Прямая, плоскость, их уравнения

Канонические уравнения прямой в пространстве - теория, примеры, решение задач.


Продолжим изучать уравнения прямой в пространстве. В этой статье рассмотрим канонические уравнения прямой в пространстве. Этот вид уравнений прямой удобен при решении многих задач, поэтому канонические уравнения прямой в пространстве заслуживают детального и всестороннего изучения.

Сначала мы выведем канонические уравнения прямой в трехмерном пространстве и приведем примеры. Далее научимся определять координаты направляющего вектора прямой по известным каноническим уравнениям прямой, а также составлять канонические уравнения прямой при известном направляющем векторе и заданной точке прямой. После этого остановимся на частных случаях канонических уравнений прямой в пространстве и получим уравнения прямой проходящей через две заданные точки пространства. В заключении рассмотрим связь канонических уравнений прямой с другими видами уравнений этой прямой в пространстве и подробно разберем решения характерных задач.


Канонические уравнения прямой в пространстве – описание и примеры.

Получим канонические уравнения прямой a в трехмерном пространстве. Аналогичные действия мы проводили, когда рассматривали каноническое уравнение прямой на плоскости.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz. Зададим в ней прямую. Выберем следующий способ задания прямой линии в пространстве: укажем точку, через которую проходит прямая a, и направляющий вектор прямой a. Будем считать, что точка формула лежит на прямой а и формула - направляющий вектор прямой а.

Очевидно, что множество точек формула трехмерного пространства определяет прямую а тогда и только тогда, когда векторы формула и формула коллинеарны.

изображение

Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов формула и формула в координатной форме. Для этого нам нужно знать координаты этих векторов. Координаты вектора формула нам известны из условия. Осталось вычислить координыты вектора формула - они равны разности соответствующих координат точек формула и формула, то есть, формула (при необходимости смотрите нахождение координат вектора по координатам точек). Теперь записываем условие коллинеарности векторов формула и формула:
формула, где формула - произвольное действительное число (при формула точки формула и формула совпадают, что нас тоже устраивает).

Если формула, то каждое уравнение системы формула можно разрешить относительно параметра формула и приравнять правые части:
формула

Полученные уравнения вида формула в заданной прямоугольной системе координат Oxyz определяют прямую a. Уравнения формула есть канонические уравнения прямой в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz. Их также называют уравнениями прямой в пространстве в каноническом виде.

Запись вида формула очень удобна, поэтому ее используют даже когда одно или два из чисел формула равны нулю (все три числа формула одновременно не могут быть равными нулю, так как направляющий вектор формула всегда ненулевой по определению). В этих случаях запись формула считается условной (так как содержатся нули в знаменателях) и ее следует понимать как формула, где формула. На этих частных случаях канонических уравнений прямой подробно остановимся в третьем пункте этой статьи (перейти к частным случаям канонических уравнений прямой в пространстве).

Обратите внимание на следующие важные факты:

Приведем пару примеров канонических уравнений прямой в пространстве:

Составление канонических уравнений прямой в пространстве.


Итак, канонические уравнения прямой в фиксированной прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве вида формула соответствуют прямой линии, которая проходит через точку формула, а направляющим вектором этой прямой является вектор формула. Таким образом, если нам известен вид канонических уравнений прямой в пространстве, то мы можем сразу записать координаты направляющего вектора этой прямой, а если известны координаты направляющего вектора прямой и координаты некоторой точки этой прямой, то мы сразу можем записать ее канонические уравнения.

Покажем решения таких задач.

Пример.

Прямая в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве задана каноническими уравнениями прямой вида формула. Напишите координаты всех направляющих векторов этой прямой.

Решение.

Числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой, являются соответствующими координатами направляющего вектора этой прямой, то есть, формула - один из направляющих векторов исходной прямой. Тогда множество всех направляющих векторов прямой можно задать как формула, где формула - параметр, принимающий любые действительные значения, кроме нуля.

Ответ:

формула

Пример.

Напишите канонические уравнения прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве проходит через точку формула, а направляющий вектор прямой имеет координаты формула.

Решение.

Из условия имеем формула. То есть, у нас есть все данные, чтобы написать требуемые канонические уравнения прямой в пространстве. В нашем случае
формула.

Ответ:

формула

Мы рассмотрели простейшую задачу на составление канонических уравнений прямой в заданной прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, когда известны координаты направляющего вектора прямой и координаты некоторой точки прямой. Однако намного чаще встречаются задачи, в которых сначала требуется найти координаты направляющего вектора прямой, а уже потом записывать канонические уравнения прямой. В качестве примера можно привести задачи на нахождение уравнений прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной прямой и задачи на нахождение уравнений прямой, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной плоскости.

Частные случаи канонических уравнений прямой в пространстве.

Мы уже отмечали, что одно или два из чисел формула в канонических уравнениях прямой в пространстве вида формула могут быть равны нулю. Тогда запись формула считается формальной (так как в знаменателях одной или двух дробей будут нули) и ее следует понимать как формула, где формула.

Давайте рассмотрим подробнее все эти частные случаи канонических уравнений прямой в пространстве.

Пусть формула, или формула, или формула, тогда канонические уравнения прямых имеют вид
формула
или
формула
или
формула

В этих случаях в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве прямые лежат в плоскостях формула, формула или формула соответственно, которые параллельны координатным плоскостям Oyz, Oxz или Oxy соответственно (или совпадают с этими координатными плоскостями при формула, формула или формула). На рисунке представлены примеры таких прямых.

изображение

При формула, или формула, или формула канонические уравнения прямых запишутся как
формула
или
формула
или
формула
соответственно.

В этих случаях прямые параллельны координатным осям Oz, Oy или Ox соответственно (или совпадают с этими осями при формула, формула или формула). Действительно, направляющие векторы рассматриваемых прямых имеют координаты формула, или формула, или формула, очевидно, что они коллинеарны векторам формула, или формула, или формула соответственно, где формула - направляющие векторы координатных прямых. Посмотрите иллюстрации к этим частным случаям канонических уравнений прямой в пространстве.

изображение

Осталось для закрепления материала этого пункта рассмотреть решения примеров.

Пример.

Напишите канонические уравнения координатных прямых Ox, Oy и Oz.

Решение.

Направляющими векторами координатных прямых Ox, Oy и Oz являются координатные векторы формула и формула соответственно. Кроме этого, координатные прямые проходят через начало координат – через точку формула. Теперь мы можем записать канонические уравнения координатных прямых Ox, Oy и Oz, они имеют вид формула и формула соответственно.

Ответ:

формула - канонические уравнения координатной прямой Ox, формула - канонические уравнения оси ординат Oy, формула - канонические уравнения оси аппликат.

Пример.

Составьте канонические уравнения прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве проходит через точку формула и параллельна оси ординат Oy.

Решение.

Так как прямая, канонические уравнения которой нам требуется составить, параллельна координатной оси Oy, то ее направляющим вектором является вектор формула. Тогда канонические уравнения этой прямой в пространстве имеют вид формула.

Ответ:

формула

Канонические уравнения прямой проходящей через две заданные точки пространства.

Поставим себе задачу: написать канонические уравнения прямой, проходящей в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве через две несовпадающие точки формула и формула.

В качестве направляющего вектора заданной прямой можно принять вектор формула (если больше нравиться вектор формула, то можно взять его). По известным координатам точек М1 и М2 можно вычислить координаты вектора формула: формула. Теперь мы можем записать канонические уравнения прямой, так как знаем координаты точки прямой (в нашем случае даже координаты двух точек М1 и М2), и знаем координаты ее направляющего вектора. Таким образом, заданная прямая в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве определяется каноническими уравнениями вида формула или формула. Это и есть искомые канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки пространства.

изображение

Пример.

Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через две точки трехмерного пространства формула и формула.

Решение.

Из условия имеем формула. Подставляем эти данные в канонические уравнения прямой, проходящей через две точки формула:
формула

Если воспользоваться каноническими уравнениями прямой вида формула, то получаем
формула.

Ответ:

формула или формула

Переход от канонических уравнений прямой в пространстве к другим видам уравнений прямой.

Для решения некоторых задач канонические уравнения прямой в пространстве формула могут оказаться менее удобны, чем параметрические уравнения прямой в пространстве вида формула. А иногда предпочтительнее определить прямую линию в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве через уравнения двух пересекающихся плоскостей как формула. Поэтому встает задача перехода от канонических уравнений прямой в пространстве к параметрическим уравнениям прямой или к уравнениям двух пересекающихся плоскостей.

От уравнений прямой в каноническом виде легко перейти к параметрическим уравнениям этой прямой. Для этого требуется каждую из дробей в канонических уравнениях прямой в пространстве принять равной параметру формула и разрешить полученные уравнения относительно переменных x, y и z:
формула

При этом параметр формула может принимать любые действительные значения (так как переменные x, y и z могут принимать какие угодно действительные значения).

Пример.

Прямая в трехмерном пространстве в заданной прямоугольной системе координат Oxyz определена каноническими уравнениями прямой вида формула. Напишите параметрические уравнения этой прямой.

Решение.

Примем каждую из дробей равной формула: формула. Разрешив первое уравнение системы относительно переменной x, второе – относительно y, третье – относительно z, получим требуемые параметрические уравнения прямой:
формула

Ответ:

формула

Теперь покажем, как из канонических уравнений прямой формула получить уравнения двух пересекающихся плоскостей, определяющих эту же прямую.

Двойное равенство формула по сути представляет собой систему из трех уравнений вида формула (мы попарно приравняли дроби из канонических уравнений прямой). Так как пропорцию формула мы понимаем как формула, то
формула

Итак, мы получили формула.

Так как числа ax, ay и az одновременно не равны нулю, то ранг основной матрицы полученной системы равен двум, так как
формула
а хотя бы один из определителей второго порядка
формула
отличен от нуля.

Следовательно, из системы можно исключить уравнение, которое не участвует в образовании базисного минора. Таким образом, канонические уравнения прямой в пространстве будут эквивалентны системе из двух линейных уравнений с тремя неизвестными, которые и являются уравнениями пересекающихся плоскостей, причем линией пересечения этих плоскостей будет прямая, определяемая каноническими уравнениями прямой вида формула.

Для ясности приведем подробное решение примера, на практике все проще.

Пример.

Напишите уравнения двух пересекающихся плоскостей, которые определяют прямую, заданную в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве каноническими уравнениями прямой формула.

Решение.

Попарно приравняем дроби, составляющие канонические уравнения прямой в пространстве:
формула

Последнее уравнение полученной системы можно исключить, так как оно верно для любых значений переменных x, y и z. Тогда формула. Уравнения системы представляют собой уравнения двух пересекающихся плоскостей, причем они пересекаются по прямой, канонические уравнения которой имеют вид формула.

Ответ:

формула

Пример.

Прямая в прямоугольной системе координат в пространстве задана каноническими уравнениями вида формула. Напишите уравнения двух пересекающихся по этой прямой плоскостей.

Решение.

Приравняем попарно дроби, образующие канонические уравнения прямой:
формула

Определитель основной матрицы полученной системы линейных уравнений равен нулю формула (при необходимости обращайтесь к статье вычисление определителя матрицы), а минор второго порядка формула отличен от нуля, примем его в качестве базисного минора. Таким образом, ранг основной матрицы системы уравнений формула равен двум, причем третье уравнение системы не участвует в образовании базисного минора, то есть, третье уравнение можно исключить из системы. Следовательно, формула. Так мы получили требуемые уравнения двух пересекающихся плоскостей, определяющих исходную прямую линию.

Ответ:

формула



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+