвечает уравнение прямой с угловым коэффициентом вида формула. Для этого сначала запишем общее уравнение прямой: формула. Теперь вычислим нормирующий множитель: формула. Умножив на него обе части последнего уравнения, имеем нормальное уравнение прямой: формула. Искомое расстояние равно модулю значения выражения формула, вычисленного при формула. Итак, расстояние между заданными параллельными прямыми равно
формула

Второй способ решения.

Получим общие уравнения заданных параллельных прямых.

Выше мы выяснили, что прямой формула соответствует общее уравнение прямой формула. Перейдем от параметрических уравнений прямой вида формула к общему уравнению этой прямой:
формула

Коэффициенты при переменных x и y в полученных общих уравнениях параллельных прямых равны, поэтому мы сразу можем применить формулу для вычисления расстояния между параллельными прямыми на плоскости: формула.

Ответ:

формула.

Пример.

На плоскости введена прямоугольная система координат Oxy и даны уравнения двух параллельных прямых формула и формула. Найдите расстояние между указанными параллельными прямыми.

Решение.

Канонические уравнения прямой на плоскости вида формула позволяют сразу записать координаты точки М1, лежащей на этой прямой: формула. Расстояние от этой точки до прямой формула равно искомому расстоянию между параллельными прямыми. Уравнение формула является нормальным уравнением прямой, следовательно, мы можем сразу вычислить расстояние от точки формула до прямой формула: формула.

Второй способ решения.

Общее уравнение одной из заданных параллельных прямых нам уже дано формула. Приведем каноническое уравнение прямой формула к общему уравнению прямой: формула. Коэффициенты при переменной x в общих уравнениях заданных параллельных прямых равны (при переменной y коэффициенты тоже равны - они равны нулю), поэтому можно применять формулу, позволяющую вычислить расстояние между заданными параллельными прямыми: формула.

Ответ:

8.

Осталось рассмотреть пример нахождения расстояния между параллельными прямыми в трехмерном пространстве.

Пример.

Найдите расстояние между двумя параллельными прямыми, которым в прямоугольной системе координат Oxyz соответствуют канонические уравнения прямой в пространстве вида формула и формула.

Решение.

Очевидно, прямая формула проходит через точку формула. Вычислим расстояние формула от этой точки до прямой формула - оно даст нам искомое расстояние между параллельными прямыми.

Прямая формула проходит через точку формула. Обозначим направляющий вектор прямой формула как формула, он имеет координаты формула. Вычислим координаты вектора формула (при необходимости смотрите статью координаты вектора по координатам точек): формула. Найдем векторное произведение векторов формула и формула:
формула

Теперь осталось применить формулу, позволяющую вычислить расстояние от точки до прямой в пространстве: формула.

Ответ:

расстояние между заданными параллельными прямыми равно формула.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+