Прямая, плоскость, их уравнения

Каноническое уравнение прямой на плоскости - теория, примеры, решение задач.


В прямоугольной системе координат на плоскости прямая линия может быть задана каноническим уравнением прямой. В этой статье мы сначала выведем каноническое уравнение прямой на плоскости, запишем канонические уравнения прямых на плоскости, которые параллельны координатным осям или совпадают с ними, а также приведем примеры. Далее покажем связь канонического уравнения прямой на плоскости с другими видами уравнения этой прямой. В заключении подробно рассмотрим решения характерных примеров и задач на составление канонического уравнения прямой на плоскости.


Каноническое уравнение прямой на плоскости – описание и примеры.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. Поставим себе задачу: получить уравнение прямой a, если формула - некоторая точка прямой a и формула - направляющий вектор прямой a.

Пусть формула - плавающая точка прямой a. Тогда вектор формула является направляющим вектором прямой a и имеет координаты формула (при необходимости смотрите статью нахождение координат вектора через координаты точек). Очевидно, что множество всех точек формула на плоскости определяют прямую, проходящую через точку формула и имеющую направляющий вектор формула тогда и только тогда, когда векторы формула и формула коллинеарны.

изображение

Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов формула и формула: формула. Последнее равенство в координатной форме имеет вид формула.

Если формула и формула, то мы можем записать
формула

Полученное уравнение вида формула называют каноническим уравнением прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy. Уравнение формула также называют уравнением прямой в каноническом виде.

Итак, каноническое уравнение прямой на плоскости вида формула задает в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, проходящую через точку формула и имеющую направляющий вектор формула.

Приведем пример канонического уравнения прямой на плоскости.

К примеру, уравнение формула является уравнением прямой в каноническом виде. Прямая, соответствующая этому уравнению, проходит через точку формула, а формула - ее направляющий вектор. Ниже приведена графическая иллюстрация.

изображение

Отметим следующие важные факты:

А сейчас покажем решение очень важного примера на составление канонического уравнения прямой на плоскости.

Пример.

Прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости проходит через точку формула и формула - направляющий вектор этой прямой. Напишите каноническое уравнение этой прямой.

Решение.

Каноническое уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy в общем случае имеет вид формула. В нашем примере формула, тогда формула. Последнее равенство и дает нам искомое каноническое уравнение прямой на плоскости.

Ответ:

формула

Частные случаи канонического уравнения прямой на плоскости.


Уравнение прямой на плоскости в каноническом виде формула используют даже тогда, когда одно из чисел формула или формула равно нулю (числа формула и формула одновременно не равны нулю, так как направляющий вектор прямой есть ненулевой вектор). В этом случае запись формула считается условной (так как содержится ноль в знаменателе) и ее следует понимать как формула.

Остановимся на этих частных случаях канонического уравнения прямой на плоскости подробнее.

Если формула, то каноническое уравнение прямой на плоскости имеет вид формула, при этом прямая проходит через точку формула и параллельна оси ординат Oy (совпадает с осью ординат при формула). Действительно, направляющим вектором этой прямой является вектор формула, а он коллинеарен координатному вектору формула.

Если формула, то каноническое уравнение прямой на плоскости имеет вид формула. Этому уравнению соответствует прямая, которая проходит через точку формула и параллельна оси абсцисс Ox (совпадает с осью абсцисс при формула). Действительно,формула - направляющий вектор этой прямой, а он коллинеарен координатному вектору формула.

Изобразим в прямоугольной системе координат Oxy прямые, которые соответствуют разобранным каноническим уравнениям прямой на плоскости.

изображение

Пример.

Составьте каноническое уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy, если прямая параллельна оси ординат и проходит через точку формула.

Решение.

Так как по условию прямая параллельна оси Oy, то ее направляющим вектором можно принять координатный вектор формула. Тогда, учитывая что прямая проходит через точку формула, каноническое уравнение прямой примет вид формула.

Ответ:

формула

Пример.

Напишите каноническое уравнение прямой, изображенной на рисунке

изображение

Решение.

Очевидно, в заданной прямоугольной системе координат Oxy прямая проходит через точку формула и параллельна оси абсцисс. Тогда направляющим вектором прямой, изображенной на рисунке, является координатный вектор формула. Таким образом, у нас есть все данные, чтобы записать требуемое каноническое уравнение прямой на плоскости:
формула

Ответ:

формула

Переход от канонического уравнения прямой на плоскости к другим видам уравнения прямой и обратно.

Прямой линии в прямоугольной системе координат Oxy соответствует некоторое уравнение прямой на плоскости. Для решения отдельных задач отлично подходит каноническое уравнение прямой на плоскости, но в некоторых случаях удобнее использовать уравнение прямой на плоскости другого вида. В этом пункте мы разберемся с процессом перехода от канонического уравнения прямой на плоскости к уравнениям этой прямой в другом виде.

Каноническому уравнению прямой вида формула соответствуют параметрические уравнения прямой на плоскости вида формула. Для перехода от уравнения прямой в каноническом виде к параметрическим уравнениям прямой на плоскости нужно лишь принять левую и правую части канонического уравнения прямой равными параметру формула и разрешить полученные равенства относительно переменных x и y:
формула

Пример.

Прямая на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy определена каноническим уравнением прямой формула. Напишите параметрические уравнения этой прямой.

Решение.

Приравняем левую и правую части канонического уравнения прямой на плоскости к формула: формула.
После необходимых преобразований получаем параметрические уравнения исходной прямой:
формула

Ответ:

формула

Теперь покажем, как из канонического уравнения прямой на плоскости вида формула получить общее уравнение прямой. Для этого достаточно вспомнить, что всякая пропорция формула понимается как равенство формула. Таким образом, формула. Полученное равенство представляет собой общее уравнение прямой. Это хорошо видно, если принять формула.

Пример.

Напишите общее уравнение прямой, которая задана в прямоугольной системе координат Oxy каноническим уравнением прямой на плоскости вида формула.

Решение.

Выполним нужные действия: формула. Последнее равенство представляет собой общее уравнение исходной прямой.

Ответ:

формула

Если известно уравнение прямой в каноническом виде и нужно получить уравнение прямой в отрезках, уравнение прямой с угловым коэффициентом или нормальное уравнение прямой, то сначала следует от канонического уравнения прямой перейти к общему уравнение прямой, а уже от общего уравнения прямой переходить к уравнениям прямой требуемого вида. Эта процедура описана в разделе переход от общего уравнения прямой к уравнениям другого вида. Здесь мы не будем повторяться, а для наглядности покажем решение одного примера.

Пример.

Прямая определена на плоскости каноническим уравнением прямой вида формула. Напишите уравнение этой прямой в отрезках.

Решение.

Сначала приведем каноническое уравнение прямой к общему уравнению прямой:
формула

Теперь из общего уравнения прямой несложно получить уравнение прямой в отрезках:
формула

Ответ:

формула

А сейчас рассмотрим обратную задачу. Разберемся с приведением уравнения прямой на плоскости к каноническому виду.

Покажем, как общее уравнение прямой формула приводится к каноническому виду.

Если формула, то переносим слагаемое формула в правую часть равенства формула с противоположным знаком формула. В левой части равенства выносим А за скобки формула. Полученное равенство можно записать как пропорцию формула, которая представляет собой искомое каноническое уравнение прямой на плоскости.

Если формула, то оставляем в левой части общего уравнения прямой формула только слагаемое формула, а остальные переносим в правую часть с противоположным знаком: формула. Теперь выносим в правой части равенства –B за скобки формула и записываем полученное равенство в виде пропорции формула.

Пример.

Приведите уравнение прямой формула к каноническому виду.

Решение.

Оставляем слева только слагаемое x: формула. Выносим -3 за скобки в правой части равенства: формула. Записываем полученное равенство в виде пропорции формула, которая дает нам искомое каноническое уравнение прямой на плоскости.

Ответ:

формула

Аналогично к каноническому виду приводятся уравнения прямой в отрезках и уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Переход от параметрических уравнений прямой формула к каноническому уравнению формула очень прост. Для этого выражаем параметр формула в каждом уравнении системы формула и, приравняв правые части полученных равенств, получаем каноническое уравнение прямой на плоскости. Вот последовательность действий:
формула

Пусть Вас при этом не смущает равенство нулю одного из чисел формула или формула.

Пример.

Напишите каноническое уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy, если известно, что параметрические уравнения этой прямой имеют вид формула.

Решение.

Перепишем исходные уравнения в виде формула. Выражаем параметр в каждом уравнении системы: формула. Приравняв правые части уравнений получаем искомое каноническое уравнение прямой на плоскости. Оно имеет вид формула.

Ответ:

формула

Каноническое уравнение прямой на плоскости – решения характерных примеров и задач.

Во-первых, рассмотрим решения задач, в которых требуется выяснить лежит или нележит заданная точка на прямой, которая определена каноническим уравнением прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy.

Напомним, что координаты любой точки прямой удовлетворяют ее уравнению, а координаты любой точки, не лежащей на прямой, не удовлетворяют.

Пример.

Принадлежат ли точки формула и формула прямой, которая задана каноническим уравнением прямой на плоскости вида формула.

Решение.

Подставим координаты точки М1 в каноническое уравнение прямой: формула. При этом получаем верное равенство, что указывает на то, что точка формула лежит на прямой.

Теперь подставим координаты точки формула в исходное каноническое уравнение: формула. В итоге получено неверное равенство, следовательно, точка М2 не лежит на прямой.

Ответ:

формула принадлежит прямой, а формула - не принадлежит.

Пример.

Проходит ли прямая, каноническое уравнение которой в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости имеет вид формула, через точки формула и формула.

Решение.

Равенство формула мы договорились понимать как формула. Таким образом, нам нужно выяснить, удовлетворяют ли координаты точек формула и формула уравнению формула.

Подставляем в это уравнение координаты точки формула: формула. Получаем верное равенство, следовательно, точка М1 лежит на прямой.

Подставляем координаты точки М2: формула. Приходим к неверному равенству, поэтому точка формула не принадлежит прямой, которую задает каноническое уравнение прямой на плоскости вида формула.

Ответ:

прямая формула проходит через точку формула и не проходит через точку формула.

Теперь разберем решения характерных задач на составление канонического уравнения прямой на плоскости при различных условиях.

Самой легкой задачей на составление канонического уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy является задача, в условии которой даны координаты некоторой точки прямой и координаты направляющего вектора этой прямой. Пример такой задачи разобран в первом пункте этой статьи.

Гораздо чаще при составлении канонического уравнения прямой на плоскости сначала приходится определять координаты направляющего вектора, основываясь на каких-либо дополнительных условиях.

Наиболее типичной является задача на нахождение канонического уравнения прямой, проходящей через две заданные точки плоскости (для более полной информации можете ознакомиться с материалом раздела уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости).

Пример.

Напишите каноническое уравнение прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости проходит через две точки формула и формула.

Решение.

По известным координатам точек начала и конца мы можем найти координаты вектора формула: формула. Этот вектор является направляющим вектором прямой, уравнение которой мы ищем. Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку формула и имеющей направляющий вектор формула, имеет вид формула. Можно также написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку формула. Тогда мы получим еще одно каноническое уравнение этой прямой формула.

Ответ:

формула

Сейчас рассмотрим примеры составления канонического уравнения прямой на плоскости, когда ее направляющий вектор находится из условия параллельности или перпендикулярности прямых.

Пример.

Напишите каноническое уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy, если прямая проходит через точку формула параллельно прямой формула.

Решение.

Направляющим вектором прямой формула является вектор формула. Этот вектор можно рассматривать как направляющий вектор прямой, уравнение которой мы ищем, так как по условию прямые параллельны. Таким образом, мы имеем все данные, чтобы записать искомое каноническое уравнение прямой: формула.

Ответ:

формула

Пример.

Напишите каноническое уравнение прямой, которая проходит через точку формула и перпендикулярна прямой формула.

Решение.

Нормальный вектор прямой формула имеет координаты формула, причем этот вектор является направляющим вектором прямой, уравнение которой мы ищем в силу перпендикулярности прямых. Таким образом, искомое каноническое уравнение прямой на плоскости запишется как формула.

Ответ:

формула



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+