Прямая, плоскость, их уравнения

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью – определение и примеры нахождения.


В этой статье дано определение расстояния между параллельными прямой и плоскостью, приведена теория, необходимая для нахождения расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью методом координат, а также подробно разобраны решения характерных примеров и задач.


Расстояние между параллельными прямой и плоскостью – определение.

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью определяется через расстояние от точки до плоскости.

Определение.

Расстояние между параллельными прямой и плоскостью – это расстояние от любой точки заданной прямой до заданной плоскости.

Рассмотрим прямую a и параллельную ей плоскость формула. Отметим на прямой a точку M1 и опустим перпендикуляр M1H1 из этой точки на плоскость формула. Длина перпендикуляра M1H1 есть расстояние между заданными параллельными прямой и плоскостью.

изображение

Озвученное определение расстояния между параллельными прямой и плоскостью тесно связано со следующей теоремой.

Теорема.

Если прямая a параллельна плоскости формула, то все точки прямой a равноудалены от плоскости формула.

Доказательство.

Проведем через произвольную точку прямой a плоскость формула параллельно плоскости формула. Прямая a при таком построении плоскости лежит в этой плоскости (если бы это было не так, то прямая a пересекала бы плоскость формула, а, значит, пересекала бы и плоскость формула в силу параллельности плоскостей формула и формула). В статье расстояние между параллельными плоскостями мы доказали теорему о том, что все точки одной из параллельных плоскостей находятся на одинаковом расстоянии от другой плоскости. Следовательно, все точки прямой a, которая лежит в плоскости формула, параллельной плоскости формула, равноудалены от плоскости формула, что и требовалось доказать.

Нахождение расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью – теория, примеры, решения.


Расстояние между параллельными прямой и плоскостью обычно находится с помощью методов, изученных на уроках геометрии в 10-11 классах, - с использованием теоремы Пифагора, признаков равенства или подобия треугольников, определения синуса, косинуса или тангенса угла и т.п.

Когда в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат и требуется вычислить расстояние между заданными параллельными прямой и плоскостью, то применяется метод координат. Сейчас мы его подробно разберем, после чего рассмотрим решения нескольких примеров.

Поставим перед собой следующую задачу.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, в ней заданы параллельные прямая a и плоскость формула, и требуется найти расстояние между прямой a и плоскостью формула.

Решение этой задачи будем строить на основе определения расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью.

Искомое расстояние между заданными параллельными прямой и плоскостью по определению равно расстоянию от точки М1, лежащей на прямой a, до плоскости формула. Если мы определим координаты формула некоторой точки М1, лежащей на прямой a, и получим нормальное уравнение плоскости формула в виде формула, то мы сможем вычислить искомое расстояние формула, применив формулу формула (эта формула была получена в разделе нахождение расстояния от точки до плоскости).

Итак, алгоритм, позволяющий найти расстояние между параллельными прямой a и плоскостью формула, таков:

Воспользуемся полученным алгоритмом при решении задач, в которых требуется вычислить расстояние между параллельными прямой и плоскостью.

Пример.

Найдите расстояние между параллельными прямой формула и плоскостью формула.

Решение.

Очевидно, точка формула лежит на прямой, которую определяют канонические уравнения прямой в пространстве формула.

Получим нормальное уравнение плоскости формула. Для этого приведем заданное общее уравнение плоскости к нормальному виду: вычисляем нормирующий множитель формула, умножаем на него обе части заданного общего уравнения плоскости формула.

Осталось вычислить требуемое расстояние между заданными параллельными прямой и плоскостью как расстояние от точки формула до плоскости формула:
формула

Ответ:

1.

Пример.

Найдите расстояние между прямой формула и параллельной ей плоскостью формула.

Решение.

В рассматриваемой задаче прямая задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей. Найдем координаты формула некоторой точки М1, лежащей на этой прямой. Координаты точки М1 должны удовлетворять уравнениям прямой, то есть, формула - частное решение системы линейных уравнений формула. Найдем частное решение этой системы (при необходимости смотрите статью решение систем линейных уравнений). Приняв формула, приходим к системе уравнений формула, откуда находим формула. То есть, имеем формула.

Теперь получим нормальное уравнение плоскости, которую задает уравнение плоскости в отрезках вида формула. Для этого переходим к общему уравнению плоскости формула. Полученное общее уравнение плоскости уже является нормальным уравнением плоскости и его не нужно приводить к нормальному виду.

Осталось вычислить расстояние от точки формула до плоскости формула, которое равно искомому расстоянию между параллельными прямой и плоскостью: формула.

Ответ:

3.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+