Прямая, плоскость, их уравнения

Направляющий вектор прямой, координаты направляющего вектора прямой.


С прямой линией неразрывно связан направляющий вектор этой прямой, более того во многих случаях удобнее работать с направляющим вектором прямой чем с самой прямой. В этой статье мы всесторонне разберем направляющий вектор прямой на плоскости и в пространстве, а так же покажем возможности, которые открываются при его использовании.

Сначала дадим определение направляющего вектора прямой с графическими иллюстрациями и приведем примеры направляющих векторов. Далее поместим прямую и ее направляющие векторы в прямоугольную систему координат и научимся находить координаты направляющего вектора прямой по известным уравнениям этой прямой. Всю теорию будем разбавлять подробными решениями характерных примеров и задач.


Направляющий вектор прямой – определение, примеры, иллюстрации.

Для правильного понимания информации этой статьи необходимо иметь четкое представление о прямой линии на плоскости и в пространстве, а также знать основные определения, связанные с векторами. Так что рекомендуем сначала ознакомиться с материалом разделов прямая на плоскости, прямая в пространстве и векторы – основные определения.

Озвучим определение направляющего вектора прямой.

Определение.

Направляющий вектор прямой - это любой ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или на параллельной ей прямой.

изображение

Из определения направляющего вектора прямой следует, что существует бесконечно много направляющих векторов заданной прямой. Более того все направляющие векторы прямой лежат либо на этой прямой, либо на прямой ей параллельной, то есть, все направляющие векторы заданной прямой коллинеарны. Таким образом, если формула - направляющий вектор прямой a, любой из векторов формула при некотором ненулевом действительном значении t также является направляющим вектором прямой a (при необходимости смотрите статью условие коллинеарности векторов).

Из определения направляющего вектора прямой также следует, что множества направляющих векторов параллельных прямых совпадают. Другими словами, если прямые a и a1 параллельны и вектор формула - направляющий вектор прямой a, то вектор формула также является направляющим вектором прямой a1.

Наконец, определение направляющего вектора прямой и определение нормального вектора прямой позволяют заключить, что любой нормальный вектор прямой a перпендикулярен любому направляющему вектору прямой a.

Приведем пример направляющего вектора прямой.

Если в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz, то координатные векторы формула и формула являются направляющими векторами координатных прямых Ox, Oy и Oz соответственно.

Координаты направляющего вектора прямой – нахождение координат направляющего вектора прямой по уравнениям этой прямой.


Привяжем прямую и ее направляющие векторы к прямоугольной системе координат. Будем последовательны: сначала рассмотрим прямую и ее направляющие векторы в прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости, после этого перейдем к рассмотрению прямой и ее направляющих векторов в прямоугольной системе координат Oxyz, зафиксированной в трехмерном пространстве.

Прямую линию в прямоугольной системе координат Oxy определяет некоторое уравнение прямой на плоскости. При этом направляющим векторам прямой в системе координат Oxy соответствуют координаты направляющих векторов (смотрите координаты вектора). Встает задача: «Как найти координаты направляющего вектора прямой, если известно уравнение этой прямой»?

Эта задача очень легко решается, если прямая линия задана каноническим уравнением или параметрическими уравнениями.

Каноническое уравнение прямой на плоскости вида формула задает прямую линию, одним из направляющих векторов которой является вектор формула. Таким образом, числа в знаменателях канонического уравнения прямой дают соответствующие координаты направляющего вектора этой прямой.

Пример.

Найдите координаты какого-нибудь направляющего вектора прямой, определенной в прямоугольной системе координат Oxy уравнениями формула.

Решение.

Из канонического уравнения прямой на плоскости мы сразу видим координаты одного из направляющих векторов этой прямой - их нам дают числа в знаменателях. То есть, направляющий вектор данной прямой имеет координаты формула.

Ответ:

формула

Аналогично, параметрические уравнения прямой на плоскости вида формула определяют прямую с направляющим вектором формула. Следовательно, коэффициенты при параметре в параметрических уравнениях прямой представляют собой соответствующие координаты направляющего вектора прямой.

Пример.

Прямая на плоскости задана параметрическими уравнениями формула, где формула. Определите координаты ее направляющих векторов.

Решение.

Уравнения прямой можно переписать в виде формула. Коэффициенты при параметре формула дают соответствующие координаты направляющего вектора прямой, то есть, формула - один из направляющих векторов исходной прямой. Все направляющие векторы прямой, в силу их коллинеарности, можно задать как формула, а в координатной форме как формула (при необходимости смотрите статью операции над векторами в координатах), где t - любое действительное число, отличное от нуля.

Ответ:

формула

Теперь давайте разберемся, как находить координаты направляющего вектора прямой, которую задает общее уравнение прямой вида формула.

При А=0 в уравнение формула примет вид формула. Это уравнение определяет прямую, параллельную оси абсцисс. Следовательно, направляющим вектором прямой формула можно принять координатный вектор формула.

При B=0 общее уравнение прямой примет вид формула. Такая прямая параллельна оси ординат, поэтому, ее направляющим вектором является координатный вектор формула.

Пример.

На плоскости задана прямая формула, укажите координаты какого-нибудь направляющего вектора этой прямой.

Решение.

Уравнение формула в прямоугольной системе координат Oxy задает прямую, параллельную оси Oy, то есть, в качестве ее направляющего вектора можно взять координатный вектор формула.

Ответ:

формула

Если же в общем уравнении прямой вида формула коэффициенты А и В отличны от нуля, то координаты направляющего вектора можно найти одним из следующих способов:

С нашей точки зрения проще всего привести общее уравнение прямой к каноническому виду, откуда станут видны координаты направляющего вектора этой прямой.

Пример.

Найдите координаты направляющего вектора прямой по ее общему уравнению на плоскости вида формула.

Решение.

Приведем общее уравнение прямой к каноническому виду. Для этого в левой части равенства оставим только слагаемое , а остальные слагаемые перенесем в правую часть с противоположным знаком: формула. Преобразуем полученное равенство: формула. Из полученного уравнения видны координаты направляющего вектора прямой - формула.

Ответ:

формула

Заметим, что уравнение прямой в отрезках формула и уравнение прямой с угловым коэффициентом формула легко приводятся к общему уравнение прямой, откуда и находятся координаты их направляющих векторов.

Итак, с нахождением координат направляющего вектора прямой по виду уравнения этой прямой на плоскости мы разобрались.

Переходим к нахождению координат направляющего вектора прямой, которой соответствуют уравнения прямой в пространстве некоторого вида.

Канонические уравнения прямой в пространстве вида формула и параметрические уравнения прямой в пространстве вида формула определяют прямую, направляющим вектором которой является вектор формула. То есть, числа в знаменателях канонических уравнений прямой или коэффициенты при параметре в параметрических уравнениях прямой дают соответствующие координаты направляющего вектора этой прямой.

Рассмотрим примеры.

Пример.

Напишите координаты направляющих векторов прямой, определенной в прямоугольной системе координат Oxyz уравнениями формула.

Решение.

Из канонических уравнений прямой в пространстве мы сразу видим координаты направляющего вектора, их нам дают числа в знаменателях. То есть, направляющий вектор данной прямой имеет координаты формула. В силу коллинеарности направляющих векторов прямой, все направляющие векторы этой прямой можно задать как формула, где t - любое действительное число, отличное от нуля.

Ответ:

формула

Пример.

Найдите какой-нибудь направляющий вектор прямой, заданной в пространстве параметрическими уравнениями формула.

Решение.

Параметрические уравнения прямой можно записать в виде формула. Стали видны координаты направляющего вектора - ими являются соответствующие коэффициенты перед параметром формула. Таким образом, направляющий вектор данной прямой имеет координаты формула.

Ответ:

формула

Осталось разобраться как находятся координаты направляющего вектора прямой a, заданной уравнениями двух пересекающихся плоскостей, то есть, как формула?

В этом случае можно перейти от уравнений двух пересекающихся плоскостей к параметрическим уравнениям прямой, откуда получить координаты направляющего вектора. Однако проще воспользоваться следующим методом.

Нормальный вектор плоскости по определению лежит на прямой, которая перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, любой направляющий вектор прямой, которая лежит в некоторой плоскости, перпендикулярен любому нормальному вектору этой плоскости. Тогда, направляющий вектор прямой, по которой пересекаются две плоскости формула и формула, одновременно перпендикулярен нормальным векторам формула и формула каждой из плоскостей. Таким образом, в качестве направляющего вектора прямой a можно взять векторное произведение векторов формула и формула. То есть, формула - направляющий вектор прямой, по которой пересекаются плоскости формула и формула.

Разберем решение примера.

Пример.

Найдите направляющий вектор прямой формула.

Решение.

В качестве искомого направляющего вектора прямой можно взять векторное произведение нормальных векторов плоскостей формула и формула. Нормальные векторы формула и формула этих плоскостей имеют координаты формула и формула соответственно. Тогда
формула

Следовательно, вектор формула является направляющим вектором исходной прямой.

Ответ:

формула

В заключении стоит сказать, что направляющие векторы прямых помогают в решении широкого круга задач. К примеру, координаты направляющих векторов прямых позволяют составлять соответствующих прямых, проверять параллельность и перпендикулярность прямых, по координатам направляющих векторов легко вычислить угол между пересекающимися прямыми и угол между скрещивающимися прямыми и т.д.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+