Каноническое уравнение прямой на плоскости - теория, примеры, решение задач.
В прямоугольной системе координат на плоскости прямая линия может быть задана каноническим уравнением прямой. В этой статье мы сначала выведем каноническое уравнение прямой на плоскости, запишем канонические уравнения прямых на плоскости, которые параллельны координатным осям или совпадают с ними, а также приведем примеры. Далее покажем связь канонического уравнения прямой на плоскости с другими видами уравнения этой прямой. В заключении подробно рассмотрим решения характерных примеров и задач на составление канонического уравнения прямой на плоскости.
Каноническое уравнение прямой на плоскости – описание и примеры.
Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. Поставим себе задачу: получить уравнение прямой a, если - некоторая точка прямой a и - направляющий вектор прямой a.
Пусть - плавающая точка прямой a. Тогда вектор является направляющим вектором прямой a и имеет координаты (при необходимости смотрите статью нахождение координат вектора через координаты точек). Очевидно, что множество всех точек на плоскости определяют прямую, проходящую через точку и имеющую направляющий вектор тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.
Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов и : . Последнее равенство в координатной форме имеет вид .
Если и , то мы можем записать
Полученное уравнение вида называют каноническим уравнением прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy. Уравнение также называют уравнением прямой в каноническом виде.
Итак, каноническое уравнение прямой на плоскости вида задает в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, проходящую через точку и имеющую направляющий вектор .
Приведем пример канонического уравнения прямой на плоскости.
К примеру, уравнение является уравнением прямой в каноническом виде. Прямая, соответствующая этому уравнению, проходит через точку , а - ее направляющий вектор. Ниже приведена графическая иллюстрация.
Отметим следующие важные факты:
- если - направляющий вектор прямой и прямая проходит как через точку , так и через точку , то ее каноническое уравнение можно записать как , так и ;
- если - направляющий вектор прямой, то любой из векторов также является направляющим вектором данной прямой, следовательно, любое из уравнений прямой в каноническом виде соответствует этой прямой.
А сейчас покажем решение очень важного примера на составление канонического уравнения прямой на плоскости.
Пример.
Прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости проходит через точку и - направляющий вектор этой прямой. Напишите каноническое уравнение этой прямой.
Решение.
Каноническое уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy в общем случае имеет вид . В нашем примере , тогда . Последнее равенство и дает нам искомое каноническое уравнение прямой на плоскости.
Ответ:
Частные случаи канонического уравнения прямой на плоскости.
Уравнение прямой на плоскости в каноническом виде используют даже тогда, когда одно из чисел или равно нулю (числа и одновременно не равны нулю, так как направляющий вектор прямой есть ненулевой вектор). В этом случае запись считается условной (так как содержится ноль в знаменателе) и ее следует понимать как .
Остановимся на этих частных случаях канонического уравнения прямой на плоскости подробнее.
Если , то каноническое уравнение прямой на плоскости имеет вид , при этом прямая проходит через точку и параллельна оси ординат Oy (совпадает с осью ординат при ). Действительно, направляющим вектором этой прямой является вектор , а он коллинеарен координатному вектору .
Если , то каноническое уравнение прямой на плоскости имеет вид . Этому уравнению соответствует прямая, которая проходит через точку и параллельна оси абсцисс Ox (совпадает с осью абсцисс при ). Действительно, - направляющий вектор этой прямой, а он коллинеарен координатному вектору .
Изобразим в прямоугольной системе координат Oxy прямые, которые соответствуют разобранным каноническим уравнениям прямой на плоскости.
Пример.
Составьте каноническое уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy, если прямая параллельна оси ординат и проходит через точку .
Решение.
Так как по условию прямая параллельна оси Oy, то ее направляющим вектором можно принять координатный вектор . Тогда, учитывая что прямая проходит через точку , каноническое уравнение прямой примет вид .
Ответ:
Пример.
Напишите каноническое уравнение прямой, изображенной на рисунке
Решение.
Очевидно, в заданной прямоугольной системе координат Oxy прямая проходит через точку и параллельна оси абсцисс. Тогда направляющим вектором прямой, изображенной на рисунке, является координатный вектор . Таким образом, у нас есть все данные, чтобы записать требуемое каноническое уравнение прямой на плоскости:
Ответ:
Переход от канонического уравнения прямой на плоскости к другим видам уравнения прямой и обратно.
Прямой линии в прямоугольной системе координат Oxy соответствует некоторое уравнение прямой на плоскости. Для решения отдельных задач отлично подходит каноническое уравнение прямой на плоскости, но в некоторых случаях удобнее использовать уравнение прямой на плоскости другого вида. В этом пункте мы разберемся с процессом перехода от канонического уравнения прямой на плоскости к уравнениям этой прямой в другом виде.
Каноническому уравнению прямой вида соответствуют параметрические уравнения прямой на плоскости вида . Для перехода от уравнения прямой в каноническом виде к параметрическим уравнениям прямой на плоскости нужно лишь принять левую и правую части канонического уравнения прямой равными параметру и разрешить полученные равенства относительно переменных x и y:
Пример.
Прямая на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy определена каноническим уравнением прямой . Напишите параметрические уравнения этой прямой.
Решение.
Приравняем левую и правую части канонического уравнения прямой на плоскости к : .
После необходимых преобразований получаем параметрические уравнения исходной прямой:
Ответ:
Теперь покажем, как из канонического уравнения прямой на плоскости вида получить общее уравнение прямой. Для этого достаточно вспомнить, что всякая пропорция понимается как равенство . Таким образом, . Полученное равенство представляет собой общее уравнение прямой. Это хорошо видно, если принять .
Пример.
Напишите общее уравнение прямой, которая задана в прямоугольной системе координат Oxy каноническим уравнением прямой на плоскости вида .
Решение.
Выполним нужные действия: . Последнее равенство представляет собой общее уравнение исходной прямой.
Ответ:
Если известно уравнение прямой в каноническом виде и нужно получить уравнение прямой в отрезках, уравнение прямой с угловым коэффициентом или нормальное уравнение прямой, то сначала следует от канонического уравнения прямой перейти к общему уравнение прямой, а уже от общего уравнения прямой переходить к уравнениям прямой требуемого вида. Эта процедура описана в разделе переход от общего уравнения прямой к уравнениям другого вида. Здесь мы не будем повторяться, а для наглядности покажем решение одного примера.
Пример.
Прямая определена на плоскости каноническим уравнением прямой вида . Напишите уравнение этой прямой в отрезках.
Решение.
Сначала приведем каноническое уравнение прямой к общему уравнению прямой:
Теперь из общего уравнения прямой несложно получить уравнение прямой в отрезках:
Ответ:
А сейчас рассмотрим обратную задачу. Разберемся с приведением уравнения прямой на плоскости к каноническому виду.
Покажем, как общее уравнение прямой приводится к каноническому виду.
Если , то переносим слагаемое в правую часть равенства с противоположным знаком . В левой части равенства выносим А за скобки . Полученное равенство можно записать как пропорцию , которая представляет собой искомое каноническое уравнение прямой на плоскости.
Если , то оставляем в левой части общего уравнения прямой только слагаемое , а остальные переносим в правую часть с противоположным знаком: . Теперь выносим в правой части равенства –B за скобки и записываем полученное равенство в виде пропорции .
Пример.
Приведите уравнение прямой к каноническому виду.
Решение.
Оставляем слева только слагаемое x: . Выносим -3 за скобки в правой части равенства: . Записываем полученное равенство в виде пропорции , которая дает нам искомое каноническое уравнение прямой на плоскости.
Ответ:
Аналогично к каноническому виду приводятся уравнения прямой в отрезках и уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Переход от параметрических уравнений прямой к каноническому уравнению очень прост. Для этого выражаем параметр в каждом уравнении системы и, приравняв правые части полученных равенств, получаем каноническое уравнение прямой на плоскости. Вот последовательность действий:
Пусть Вас при этом не смущает равенство нулю одного из чисел или .
Пример.
Напишите каноническое уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy, если известно, что параметрические уравнения этой прямой имеют вид .
Решение.
Перепишем исходные уравнения в виде . Выражаем параметр в каждом уравнении системы: . Приравняв правые части уравнений получаем искомое каноническое уравнение прямой на плоскости. Оно имеет вид .
Ответ:
Каноническое уравнение прямой на плоскости – решения характерных примеров и задач.
Во-первых, рассмотрим решения задач, в которых требуется выяснить лежит или не лежит заданная точка на прямой, которая определена каноническим уравнением прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy.
Напомним, что координаты любой точки прямой удовлетворяют ее уравнению, а координаты любой точки, не лежащей на прямой, не удовлетворяют.
Пример.
Принадлежат ли точки и прямой, которая задана каноническим уравнением прямой на плоскости вида .
Решение.
Подставим координаты точки М1 в каноническое уравнение прямой: . При этом получаем верное равенство, что указывает на то, что точка лежит на прямой.
Теперь подставим координаты точки в исходное каноническое уравнение: . В итоге получено неверное равенство, следовательно, точка М2 не лежит на прямой.
Ответ:
принадлежит прямой, а - не принадлежит.
Пример.
Проходит ли прямая, каноническое уравнение которой в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости имеет вид , через точки и .
Решение.
Равенство мы договорились понимать как . Таким образом, нам нужно выяснить, удовлетворяют ли координаты точек и уравнению .
Подставляем в это уравнение координаты точки : . Получаем верное равенство, следовательно, точка М1 лежит на прямой.
Подставляем координаты точки М2: . Приходим к неверному равенству, поэтому точка не принадлежит прямой, которую задает каноническое уравнение прямой на плоскости вида .
Ответ:
прямая проходит через точку и не проходит через точку .
Теперь разберем решения характерных задач на составление канонического уравнения прямой на плоскости при различных условиях.
Самой легкой задачей на составление канонического уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy является задача, в условии которой даны координаты некоторой точки прямой и координаты направляющего вектора этой прямой. Пример такой задачи разобран в первом пункте этой статьи.
Гораздо чаще при составлении канонического уравнения прямой на плоскости сначала приходится определять координаты направляющего вектора, основываясь на каких-либо дополнительных условиях.
Наиболее типичной является задача на нахождение канонического уравнения прямой, проходящей через две заданные точки плоскости (для более полной информации можете ознакомиться с материалом раздела уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости).
Пример.
Напишите каноническое уравнение прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости проходит через две точки и .
Решение.
По известным координатам точек начала и конца мы можем найти координаты вектора : . Этот вектор является направляющим вектором прямой, уравнение которой мы ищем. Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор , имеет вид . Можно также написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку . Тогда мы получим еще одно каноническое уравнение этой прямой .
Ответ:
Сейчас рассмотрим примеры составления канонического уравнения прямой на плоскости, когда ее направляющий вектор находится из условия параллельности или перпендикулярности прямых.
Пример.
Напишите каноническое уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy, если прямая проходит через точку параллельно прямой .
Решение.
Направляющим вектором прямой является вектор . Этот вектор можно рассматривать как направляющий вектор прямой, уравнение которой мы ищем, так как по условию прямые параллельны. Таким образом, мы имеем все данные, чтобы записать искомое каноническое уравнение прямой: .
Ответ:
Пример.
Напишите каноническое уравнение прямой, которая проходит через точку и перпендикулярна прямой .
Решение.
Нормальный вектор прямой имеет координаты , причем этот вектор является направляющим вектором прямой, уравнение которой мы ищем в силу перпендикулярности прямых. Таким образом, искомое каноническое уравнение прямой на плоскости запишется как .
Ответ:
Список литературы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Некогда разбираться?