Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью – определение и примеры нахождения.
В этой статье дано определение расстояния между параллельными прямой и плоскостью, приведена теория, необходимая для нахождения расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью методом координат, а также подробно разобраны решения характерных примеров и задач.
Расстояние между параллельными прямой и плоскостью – определение.
Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью определяется через расстояние от точки до плоскости.
Определение.
Расстояние между параллельными прямой и плоскостью – это расстояние от любой точки заданной прямой до заданной плоскости.
Рассмотрим прямую a и параллельную ей плоскость 
. Отметим на прямой a точку M1 и опустим перпендикуляр M1H1 из этой точки на плоскость . Длина перпендикуляра M1H1 есть расстояние между заданными параллельными прямой и плоскостью.
Озвученное определение расстояния между параллельными прямой и плоскостью тесно связано со следующей теоремой.
Теорема.
Если прямая a параллельна плоскости , то все точки прямой a равноудалены от плоскости .
Доказательство.
Проведем через произвольную точку прямой a плоскость 
параллельно плоскости . Прямая a при таком построении плоскости лежит в этой плоскости (если бы это было не так, то прямая a пересекала бы плоскость , а, значит, пересекала бы и плоскость в силу параллельности плоскостей и ). В статье расстояние между параллельными плоскостями мы доказали теорему о том, что все точки одной из параллельных плоскостей находятся на одинаковом расстоянии от другой плоскости. Следовательно, все точки прямой a, которая лежит в плоскости , параллельной плоскости , равноудалены от плоскости , что и требовалось доказать.
Нахождение расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью – теория, примеры, решения.
Расстояние между параллельными прямой и плоскостью обычно находится с помощью методов, изученных на уроках геометрии в 10-11 классах, - с использованием теоремы Пифагора, признаков равенства или подобия треугольников, определения синуса, косинуса или тангенса угла и т.п.
Когда в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат и требуется вычислить расстояние между заданными параллельными прямой и плоскостью, то применяется метод координат. Сейчас мы его подробно разберем, после чего рассмотрим решения нескольких примеров.
Поставим перед собой следующую задачу.
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, в ней заданы параллельные прямая a и плоскость , и требуется найти расстояние между прямой a и плоскостью .
Решение этой задачи будем строить на основе определения расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью.
Искомое расстояние между заданными параллельными прямой и плоскостью по определению равно расстоянию от точки М1, лежащей на прямой a, до плоскости . Если мы определим координаты 
некоторой точки М1, лежащей на прямой a, и получим нормальное уравнение плоскости в виде 
, то мы сможем вычислить искомое расстояние 
, применив формулу 
(эта формула была получена в разделе нахождение расстояния от точки до плоскости).
Итак, алгоритм, позволяющий найти расстояние между параллельными прямой a и плоскостью , таков:
-
находим координаты некоторой точки М1, лежащей на заданной прямой a (это легко сделать, если знать основные виды уравнений прямой в пространстве);
-
получаем нормальное уравнение заданной плоскости вида (для этого нужно знать основные виды уравнения плоскости и при необходимости уметь приводить уравнение плоскости к нормальному виду);
-
вычисляем требуемое расстояние между прямой a и параллельной ей плоскостью по формуле
.
Воспользуемся полученным алгоритмом при решении задач, в которых требуется вычислить расстояние между параллельными прямой и плоскостью.
Пример.
Найдите расстояние между параллельными прямой 
и плоскостью 
.
Решение.
Очевидно, точка 
лежит на прямой, которую определяют канонические уравнения прямой в пространстве .
Получим нормальное уравнение плоскости . Для этого приведем заданное общее уравнение плоскости к нормальному виду: вычисляем нормирующий множитель 
, умножаем на него обе части заданного общего уравнения плоскости 
.
Осталось вычислить требуемое расстояние между заданными параллельными прямой и плоскостью как расстояние от точки до плоскости 
:
Ответ:
1.
Пример.
Найдите расстояние между прямой 
и параллельной ей плоскостью 
.
Решение.
В рассматриваемой задаче прямая задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей. Найдем координаты некоторой точки М1, лежащей на этой прямой. Координаты точки М1 должны удовлетворять уравнениям прямой, то есть, - частное решение системы линейных уравнений . Найдем частное решение этой системы (при необходимости смотрите статью решение систем линейных уравнений). Приняв 
, приходим к системе уравнений 
, откуда находим 
. То есть, имеем 
.
Теперь получим нормальное уравнение плоскости, которую задает уравнение плоскости в отрезках вида . Для этого переходим к общему уравнению плоскости 
. Полученное общее уравнение плоскости уже является нормальным уравнением плоскости и его не нужно приводить к нормальному виду.
Осталось вычислить расстояние от точки до плоскости 
, которое равно искомому расстоянию между параллельными прямой и плоскостью: 
.
Ответ:
3.
Список литературы.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
- Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Некогда разбираться?