Направляющий вектор прямой, координаты направляющего вектора прямой.
С прямой линией неразрывно связан направляющий вектор этой прямой, более того во многих случаях удобнее работать с направляющим вектором прямой чем с самой прямой. В этой статье мы всесторонне разберем направляющий вектор прямой на плоскости и в пространстве, а так же покажем возможности, которые открываются при его использовании.
Сначала дадим определение направляющего вектора прямой с графическими иллюстрациями и приведем примеры направляющих векторов. Далее поместим прямую и ее направляющие векторы в прямоугольную систему координат и научимся находить координаты направляющего вектора прямой по известным уравнениям этой прямой. Всю теорию будем разбавлять подробными решениями характерных примеров и задач.
Направляющий вектор прямой – определение, примеры, иллюстрации.
Для правильного понимания информации этой статьи необходимо иметь четкое представление о прямой линии на плоскости и в пространстве, а также знать основные определения, связанные с векторами. Так что рекомендуем сначала ознакомиться с материалом разделов прямая на плоскости, прямая в пространстве и векторы – основные определения.
Озвучим определение направляющего вектора прямой.
Определение.
Направляющий вектор прямой - это любой ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или на параллельной ей прямой.
Из определения направляющего вектора прямой следует, что существует бесконечно много направляющих векторов заданной прямой. Более того все направляющие векторы прямой лежат либо на этой прямой, либо на прямой ей параллельной, то есть, все направляющие векторы заданной прямой коллинеарны. Таким образом, если 
- направляющий вектор прямой a, любой из векторов 
при некотором ненулевом действительном значении t также является направляющим вектором прямой a (при необходимости смотрите статью условие коллинеарности векторов).
Из определения направляющего вектора прямой также следует, что множества направляющих векторов параллельных прямых совпадают. Другими словами, если прямые a и a1 параллельны и вектор - направляющий вектор прямой a, то вектор также является направляющим вектором прямой a1.
Наконец, определение направляющего вектора прямой и определение нормального вектора прямой позволяют заключить, что любой нормальный вектор прямой a перпендикулярен любому направляющему вектору прямой a.
Приведем пример направляющего вектора прямой.
Если в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz, то координатные векторы 
и 
являются направляющими векторами координатных прямых Ox, Oy и Oz соответственно.
Координаты направляющего вектора прямой – нахождение координат направляющего вектора прямой по уравнениям этой прямой.
Привяжем прямую и ее направляющие векторы к прямоугольной системе координат. Будем последовательны: сначала рассмотрим прямую и ее направляющие векторы в прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости, после этого перейдем к рассмотрению прямой и ее направляющих векторов в прямоугольной системе координат Oxyz, зафиксированной в трехмерном пространстве.
Прямую линию в прямоугольной системе координат Oxy определяет некоторое уравнение прямой на плоскости. При этом направляющим векторам прямой в системе координат Oxy соответствуют координаты направляющих векторов (смотрите координаты вектора). Встает задача: «Как найти координаты направляющего вектора прямой, если известно уравнение этой прямой»?
Эта задача очень легко решается, если прямая линия задана каноническим уравнением или параметрическими уравнениями.
Каноническое уравнение прямой на плоскости вида 
задает прямую линию, одним из направляющих векторов которой является вектор 
. Таким образом, числа в знаменателях канонического уравнения прямой дают соответствующие координаты направляющего вектора этой прямой.
Пример.
Найдите координаты какого-нибудь направляющего вектора прямой, определенной в прямоугольной системе координат Oxy уравнениями 
.
Решение.
Из канонического уравнения прямой на плоскости мы сразу видим координаты одного из направляющих векторов этой прямой - их нам дают числа в знаменателях. То есть, направляющий вектор данной прямой имеет координаты 
.
Ответ:
Аналогично, параметрические уравнения прямой на плоскости вида 
определяют прямую с направляющим вектором . Следовательно, коэффициенты при параметре в параметрических уравнениях прямой представляют собой соответствующие координаты направляющего вектора прямой.
Пример.
Прямая на плоскости задана параметрическими уравнениями 
, где 
. Определите координаты ее направляющих векторов.
Решение.
Уравнения прямой можно переписать в виде 
. Коэффициенты при параметре 
дают соответствующие координаты направляющего вектора прямой, то есть, 
- один из направляющих векторов исходной прямой. Все направляющие векторы прямой, в силу их коллинеарности, можно задать как , а в координатной форме как 
(при необходимости смотрите статью операции над векторами в координатах), где t - любое действительное число, отличное от нуля.
Ответ:
Теперь давайте разберемся, как находить координаты направляющего вектора прямой, которую задает общее уравнение прямой вида 
.
При А=0 в уравнение примет вид 
. Это уравнение определяет прямую, параллельную оси абсцисс. Следовательно, направляющим вектором прямой можно принять координатный вектор 
.
При B=0 общее уравнение прямой примет вид 
. Такая прямая параллельна оси ординат, поэтому, ее направляющим вектором является координатный вектор 
.
Пример.
На плоскости задана прямая 
, укажите координаты какого-нибудь направляющего вектора этой прямой.
Решение.
Уравнение в прямоугольной системе координат Oxy задает прямую, параллельную оси Oy, то есть, в качестве ее направляющего вектора можно взять координатный вектор .
Ответ:
Если же в общем уравнении прямой вида коэффициенты А и В отличны от нуля, то координаты направляющего вектора можно найти одним из следующих способов:
- во-первых, можно привести заданное уравнение к каноническому виду и координаты направляющего вектора станут видны;
- во-вторых, можно найти координаты двух несовпадающих точек данной прямой, принять их за начало и конец направляющего вектора прямой и определить его координаты;
-
в-третьих, можно найти координаты какого-нибудь вектора, перпендикулярного нормальному вектору
прямой .
С нашей точки зрения проще всего привести общее уравнение прямой к каноническому виду, откуда станут видны координаты направляющего вектора этой прямой.
Пример.
Найдите координаты направляющего вектора прямой по ее общему уравнению на плоскости вида 
.
Решение.
Приведем общее уравнение прямой к каноническому виду. Для этого в левой части равенства оставим только слагаемое 3х, а остальные слагаемые перенесем в правую часть с противоположным знаком: 
. Преобразуем полученное равенство: 
. Из полученного уравнения видны координаты направляющего вектора прямой - 
.
Ответ:
Заметим, что уравнение прямой в отрезках 
и уравнение прямой с угловым коэффициентом 
легко приводятся к общему уравнение прямой, откуда и находятся координаты их направляющих векторов.
Итак, с нахождением координат направляющего вектора прямой по виду уравнения этой прямой на плоскости мы разобрались.
Переходим к нахождению координат направляющего вектора прямой, которой соответствуют уравнения прямой в пространстве некоторого вида.
Канонические уравнения прямой в пространстве вида 
и параметрические уравнения прямой в пространстве вида 
определяют прямую, направляющим вектором которой является вектор 
. То есть, числа в знаменателях канонических уравнений прямой или коэффициенты при параметре в параметрических уравнениях прямой дают соответствующие координаты направляющего вектора этой прямой.
Рассмотрим примеры.
Пример.
Напишите координаты направляющих векторов прямой, определенной в прямоугольной системе координат Oxyz уравнениями 
.
Решение.
Из канонических уравнений прямой в пространстве мы сразу видим координаты направляющего вектора, их нам дают числа в знаменателях. То есть, направляющий вектор данной прямой имеет координаты 
. В силу коллинеарности направляющих векторов прямой, все направляющие векторы этой прямой можно задать как 
, где t - любое действительное число, отличное от нуля.
Ответ:
Пример.
Найдите какой-нибудь направляющий вектор прямой, заданной в пространстве параметрическими уравнениями 
.
Решение.
Параметрические уравнения прямой можно записать в виде 
. Стали видны координаты направляющего вектора - ими являются соответствующие коэффициенты перед параметром . Таким образом, направляющий вектор данной прямой имеет координаты 
.
Ответ:
Осталось разобраться как находятся координаты направляющего вектора прямой a, заданной уравнениями двух пересекающихся плоскостей, то есть, как 
?
В этом случае можно перейти от уравнений двух пересекающихся плоскостей к параметрическим уравнениям прямой, откуда получить координаты направляющего вектора. Однако проще воспользоваться следующим методом.
Нормальный вектор плоскости по определению лежит на прямой, которая перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, любой направляющий вектор прямой, которая лежит в некоторой плоскости, перпендикулярен любому нормальному вектору этой плоскости. Тогда, направляющий вектор прямой, по которой пересекаются две плоскости 
и 
, одновременно перпендикулярен нормальным векторам 
и 
каждой из плоскостей. Таким образом, в качестве направляющего вектора прямой a можно взять векторное произведение векторов и . То есть, 
- направляющий вектор прямой, по которой пересекаются плоскости и .
Разберем решение примера.
Пример.
Найдите направляющий вектор прямой 
.
Решение.
В качестве искомого направляющего вектора прямой можно взять векторное произведение нормальных векторов плоскостей 
и 
. Нормальные векторы 
и 
этих плоскостей имеют координаты 
и 
соответственно. Тогда
Следовательно, вектор 
является направляющим вектором исходной прямой.
Ответ:
В заключении стоит сказать, что направляющие векторы прямых помогают в решении широкого круга задач. К примеру, координаты направляющих векторов прямых позволяют составлять соответствующих прямых, проверять параллельность и перпендикулярность прямых, по координатам направляющих векторов легко вычислить угол между пересекающимися прямыми и угол между скрещивающимися прямыми и т.д.
Список литературы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Некогда разбираться?